1.1.2直线的倾斜角、斜率及其关系(第二课时) 教学课件(共36张PPT)高中数学北师大版（2019）选择性必修第一册

(共36张PPT)
北师大版（2019）选择性必修第一册
1.1.2直线的倾斜角、斜率及其关系
第二课时
学习目标
Learning Objectives
探索新知
Explore new knowledge
题型突破
Breakthrough in question types
当堂检测
Classroom test
学习目录
parent conference directory
壹
叁
贰
肆
学习目标
part 01
学习目标
01
理解直线的倾斜角与斜率的关系
01
了解直线的方向向量
02
理解直线的斜率与方向向量的关系
03
会应用倾斜角与斜率的关系，斜率与方向向量的关系解决一些简单的综合问题
04
探索新知
part 02
探索新知
02
知识回顾
上节课，我们学习了直线的倾斜角与斜率．请回顾它们的概念
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴(正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角．常用表示．
直线的倾斜角
称（其中）为经过不同两点的直线的斜率．
斜率
思考：
直线的倾斜角与它的斜率之间有什么联系？
探索新知
02
情境引入
在初中，我们就已经知道，通过数轴可以将实数和直线上的位置(点)建立一一对应关系，继而建立平面直角坐标系，将有序数对和平面上的位置(点)建立一一对应关系.这样使我们能够用坐标研究图形，通常把这种方法叫做坐标法，也叫作解析几何法.
坐标法非常重要，在数学史上，它的产生不仅极大地推动了数学的发展，也给天文学，物理学等其他学科带来了深远的影响.随着计算机技术的发展，坐标法在科学研究、工程设计、工艺美术、印刷乃至影视艺术等各领域都得到了广泛的应用.
探索新知
02
探究
直线的倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，那么它们之间有什么关系呢？
知识点1 直线的斜率与倾斜角
（1）若为锐角，，且，
在中，．
（2）若为钝角，，且，
在中，．
探索新知
02
探究
直线的倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，那么它们之间有什么关系呢？
知识点1 直线的斜率与倾斜角
（3）特殊地，若直线平行于轴，，所以．
又，所以．故．
（4）若直线垂直于轴，，所以无意义．
又，所以无意义．
探索新知
02
探究
直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？
　　
　　
　
知识点1 直线的斜率与倾斜角
如图，根据正切函数的图象变化可知，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；
当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.
探索新知
02
倾斜角不为的直线，它的斜率和它的倾斜角满足：
其中 ．
斜率与倾斜角的关系
当时，斜率， 随倾斜角的增大而增大；
当时，斜率，随倾斜角的增大而增大；
当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在．
思考：结合正切函数的图象与性质，探究直线斜率随倾斜角怎样变化？
知识点1 直线的斜率与倾斜角
探索新知
02
思考
对于倾斜角不为的两条直线，其倾斜角相等，斜率就相等吗？反之，其斜率相等，倾斜角就相等吗？
知识点1 直线的斜率与倾斜角
其中
正切函数
在单调递增；
在单调递增．
是一一对应的函数．


倾斜角不为的两条直线，倾斜角相等与斜率相等互为充要条件．
探索新知
02
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为．
（1）若，求斜率的取值范围；
（2）若，求斜率的取值范围；
（3）若，求倾斜角的取值范围；
（4）若，求倾斜角的取值范围．
解：（1）由及正切函数的性质，可得，即，
所以斜率的取值范围是．
（2）由正切函数的性质，可得当时，；
当时，；，斜率不存在．
综上，斜率的取值范围是．特别地，当时，斜率不存在.
根据直线的斜率与倾斜角的关系公式，计算可得．
探索新知
02
例3 已知直线的倾斜角为，斜率为．
（1）若，求斜率的取值范围；
（2）若，求斜率的取值范围；
（3）若，求倾斜角的取值范围；
（4）若，求倾斜角的取值范围．
根据直线的斜率与倾斜角的关系公式，计算可得．
解：（3）由，可．
又，所以由正切函数的性质，得倾斜角的取值范围是．
（4）由，可得．
又，所以由正切函数的性质，得倾斜角的取值范围是．
探索新知
02
例4 已知直线的倾斜角为，且，求直线
的斜率．
根据直线的斜率与倾斜角的关系公式，计算可得．
解：依题意画图，
由于直线的倾斜角为，且，
则直线的倾斜角．
所以直线的斜率；
直线的斜率．
探索新知
02
方向向量：在直线上任取两个不同的点.由平面向量的知识可知，向量是直线的方向向量，它的坐标是，直线的倾斜角.
知识点2 直线的方向向量
是该直线的一个方向向量，也能刻画一条直线相对于平面直角坐标系中轴的倾斜程度．
方向向量：
．
(其中)．
，
所以也是该直线的一个方向向量．
探索新知
02
直线的斜率与方向向量的关系
知识点2 直线的方向向量
在直线上任取两个不同的点,，则是直线的方向向量.
=（1, k）
结论：1.若直线 的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为
x
y
.
.
l
(其中)
2.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为则 k
探索新知
02
例5 已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标．
解：设(其中) 为直线上的两点，
则直线的一个方向向量．
由经过两点的直线斜率的计算公式，可得．
即=2.
所以．
因此，是直线的一个方向向量的坐标．
斜率、方向向量是分别从不同的角度刻画一条直线，根据两者联系即可．
探索新知
02
例6 根据下列条件，求直线的倾斜角．
（1）斜率为；
（2）经过两点；
（3）一个方向向量为．
根据即可．
解：设直线的倾斜角为．
（1）因为直线的斜率为，所以，又因为，所以．
（2）由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线的斜率，
又因为，所以．
（3）由直线的一个方向向量为，可得斜率，
又因为，所以．
题型突破
part 03
题型突破
03
题型1 倾斜角、斜率的范围
例1. 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.
要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
题型突破
03
题型1 倾斜角、斜率的范围
例1. 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.
延伸探究：1.本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围.
解　由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
延伸探究：2.本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围.
解　由本例知与线段AB有公共点时，
斜率k满足k≤－1或k≥1.
则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为－1题型突破
03
解题通法
解决取值范围问题的基本方法——数形结合
斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.
题型1 倾斜角、斜率的范围
题型突破
03
题型2 直线的方向向量
例2.　已知直线l的一个方向向量为(5,8)，且该直线过点(1,2)，则直线l过点（ ）
A.(6,10) B.(4,8) C.(2,4) D.
解析　因为直线l的一个方向向量为(5,8)，
设直线l上一点为(x，y)，
将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立，故选A.
题型突破
03
题型3 斜率与倾斜角、方向向量的综合应用
例3　已知直线l1的方向向量为n＝(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍.
(1)求直线l2的斜率；
解　设直线l1的倾斜角为α，
则直线l2的倾斜角为2α.
∵直线l1的方向向量为n＝(2,1)，
题型突破
03
(2)若直线l2经过点A(－1,2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点.求的取值范围.
题型3 斜率与倾斜角、方向向量的综合应用
题型突破
03
解题通法
(1)直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系为
(2)求代数式最值或范围的方法
由斜率公式的形式，可知代数式的几何意义是过点与两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.
题型3 斜率与倾斜角、方向向量的综合应用
当堂检测
part 04
当堂检测
04
C
当堂检测
04
C
当堂检测
04
B
当堂检测
04
B
当堂检测
04
当堂检测
04
当堂检测
04
两者关系
直线的倾斜程度
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的方向向量
两者关系
当时，斜率，随倾斜角的增大而增大；
当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在．
当时，斜率，随倾斜角的增大而增大；
老师名字
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