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第4章 图形的相似 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 兴宁市校级二模）如果，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
．
故选．
2．（2023秋 北海期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选．
3．（2023秋 亭湖区校级期末）已知线段，，如果线段是线段、的比例中项，那么
A． B．3 C．4.5 D．5
【答案】
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以．
故选．
4．（2023秋 莲湖区期末）如图，，若，，，则的长度是
A．6 B． C． D．
【答案】
【解析】，
，即，
解得：，
故选．
5．（2024 益阳模拟）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为
A．16 B． C． D．
【答案】
【解析】矩形与矩形相似，
，
矩形的面积，
矩形的面积．
故选．
6．（2023秋 桐柏县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
、添加，不能判定，故本选项符合题意；
故选．
7．（2024春 工业园区校级月考）如图，，分别是的边，的点，且，与交于点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，，
，
，
，
，
，
．
故选．
8．（2024 西城区校级开学）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．翻译：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置．
在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，则蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为，
故选．
9．（2024春 招远市期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，、分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，那么该正方形城邑边长约为 步．
A．300 B．260 C．225 D．185
【答案】
【解析】，，
，
在正方形中，，过点，
，则，
，
，
、分别是正方形的边、的中点，设，
，
步，步，
，即，
解得，
正方形城邑边长步，
故选．
10．（2024 乌当区一模）如图，点，在轴上取一点，连接，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交轴于点．若与相似，则点的坐标为
A． B．， C．， D．，
【答案】．
【解析】由点的画法可知平分．
，
．
，
，，
．
在中，，，
，
，
点的坐标为，．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 亭湖区校级期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 ．
【答案】．
【解析】两个相似三角形对应边之比是，
它们的周长之比等于，
故答案为：．
12．（2024 东昌府区校级开学）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，相似比为2：1，点A的坐标为（1，2），则点A′的坐标为 （2，4） ．
【答案】（2，4）．
【解析】根据题意，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，且相似比为2：1，
则OA′＝2OA，
∵点A的坐标为（1，2），
则A′的坐标为（2，4）
故答案为：（2，4）．
13．（2024春 工业园区校级月考）如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
【答案】．
【解析】如图，即为所求，面积．
故答案为：．
14．（2024春 新抚区月考）如图，在正方形中，对角线，交于点，的平分线交于点，过点作交于点，则 ．
【答案】．
【解析】四边形是正方形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（2024 罗湖区校级模拟）为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1米，并且在同一时刻测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为 14.6 米．
【答案】14.6
【解析】根据题画出图形可知，，，，
由图形可知，，
即，解得．
电线杆的高为14.6米．
16．（2022秋 宿松县校级期末）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时．
（1）当时，则 ；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ．
【答案】（1）；
（2）6．
【解析】（1），
，，
，，
，
，
．
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
的值最小时，的值最小，此时的值最小，
，，，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时，
，
的最小值为，
故答案为：6．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 庐江县期末）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．
【解析】，
，
，
，，
，
，
．
18．（2023秋 定陶区期末）已知、、是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为60，求各边的长．
【解析】（1）设，则，，，
所以；
（2），
解得，
所以，，．
19．（2023秋 泗县月考）如图，四边形四边形．
（1）求的度数；
（2）求边的长度．
【解析】（1）四边形四边形，
，，
；
（2）四边形四边形，
，
，
．
20．（2024 天长市三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点．
（2）如图2，在边上找一点，使得．
【解析】（1）如图1所示，在延长线上取格点，在延长线上取格点，使，，连接，，，
则，
，
，
故即为所求；
（2）如图2所示，在点的下方取格点，使，，连接交于点，
则，
，
，
故点即为所求作．
21．（2023秋 岑溪市期末）如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【解析】（1）证明：，
，
，
．
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
22．（2024 蒸湘区校级模拟）如图，在△中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当，时，求菱形的周长．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
由作图轨迹可知：为的角平分线，
，
，
，
，
为菱形；
（2）解：，，，
，
设菱形边长为，则，，
，
△△，
即，
解得：，
菱形的周长为．
23．（2023秋 贵池区月考）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”．
（1）如图1，在四边形中，，，，当时，求证：对角线是四边形的“完美对角线．
（2）如图2，在四边形中，平分，当与满足什么关系时，对角线是四边形的“完美对角线”？请说明理由．
【解析】（1）证明：如图1中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是四边形的“完美对角线”．
（2）解：如图2中，当时，对角线是四边形的“完美对角线”．
理由：平分，
，
，，
，
，
对角线是四边形的“完美对角线”．
24．（2024 新城区校级开学）如图，在△中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点，分别从，两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒．
（1）当为何值时，△的面积为？
（2）是否存在某一时间，使得△和△相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意 ，．
，
解得：，
当时，△的面积等于．
（2）设在开始运动后第秒，△与△相似，
由题意得： ，， ，
分两种情况考虑：
当，时，△△，
，即，
解得：，
当秒时，△与△相似；
当，时，△△，
，即，
解得：，
当秒时，△与△相似．
综上，当秒或2秒时，△与△相似．
25．（2024春 烟台期末）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：．
应用拓展：
（2）如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长
【解析】（1）证明：，
，，
，
，
，，
，
，
．
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由（1）可知，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
．
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第4章 图形的相似 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 兴宁市校级二模）如果，则
A． B． C． D．
2．（2023秋 北海期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 亭湖区校级期末）已知线段，，如果线段是线段、的比例中项，那么
A． B．3 C．4.5 D．5
4．（2023秋 莲湖区期末）如图，，若，，，则的长度是
A．6 B． C． D．
5．（2024 益阳模拟）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为
A．16 B． C． D．
6．（2023秋 桐柏县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是
A． B． C． D．
7．（2024春 工业园区校级月考）如图，，分别是的边，的点，且，与交于点，则的值为
A． B． C． D．
8．（2024 西城区校级开学）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．翻译：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置．
在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，则蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为
A． B． C． D．
9．（2024春 招远市期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，、分别是正方形的边、的中点，，，过点，且步，步，那么该正方形城邑边长约为 步．
A．300 B．260 C．225 D．185
10．（2024 乌当区一模）如图，点，在轴上取一点，连接，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交轴于点．若与相似，则点的坐标为
A． B．， C．， D．，
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 亭湖区校级期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 ．
12．（2024 东昌府区校级开学）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，相似比为2：1，点A的坐标为（1，2），则点A′的坐标为 ．
13．（2024春 工业园区校级月考）如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
14．（2024春 新抚区月考）如图，在正方形中，对角线，交于点，的平分线交于点，过点作交于点，则 ．
15．（2024 罗湖区校级模拟）为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1米，并且在同一时刻测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为 米．
16．（2022秋 宿松县校级期末）如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时．
（1）当时，则 ；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 庐江县期末）如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．
18．（2023秋 定陶区期末）已知、、是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为60，求各边的长．
19．（2023秋 泗县月考）如图，四边形四边形．
（1）求的度数；
（2）求边的长度．
20．（2024 天长市三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点．
（2）如图2，在边上找一点，使得．
21．（2023秋 岑溪市期末）如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
22．（2024 蒸湘区校级模拟）如图，在△中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当，时，求菱形的周长．
23．（2023秋 贵池区月考）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”．
（1）如图1，在四边形中，，，，当时，求证：对角线是四边形的“完美对角线．
（2）如图2，在四边形中，平分，当与满足什么关系时，对角线是四边形的“完美对角线”？请说明理由．
24．（2024 新城区校级开学）如图，在△中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点，分别从，两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒．
（1）当为何值时，△的面积为？
（2）是否存在某一时间，使得△和△相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
25．（2024春 烟台期末）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：．
应用拓展：
（2）如图③，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长
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