人教版九年级上学期数学课时进阶测试23.2中心对称（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024九下·绵阳模拟）下列图形中，中心对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
2．（2024七下·淇滨月考）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
【答案】A
【知识点】中心对称的性质
3．（2019八上·平川期中）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1 D．2 +1
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：设点C所对应的实数为x，
，解得 .
故答案为：D.
【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，AB=AC，据此建立关于x的方程，解方程求出x的值。
4．（2024九下·阳新模拟）如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
5．（【名师面对面】学科素养评价B本数学八年级下册评价28中心对称） 平面直角坐标系中有 和 四个点， 若以 为顶点的四边形是平行四边形，则平行四边形的对称中心是( )
A． B． C． D．以上都是
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①当AB是平行四边形的对角线时，线段AB的中点即是平行四边形的对称中心，∴对称中心为（-1，2）；
②当AC是平行四边形的对角线时，线段AC的中点即是平行四边形的对称中心，∴对称中心为（0，0）；
③当BC是平行四边形的对角线时，线段BC的中点即是平行四边形的对称中心，∴对称中心为（-3，-1）；
综上所述，平行四边形的对称中心是（-1，2）或（0，0）或（-3，-1）；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质及中心对称图形的定义及特征逐项分析判断即可.
6．（2024八下·南皮期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F，若，，以下结论不正确的是（ ）
A．AE平分 B．
C．点C的坐标为 D．矩形ABCD的面积为
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AC=BD，AO=CO=BO=DO，
∴∠OAB=∠OBA，
∵轴
∴AF∥OB，
∴∠OBA=∠EAF，
∴∠OAB=∠EAF，即AE平分∠OAF，故A正确；
∵，
∴OA=3AF，
∵OA2=AF2+OF2，OF=4，
∴9AF2=AF2+42，解得AF=
∴BD=2OB=2×3=6，A（4，），故B正确；
∵点A与点C关于原点对称，
∴C（-4，-），故C错误；
D、∵△ABD的面积为BD·OF=×6×4=12，
∴ 矩形ABCD的面积=2×△ABD的面积=24，故D正确；
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得AO=BO，则∠OAB=∠OBA，易得AF∥OB，可得∠OBA=∠EAF，由等量代换可得∠OAB=∠EAF，据此判断A；由勾股定理可得OA2=AF2+OF2，结合OA=OB=3AF，可求出AF=，继而求出BD的长及点A的坐标，据此判断B；由点A与点C关于原点对称，可求出点C坐标，据此判断C；先求出△ABD的面积为BD·OF=12，继而得出矩形ABCD的面积=2×△ABD的面积=24，据此判断D.
7．（【名师面对面】学科素养评价B本数学八年级下册评价28中心对称）图 1 和图 2 中所有的小正方形都相等， 将图 1 的小正方形放在图 2 中①、②、③、④的某一位置， 使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形， 这个位置是( )
A．① B．② C．③ D．④
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：根据图形可得：当正方形放在③的位置时， 组成的图形是中心对称图形，
故答案为：C.
【分析】利用中心对称图形的定义及特征逐项分析判断即可.
8．（2024七下·唐河期末）如图，数学课上，老师在黑板上画出两个正多边形Ⅰ、Ⅱ，甲、乙、丙、丁四名同学分别给出如下结论：
甲同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的内角和相等；
乙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的外角和相等；
丙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是轴对称图形；
丁同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是中心对称图形，结论正确的是（ ）
A．乙、丙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丁正确 D．甲、乙正确
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
二、填空题（每题3分）
9．（2024八下·陵水期末）如图， 轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
10．（2024七下·长宁期末）平面直角坐标系中有点P、、． 如果轴，轴， 那么点P关于原点O对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的点的坐标特征
11．（2024九下·博山模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】点到直线的距离；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；中心对称及中心对称图形
12．（2024九下·永寿模拟）如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
【答案】18
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
13．（【名师面对面】学科素养评价B本数学八年级下册评价28中心对称） 如图， 点 是 的对称中心， 是 边上的点，且 是 边上的点， 且 ． 若 ， 则 .
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，如图所示：
∵EF＝AB，
∴S△AOB＝2S△EOF，
∵S△EOF＝3，
∴S△AOB＝6，
∵GH＝BC，
∴S△BOC＝3S△OGH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOB＝S△BOC＝6，
∴S△OGH＝2．
故答案为：2．
【分析】连接OA，OB，OC，先利用EF＝AB，GH＝BC，求出S△AOB＝2S△EOF，S△BOC＝3S△OGH，再结合四边形ABCD是平行四边形求出S△AOB＝S△BOC＝6，再求出S△OGH＝2即可.
三、作图题
14．（2024八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）（﹣2，0）
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）连接A1A2，B1B2，如图：
则A1A2和B1B2的交点P即为对称中心，可得P坐标（-2，0）
【分析】（1）先将点A，B，C分别向左平移4个单位得到对应点A1，B1，C1，再顺次连接三个点，即可得到平移后的图形；
（2）分别连接CO，AO，BO并延长，使C2O，A2O，B2O，再顺次连接三个点，即可得到关于原点O 成中心对称的△A2B2C2；
（3）根据中心对称图形的对应点连线的交点为对称中心，据此即可找出对称中心点P的坐标.
四、解答题
15．（2024八下·顺德期末）如图，点为平行四边形的对称中心，经过点的直线交边于点，交的延长线于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）若，，，求的长；
（2）连接、，判断四边形的形状，并证明；
（3）求证：．
【答案】（1）解：解：，，，
，
，
点为平行四边形的对称中心，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（3）证明：由知：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
≌，
，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意结合含30°角的直角三角形的性质得到BN=2，进而运用勾股定理求出OB，再根据对称中心的定义结合题意即可求解；
（2）根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（3）根据三角形全等的性质得到，进而根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而即可求解。
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试23.2中心对称（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2024九下·绵阳模拟）下列图形中，中心对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024七下·淇滨月考）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2
3．（2019八上·平川期中）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1 D．2 +1
4．（2024九下·阳新模拟）如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（【名师面对面】学科素养评价B本数学八年级下册评价28中心对称） 平面直角坐标系中有 和 四个点， 若以 为顶点的四边形是平行四边形，则平行四边形的对称中心是( )
A． B． C． D．以上都是
6．（2024八下·南皮期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，轴，垂足为F，若，，以下结论不正确的是（ ）
A．AE平分 B．
C．点C的坐标为 D．矩形ABCD的面积为
7．（【名师面对面】学科素养评价B本数学八年级下册评价28中心对称）图 1 和图 2 中所有的小正方形都相等， 将图 1 的小正方形放在图 2 中①、②、③、④的某一位置， 使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形， 这个位置是( )
A．① B．② C．③ D．④
8．（2024七下·唐河期末）如图，数学课上，老师在黑板上画出两个正多边形Ⅰ、Ⅱ，甲、乙、丙、丁四名同学分别给出如下结论：
甲同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的内角和相等；
乙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的外角和相等；
丙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是轴对称图形；
丁同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是中心对称图形，结论正确的是（ ）
A．乙、丙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丁正确 D．甲、乙正确
二、填空题（每题3分）
9．（2024八下·陵水期末）如图， 轴于点E，轴于点F，若，，则点A关于原点的对称点的坐标是 ．
10．（2024七下·长宁期末）平面直角坐标系中有点P、、． 如果轴，轴， 那么点P关于原点O对称的点的坐标是 ．
11．（2024九下·博山模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
12．（2024九下·永寿模拟）如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ．
13．（【名师面对面】学科素养评价B本数学八年级下册评价28中心对称） 如图， 点 是 的对称中心， 是 边上的点，且 是 边上的点， 且 ． 若 ， 则 .
三、作图题
14．（2024八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是
四、解答题
15．（2024八下·顺德期末）如图，点为平行四边形的对称中心，经过点的直线交边于点，交的延长线于点，交边于点，交的延长线于点．
（1）若，，，求的长；
（2）连接、，判断四边形的形状，并证明；
（3）求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
2．【答案】A
【知识点】中心对称的性质
3．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：设点C所对应的实数为x，
，解得 .
故答案为：D.
【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，AB=AC，据此建立关于x的方程，解方程求出x的值。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①当AB是平行四边形的对角线时，线段AB的中点即是平行四边形的对称中心，∴对称中心为（-1，2）；
②当AC是平行四边形的对角线时，线段AC的中点即是平行四边形的对称中心，∴对称中心为（0，0）；
③当BC是平行四边形的对角线时，线段BC的中点即是平行四边形的对称中心，∴对称中心为（-3，-1）；
综上所述，平行四边形的对称中心是（-1，2）或（0，0）或（-3，-1）；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质及中心对称图形的定义及特征逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AC=BD，AO=CO=BO=DO，
∴∠OAB=∠OBA，
∵轴
∴AF∥OB，
∴∠OBA=∠EAF，
∴∠OAB=∠EAF，即AE平分∠OAF，故A正确；
∵，
∴OA=3AF，
∵OA2=AF2+OF2，OF=4，
∴9AF2=AF2+42，解得AF=
∴BD=2OB=2×3=6，A（4，），故B正确；
∵点A与点C关于原点对称，
∴C（-4，-），故C错误；
D、∵△ABD的面积为BD·OF=×6×4=12，
∴ 矩形ABCD的面积=2×△ABD的面积=24，故D正确；
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得AO=BO，则∠OAB=∠OBA，易得AF∥OB，可得∠OBA=∠EAF，由等量代换可得∠OAB=∠EAF，据此判断A；由勾股定理可得OA2=AF2+OF2，结合OA=OB=3AF，可求出AF=，继而求出BD的长及点A的坐标，据此判断B；由点A与点C关于原点对称，可求出点C坐标，据此判断C；先求出△ABD的面积为BD·OF=12，继而得出矩形ABCD的面积=2×△ABD的面积=24，据此判断D.
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：根据图形可得：当正方形放在③的位置时， 组成的图形是中心对称图形，
故答案为：C.
【分析】利用中心对称图形的定义及特征逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
9．【答案】
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
10．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的点的坐标特征
11．【答案】①②③
【知识点】点到直线的距离；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；中心对称及中心对称图形
12．【答案】18
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
13．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，如图所示：
∵EF＝AB，
∴S△AOB＝2S△EOF，
∵S△EOF＝3，
∴S△AOB＝6，
∵GH＝BC，
∴S△BOC＝3S△OGH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOB＝S△BOC＝6，
∴S△OGH＝2．
故答案为：2．
【分析】连接OA，OB，OC，先利用EF＝AB，GH＝BC，求出S△AOB＝2S△EOF，S△BOC＝3S△OGH，再结合四边形ABCD是平行四边形求出S△AOB＝S△BOC＝6，再求出S△OGH＝2即可.
14．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）（﹣2，0）
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）连接A1A2，B1B2，如图：
则A1A2和B1B2的交点P即为对称中心，可得P坐标（-2，0）
【分析】（1）先将点A，B，C分别向左平移4个单位得到对应点A1，B1，C1，再顺次连接三个点，即可得到平移后的图形；
（2）分别连接CO，AO，BO并延长，使C2O，A2O，B2O，再顺次连接三个点，即可得到关于原点O 成中心对称的△A2B2C2；
（3）根据中心对称图形的对应点连线的交点为对称中心，据此即可找出对称中心点P的坐标.
15．【答案】（1）解：解：，，，
，
，
点为平行四边形的对称中心，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（3）证明：由知：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
≌，
，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意结合含30°角的直角三角形的性质得到BN=2，进而运用勾股定理求出OB，再根据对称中心的定义结合题意即可求解；
（2）根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（3）根据三角形全等的性质得到，进而根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明≌得到，从而即可求解。
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