人教版九年级上学期数学课时进阶测试23.2中心对称（三阶）
一、选择题
1．（2017九上·平桥期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1）
C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）
2．（2024九下·邱县期末）如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，长为半径画弧；
（2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接，与交于点E，连接．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
3．（2024八下·鄞州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1），则点B的坐标是（ ）
A．(-2，-1) B．(-2，1) C．(-1，2) D．(1，2)
4．（2024九下·定陶期中）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八下·灌云期中）如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·雅安期末）已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023八上·海阳期末）在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·南关模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A在第二象限，与y轴交于点B，对称轴为直线l，于点C，点A与点E关于的中点D成中心对称，以点E为顶点的抛物线经过点D，则的值为 ．
10．（2020九上·林西期末）如图，在平面直角坐标中，对抛物线 在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A点的坐标是 ．
11．（2019·龙岗模拟）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
12．（2019九上·望城期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为 ．
13．（2017·长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
三、作图题
14．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.2.1中心对称 同步练习）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O或中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边）．
①在图中画出点A′，并写出点A′坐标 ．
②写出a的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024九下·峰峰矿模拟）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．
因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（﹣a，﹣b﹣1），∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．
故答案为：D．
【分析】把AA′向上平移1个单位，根据平移的性质及点的坐标的平移规律得A的对应点A1坐标，根据关于坐标原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由A1的坐标即可得出A2的坐标，再根据点的坐标的平移规律得A2的对应点A'坐标.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；中心对称及中心对称图形
3．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得到点B和点D是关于原点的对称点，进而写出坐标即可.
4．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
6．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
则点，
则点关于原点对称的点的坐标为
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出a，b的值，再结合关于原点对称的点的坐标特征：它们的坐标符号相反，求解即可。
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
9．【答案】-4
【知识点】中心对称及中心对称图形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设顶点A（m，n），则y=a1(x-m)2+n，
∴B（0，a1m2+n)，
∵ ，∴C（m，a1m2+n），
∵点D为BC的中点，∴D（m，a1m2+n），
∵ 点A与点E关于的中点D成中心对称 ，∴点D为AE的中点，
设E（0，b），∴a1m2+n=，解得b=2a1m2+n，
即得E（0，2a1m2+n），
∴ 以点E为顶点的抛物线为y=a2x2+2a1m2+n，
把D（m，a1m2+n）代入得a1m2+n=a2·m2+2a1m2+n，
∴a2=-4a1，即得 =-4；
故答案为：-4.
【分析】设顶点A（m，n），则y=a1(x-m)2+n，从而得出B（0，a1m2+n)，C（m，a1m2+n），利用中点坐标公式求出D（m，a1m2+n），根据中心对称的性质及中点坐标公式可表示出E（0，2a1m2+n），利用顶点式写出 以点E为顶点的抛物线y=a2x2+2a1m2+n，然后把D的坐标代入可得a2=-4a1，继而得解.
10．【答案】
【知识点】点的坐标；轴对称的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线 的顶点坐标为
点A第一次关于x轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，
∵
∴经过第2020次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为
故答案为：
【分析】观察变换可知每3次对称为一个循环组，由，可得经过第2020次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，据此求解即可.
11．【答案】（﹣1，5）
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣
，
），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．
【分析】此题的难点在于正确添加辅助线。先利用正方形的性质为三角形全等创造条件，从而求出关键点G的坐标，然后再根据中心对称的性质得出点F的坐标。
12．【答案】8
【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据题意可知，点C’的运动路径为以O为圆心OC’长为半径的圆，
∴当B、O、C'共线且B、C'在O点异侧时BC'最大，
∴BC'的最大值为OB+OC'，
∵AC＝6，BC＝4，
∴OC=OC'=3，OB=5，
∴BC'的最大值为OB+OC'=5+3=8，
故答案为8.
【分析】根据题意可知，点C’的运动路径为以O为圆心OC’长为半径的圆，当B、O、C'共线且B、C'在O点异侧时BC'最大，然后根据勾股定理求出OB即可得.
13．【答案】（﹣2，﹣3）
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图
，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=2 ，∠ABD=45°，
∴BD=AD=2，
A（4，3），
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得 ，
AB的解析式为y=x﹣1，
当y=1时，x=1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2，
yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【分析】点B，C的坐标为（2，1），（6，1）可知BC水平，由题意知△ABC是等腰直角三角形，可算出A的坐标，再算出交点P的坐标，由中心对称可知P是AA’的中点，由中点坐标公式可求出A’的坐标.
14．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（﹣2，2）；4＜a＜6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（2）①如图所示，点A′的坐标为（﹣2，2）；
②观察图形可知：A′A1=4，点A′到BC的距离为6，所以4＜a＜6，
故答案为：①（﹣2，2）；②4＜a＜6
【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，先分别作出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接，即可解答。
（2）①利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可解答；②利用平移的性质，结合已知求出A′A1及点A′到BC的距离，就可得出a的取值范围。
15．【答案】（1），
（2）
（3）点的坐标为或或
【知识点】勾股定理；中心对称的性质
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试23.2中心对称（三阶）
一、选择题
1．（2017九上·平桥期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a，﹣b﹣1）
C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．
因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（﹣a，﹣b﹣1），∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．
故答案为：D．
【分析】把AA′向上平移1个单位，根据平移的性质及点的坐标的平移规律得A的对应点A1坐标，根据关于坐标原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由A1的坐标即可得出A2的坐标，再根据点的坐标的平移规律得A2的对应点A'坐标.
2．（2024九下·邱县期末）如图，对于的已知条件，老师按照下面步骤作图：
（1）以A圆心，长为半径画弧；
（2）以C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；
（3）连接，与交于点E，连接．
小张等几个同学得出以下结论，其中正确的是（ ）
①；②四边形是中心对称图形；③是的中垂线；④平分．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；中心对称及中心对称图形
3．（2024八下·鄞州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于直角坐标系的原点O，点D的坐标是（2，1），则点B的坐标是（ ）
A．(-2，-1) B．(-2，1) C．(-1，2) D．(1，2)
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得到点B和点D是关于原点的对称点，进而写出坐标即可.
4．（2024九下·定陶期中）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
5．（2024八下·灌云期中）如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
6．（2024八上·雅安期末）已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
则点，
则点关于原点对称的点的坐标为
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出a，b的值，再结合关于原点对称的点的坐标特征：它们的坐标符号相反，求解即可。
7．（2017·孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
8．（2023八上·海阳期末）在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
二、填空题
9．（2023·南关模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A在第二象限，与y轴交于点B，对称轴为直线l，于点C，点A与点E关于的中点D成中心对称，以点E为顶点的抛物线经过点D，则的值为 ．
【答案】-4
【知识点】中心对称及中心对称图形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设顶点A（m，n），则y=a1(x-m)2+n，
∴B（0，a1m2+n)，
∵ ，∴C（m，a1m2+n），
∵点D为BC的中点，∴D（m，a1m2+n），
∵ 点A与点E关于的中点D成中心对称 ，∴点D为AE的中点，
设E（0，b），∴a1m2+n=，解得b=2a1m2+n，
即得E（0，2a1m2+n），
∴ 以点E为顶点的抛物线为y=a2x2+2a1m2+n，
把D（m，a1m2+n）代入得a1m2+n=a2·m2+2a1m2+n，
∴a2=-4a1，即得 =-4；
故答案为：-4.
【分析】设顶点A（m，n），则y=a1(x-m)2+n，从而得出B（0，a1m2+n)，C（m，a1m2+n），利用中点坐标公式求出D（m，a1m2+n），根据中心对称的性质及中点坐标公式可表示出E（0，2a1m2+n），利用顶点式写出 以点E为顶点的抛物线y=a2x2+2a1m2+n，然后把D的坐标代入可得a2=-4a1，继而得解.
10．（2020九上·林西期末）如图，在平面直角坐标中，对抛物线 在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；轴对称的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线 的顶点坐标为
点A第一次关于x轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，
∵
∴经过第2020次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为
故答案为：
【分析】观察变换可知每3次对称为一个循环组，由，可得经过第2020次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，据此求解即可.
11．（2019·龙岗模拟）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
【答案】（﹣1，5）
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣
，
），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．
【分析】此题的难点在于正确添加辅助线。先利用正方形的性质为三角形全等创造条件，从而求出关键点G的坐标，然后再根据中心对称的性质得出点F的坐标。
12．（2019九上·望城期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为 ．
【答案】8
【知识点】旋转的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据题意可知，点C’的运动路径为以O为圆心OC’长为半径的圆，
∴当B、O、C'共线且B、C'在O点异侧时BC'最大，
∴BC'的最大值为OB+OC'，
∵AC＝6，BC＝4，
∴OC=OC'=3，OB=5，
∴BC'的最大值为OB+OC'=5+3=8，
故答案为8.
【分析】根据题意可知，点C’的运动路径为以O为圆心OC’长为半径的圆，当B、O、C'共线且B、C'在O点异侧时BC'最大，然后根据勾股定理求出OB即可得.
13．（2017·长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
【答案】（﹣2，﹣3）
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图
，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=2 ，∠ABD=45°，
∴BD=AD=2，
A（4，3），
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得 ，
AB的解析式为y=x﹣1，
当y=1时，x=1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2，
yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【分析】点B，C的坐标为（2，1），（6，1）可知BC水平，由题意知△ABC是等腰直角三角形，可算出A的坐标，再算出交点P的坐标，由中心对称可知P是AA’的中点，由中点坐标公式可求出A’的坐标.
三、作图题
14．（2018-2019学年数学人教版九年级上册23.2.1中心对称 同步练习）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O或中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边）．
①在图中画出点A′，并写出点A′坐标 ．
②写出a的取值范围为 ．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（﹣2，2）；4＜a＜6
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（2）①如图所示，点A′的坐标为（﹣2，2）；
②观察图形可知：A′A1=4，点A′到BC的距离为6，所以4＜a＜6，
故答案为：①（﹣2，2）；②4＜a＜6
【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，先分别作出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，再顺次连接，即可解答。
（2）①利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可解答；②利用平移的性质，结合已知求出A′A1及点A′到BC的距离，就可得出a的取值范围。
四、解答题
15．（2024九下·峰峰矿模拟）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点的坐标为或或
【知识点】勾股定理；中心对称的性质
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