2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高二（上）开学验收数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高二（上）开学验收数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.如图梯形是一平面图形的斜二侧直观图，若，，，则四边形的面积是( )
A. B.
C. D.
4.正方形的边长是，是的中点，则( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称
6.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
7.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的说文解字中某瓷器如图所示，该甁器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高高为的圆台组合面成，其直观图如图所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，设，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，直线：，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，与之间的距离为 D. 直线过定点
10.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
11.已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体则下列说法正确的是( )
A. 无论翻折到何处，
B. 四面体的体积的最大值为
C. 当时，与平面所成角的正弦值为
D. 当时，二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，以圆心和为直径的圆的标准方程是______．
13.将函数向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最接近的对称中心的坐标是______．
14.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，且母线长为，，为其底面圆周上的两点，若面积的最大值为，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是同一平面内的两个向量，其中，且．
若，求的坐标；
若，求与的夹角．
16.本小题分
已知直线：，：．
若坐标原点到直线的距离为，求的值；
当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若的面积为，求．
18.本小题分

如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面平面；
设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

19.本小题分
五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为，已知相机架设于点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中，分别在边，上，记．
设与相交于点，当时，
(ⅰ)求线段的长；
(ⅱ)求线段的长；
为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积即四边形的面积记为最大，应取何值？的最大值为多少？
参考答案
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15.解：设，
且，
，
解得或，
的坐标或；
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
16.解：设原点到直线的距离为，则，解得或；
由解得，即与的交点为．
当直线过原点时，直线的方程为；
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，
所以直线的方程为．
故满足条件的直线的方程为或．
17.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
18.证明：，，，
≌，
，又为的中点．
，
，为的中点．
，
又，、面，
平面，
又平面，
平面平面；
解：由可知，
，，
是等边三角形，边长为，
，，，，
，
，
又，，、平面，
平面，
由知≌，，连接，则，
，
当时，最短，此时的面积最小，
过点作于点，则，
平面，
，
，
，
三棱锥的体积．
19.解：如图，建立平面直角坐标系，由，，
所以，，，，
由，得，所以，
又，则，，
在中，，
所以，所以，
所以直线的方程为，化简得，
又直线的方程为，联立，解得，
所以，
所以线段．
，
又，所以，
所以当且仅当时，．
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