湘教版数学九年级上册（新）教案：4.1.2 正弦和余弦的相互关系公式

课题 正弦和余弦的相互关系公式
教学目标 知识与技能：使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题。过程与方法：通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力。情感态度与价值观：培养学生运用知识结构总结问题的能力。
重点 公式的推导和应用
难点 公式的应用
教学方法 课型 教具
教学过程： 一、从学生原有的认知结构提出问题 （投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13）①c＞a，c＞b答：（1）边的关系：②a+b＞c，…③a2+b2=c2. （2）角的关系：∠A+∠B=90°. （3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，… 教师归纳指出：由此可见，在一个直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题） 二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程 1．复习特殊角三角函数值. （边问边按下列格式白板演示） sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？ 答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°. 2．从特殊到一般提出猜想. 猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB，cosA=sinB. 3．证明猜想，形成公式. （采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.） 互为余角的正、余弦的相互关系： （1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，或cosA=sinB. （2）sinα=cos（90°-α），或cosα=sin（90°-α）. （3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 练习1（口答） sin37°=cos ； cos62°=sin ； sin47°-cos43°= ； = . 4．应用公式，变式练习. 例1 （1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A.求cosB； （2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°； （3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇.分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式.三、sin2A+cos2A=1的教学过程从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式（投影）如图6-15，△ABC中，∠C=90°.复习：a+b＞c，a2+b2=c2.引导：>1，.发现：sinA+cosA>1，sin2A+cos2A=1.由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角）（1）sinA+cosA>1，（了解）（2）sin2A+cos2A=1.（重点）对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握.所以下面讲公式（2）的变形和应用.2．理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形. sin2A+cos2A=1， sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA）， sinA=， cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），cosA=.解公式成立的条件.应用举例，变式练习.练习2（口答）下列等式是否成立？（1）sin230°+cos245°=1； （2）sin237°+sin253°=1；（3）cos256°+sin256°=1； （4）sin246°+cos246°=1；（5）sin2α+sin2（90°-α）=1.例2 已知∠A为锐角，且cosA=.求sinA的值.解：因为sin2A+cos2A=1，且∠A为锐角，所以 sinA===.教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当∠A为锐角时，已知cosA可求sinA，同样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简.例3 化简：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A.（∠A为锐角）分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到“sin2A+cos2A=1”这个公式.解：sin4A+sin2A·cos2A+cos2A = sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A = sin2A+cos2A =1例4 已知：△ABC中，∠C=90°，AC=2， BC=4，如图求sinA，cosA，sinB，cosB.解：AB===6，所以 sinA==，cosA==， sinB=sin（90°-A）=cosA=， cosB=cos（90°-A）=sina=. 这里求cosA，也可用cosA=来求.四、小结1．先提出以下问题：（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？（2）应用这两个公式时应注意什么问题？2．在学生回答的基础上教师总结指出：至今为止，我们学习了四条性质：（白板演示下述知识结构） 1、sin(90°-α)=cosα cos(90°-α)=sinα 2、 sin2α+sin2(90°-α)=1 （2）注意：公式成立的条件均为锐角，在第三个公式中，还要注意两个角是互余关系；在第四个公式中同角的条件，还要善于灵活变形应用.作业1、教材 P116 8、9、10题2、(补充)①把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：（1）sin32°；（2）cos75°；（3）sin54°19′；（4）sin41°53′. ②填空：（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′= .（2）已知：cos4°24′=0.997 1，则sin85°36′= . ③在△ABC中，∠C=90°，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条件求出∠A的正弦值和余弦值，然后说出∠B的正弦值和余弦值：（1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4；（3）b=2,c=； （4）a=4，b=8. ④设∠A 为锐角，且sinA=，求cosA. 个案修改