2024年九年级开学摸底考试卷
数 学
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：北师大版八下全部、九上第一、二章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是 ( )
A． B．
C． D．
x2 x
2．分式 的值为 0，则 x的值是 ( )
x 1
A．0 B． 1 C．1 D．0或 1
3． a与 9的差不大于 1，用不等式表示为 ( )
A． a 9 1 B． a 9 1 C． a 9 1 D． a 9 1
4．用配方法解一元二次方程 x2 8x 10 0配方后得到的方程是 ( )
A． (x 8)2 54 B． (x 8)2 54 C． (x 4)2 6 D． (x 4)2 6
5．下列因式分解正确的是 ( )
A． x2 9 (x 3)2 B． a2 2a 4 (a 2)2
C． a3 4a2 a2 (a 4) D．1 4x2 (1 4x)(1 x)
6．以下说法错误的是 ( )
A．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B．六边形内角和为1080
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 60 ”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 60
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送
到 900里外的城市，需要的时间比规定时间多 1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3天．已
知快马的速度是慢马的 2倍，求规定时间．设规定时间为 x天，则可列方程为 ( )
A 900 900 900 900． 2 B． 2
x 1 x 3 x 1 x 3
C 900 2 900 D 900 900． ． 2
x 1 x 3 x 1 x 3
8．如图，菱形 ABCD的边长为 5 ，对角线 AC，BD交于点O，OA 1，则菱形 ABCD的面积为 ( )
A． 5 B． 2 5 C．2 D．4
9．如图，在矩形 ABCD中，E，F 分别是 AD，CD的中点，连接 BE ，BF ，且G，H 分别是 BE ，BF
的中点，已知 BD 20，则GH 的长为 ( )
A．4 B．5 C．8 D．10
10．如图，平行四边形 ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交 AD，BC于点 E，F ，在 BD上
找点M ， N（点 N在点M 下方），使以点 E， F ，M ， N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、
丙三个方案中，正确的方案是 ( )
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
11．若关于 x的不等式 (a 3)x a 3的解集是 x 1，则 a的取值范围是 ．
12．如图， ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，点 E，F 在 AC 的上，添加一个条件使 BOE DOF ，
这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．若关于 x的一元二次方程 x2 2x n 0有两个相等的实数根，则 n的值为 ．
14．足球有 12个正五边形，20个正六边形，一共 32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，
是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于 360 ，这样由平面折叠而成的多面
体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙 AOB的大小为 ．
15．如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A与 DC边上的点 H 重合 (H 不与端点C，D重合），折痕交 AD
于点 E，交 BC于点 F ，边 AB折叠后与边 BC交于点G，设正方形 ABCD的周长为m， CHG的周长
n n为 ，则 的值为 ．
m
三、解答题（本大题共 7 小题，共 75 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解方程： x2 6x 1 0；
2x 5 0
（2）解不等式组 ．
1 x 2x
17．（9分）如图，点 D在 AC上， AB AC， AB / /DE．
（1）若 C 70 ，求 ADE 的度数；
（2）若 BC平分 ABE ，求证： A E．
18．（9分）已知关于 x的一元二次方程 x2 mx m 1 0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为 3，求m的值．
19．（11分）【项目情境】
校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业
发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）
记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为 x（份 )，甲、乙两
个印刷厂的收费分别为 y1（元 )和 y2 （元 )．
【项目解决】
目标 1：确定甲、乙两厂的收费标准．
（1）分别求 y1、 y2 关于 x的函数表达式．
目标 2：给出最终选择方案．
（2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？
20．（12分）在今年的 3月 12日第 43个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学
校决定购买甲、乙两种树苗．已知用 800元购买甲种树苗的棵数与用 680元购买乙种树苗的棵数相同，
乙种树苗比甲种树苗每棵少 6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元；
（2）若准备用 7600元购买甲、乙两种树苗共 200棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
21．（12分）矩形 ABCD的边长 AB 18cm，点 E在 BC上，把 ABE沿 AE折叠，使点 B落在CD边的
点 F 处， BAE 30 ．
（1）如图 1，求 DF的长度；
（2）如图 2，点 N从点 F 出发沿 FD以每秒1cm的速度向点D运动，同时点 P从点 A出发沿 AF 以每秒
2cm的速度向点 F 运动，运动时间为 t秒 (0 t 9)，过点 P作 PM AD，于点M ．
①请证明在 N、 P运动的过程中，四边形 FNMP是平行四边形；
②连接 NP，当 t为何值时， MNP为直角三角形？
22．（12 分）【问题情境】：如图 1，点 E为正方形 ABCD内一点， AE 2， BE 4， AEB 90 ，将
直角三角形 ABE绕点 A逆时针方向旋转 度 (0 180 )点 B、 E的对应点分别为点 B 、 E ．
【问题解决】：
（1）如图 2，在旋转的过程中，点 B 落在了 AC上，求此时CB 的长；
（2）若 90 ，如图 3，得到 ADE （此时 B 与 D重合），延长 BE 交 DE 于点 F ，
①试判断四边形 AEFE 的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形 ABE绕点 A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE 长度的取值范围．新九年级开学摸底考试卷
数学·答案及评分标准
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1． B 2． A 3．D 4． D 5．C
6． B 7．C 8．D 9． B 10． A
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11． a 3 12．OE OF（答案不唯一） 13．1．
1
14．12 15．
2
三、解答题（本大题共 7 小题，共 75 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
1 5
16．【答案】（1） x 3 10 ；（2） x ．3 2
【解答】解：（1） x2 6x 1 0
a 1，b 6， c 1，
△ 36 4 1 ( 1) 40 0，··········2分
x 6 40 6 2 10 3 10；··········5分
2 2
2x 5 0①
（2） ，
1 x 2x②
5
解不等式①得 x ，··········7分
2
x 1解不等式②得 ，··········9分
3
1 5
所以不等式组的解集是： x ．··········10分
3 2
17．
【答案】（1） ADE 的度数是140 ；
（2）证明见解答．
【解答】（1）解： AB AC ， C 70 ，
ABC C 70 ，
A ABC C 180 70 70 40 ，
AB / /DE，
ADE 180 A 180 40 140 ，
ADE的度数为140 ．··········4分
（2）证明： BC 平分 ABE ，
EBC ABC ，
ABC C ，
EBC C ，
BE / /AD，
AB / /DE，
四边形 ABED是平行四边形，
A E．··········9分
18．
【答案】（1）见解析；
（2） 3．
【解答】（1）证明： a 1， b m， c m 1，··········1分
△ b2 4ac
m2 4 1 (m 1)
m2 4m 4 ··········3分
(m 2)2 0，
该方程总有两个实数根；··········5分
（2）解： 该方程两个实数根的和为 3，
m 3，··········8分
m 3．··········9分
19．
【答案】（1） y1 0.4x； y2 0.2x 500；
（2）印制数量大于 2500本时，选择乙厂；印制数量为 2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于 2500
本时，选择甲厂．
【解答】解：（1）由图象可知，甲厂每本收费 400 1000 0.4 （元 )，
y1 0.4x；··········2分
设 y2 kx b，把 (0,500)， (1000,700)代入得：
b 500
1000k b 700，
k 0.2
解得
b 500
，
y2 0.2x 500；··········5分
（2）当 y1 y2，即 0.4x 0.2x 500时，
解得： x 2500，
印制数量大于 2500本时，选择乙厂；··········7分
当 y1 y2，即 0.4x 0.2x 500时，
解得： x 2500，
印制数量为 2500本时，选择两个厂都一样；··········9分
当 y1 y2 ，即 0.4x 0.2x 500时，
解得： x 2500，
印制数量小于 2500本时，选择甲厂；··········11分
答：印制数量大于 2500本时，选择乙厂；印制数量为 2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于 2500
本时，选择甲厂．
20．
【答案】（1）甲种树苗每棵 40元．
（2）至少要购买乙种树苗 67棵．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵 x元，则乙种树苗每棵 (x 6)元．··········1分
800 680
依题意列方程得， ，··········3分
x x 6
800x 4800 680x，
解得 x 40，··········4分
经检验 x 40是原方程的根．··········5分
答：甲种树苗每棵 40元．··········6分
（2）设购买乙种树苗的 y棵，则购买甲种树苗的 (200 y)棵，
根据题意，得 34y 40(200 y) 7600 ，··········8分
解得 y 66
2
，··········10分
3
y为整数，
y的最小值为 67．··········11分
答：至少要购买乙种树苗 67棵．··········12分
21．
【答案】（1） 9cm；
（2）①证明见解析；
9 36
② 秒或 秒．
2 5
【解答】（1）解： 四边形 ABCD是矩形，
D BAD B 90 ，
由折叠的性质得： AF AB 18cm， FAE BAE 30 ，
DAF 90 30 30 30 ，
DF 1 AF 9(cm)；··········5分
2
（2）①证明：由题意得： FN t cm， PA 2t cm，
则 PF (18 2t)cm，
PM AD， FD AD，
PM / /FD， PMA 90 ，
由（1）得： DAF 30 ，
1
PM PA t (cm)，
2
FN PM ，
四边形 FNMP是平行四边形；··········5分
②解：分三种情况：
a、当 MPN 90 时， PM PN ，如图 2所示：
PM AD， AD CD，
PN / /AD， PN CD，
FPN DAF 30 ， PNF 90 ，
FN 1 PF ，
2
t 1即 (18 2t)，
2
9
解得： t ；
2
b、当 PMN 90 时，点 N、M 重合，不能构成 MNP；
c、当 PNM 90 时，如图 3所示：
过 P作 PH FN 于H ，
则四边形 PHDM 是矩形， PHF PHD 90 ， PH / /AD，
PH DM ， HPF DAF 30 ，
FH 1 PF (9 t )cm，
2
ND DF FN (9 t )cm，
FH ND，
D PHF 90 ， PH MD，
DMN HPF (SAS )，
MN PF (18 2t )cm， DMN HPF 30 ，
NMP 90 30 60 ，
MPN 90 60 30 ，
PM 2MN (36 4t)cm，
PM t cm，
36 4t t，
t 36解得： ；
5
9 36
综上所述，当 t为 秒或 秒时， MNP为直角三角形．··········12分
2 5
22．
【答案】（1） 2 10 2 5；
（2）①正方形，理由见解析；② 2 5 ；
（3） 2 5 CE 2 10 2．
【解答】解：（1） AE 2， BE 4， AEB 90 ，
AB AE2 BE2 22 42 2 5 ，
四边形 ABD是正方形，
BC AB 2 5 ， ABC 90 ，
AC 2AB 2 10，
由旋转的性质得： AB AB 2 5，
CB AC AB 2 10 2 5 ；··········3分
（2）①四边形 AEFE 是正方形，理由如下：··········4分
由旋转的性质得： AE AE， EAE 90 ， AE D AEB 90 ，
AEF 180 90 90 ，
四边形 AEFE 是矩形，
又 AE AE ，
四边形 AEFE 是正方形；··········6分
②过点C作CG BE于点G，如图 3所示：
则 BGC 90 AEB，
CBG BCG CBG ABE 90 ，
BCG ABE，
在 BCG和 ABE中，
BGC AEB
BCG ABE，
BC AB
BCG ABE (AAS )，
CG BE 4， BG AE 2，
EG BE BG 4 2 2，
CE CG2 EG2 42 22 2 5；··········10分
（3） 点 E不会在线段 AC上，
CE的最小值就是初始位置时的长度 2 5 ，
当 E 落在CA的延长线上时， AE AE 2，CE 最长 AC AE 2 10 2，
线段CE 长度的取值范围是 2 5 CE 2 10 2．··········12分
