人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.1圆有关的性质（二阶）
一、选择题
1．（2024九下·泸州月考）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
2．（2024九下·峨眉山模拟）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
3．（2023·瑞安模拟）如图，在中，点D，E分别是的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F.若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F，
∴，
∴，
即的长为3.
故答案为：C
【分析】利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出AB的长，利用作图可得到AF的长，根据BF=AB-AF，代入计算求出BF的长.
4．（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故答案为：B.
【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得
∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
5．（2024九下·宣城开学考）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
6．（2024九下·南山模拟）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理
7．（2024九下·济南模拟）已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
8．（2024九下·乐山模拟）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
二、填空题
9．（2024九上·海口期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为P，连接CP，则CP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念；圆周角定理
10．（2024九下·松江月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点是三角形的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
11．（2024九下·扬州模拟）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理
12．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵，
∴∠O=2∠A=2x，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=，
∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.
故答案为：90°.
【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观.
13．（2024九下·清江浦模拟）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
三、解答题
14．（2024九下·胶州模拟）在一个图形的内部（含边界）任取一点构造直角，使直角绕着顶点旋转，与该图形相交能构成一个新的封闭区域，那么我们称这个图形为“底弦图”，其中直角所对的“线”称为“直角弦”．
（1）如图1，“底弦图”是一个半径为3的圆，的顶点在上，所对的即为它所对的“直角弦”．小乐同学发现，在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为____________；
（2）如图2，“底弦图”是一个边长为3的正方形，的顶点在正方形的中心，折线即为所对的“直角弦”．在旋转过程中所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
（3）如图3，“底弦图”是一个长为6，宽为4的矩形．，在旋转过程中的两边与矩形分别相交于点E，F（点E在AB上，点F在BC上），所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
【答案】（1）
（2）3
（3）8
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理
15．（2024九下·阿城模拟）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．
（1）求的大小；
（2）过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长．
【答案】（1）；
（2）圆的直径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
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一、选择题
1．（2024九下·泸州月考）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
2．（2024九下·峨眉山模拟）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·瑞安模拟）如图，在中，点D，E分别是的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F.若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
4．（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．（2024九下·宣城开学考）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．2 B． C． D．3
6．（2024九下·南山模拟）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2024九下·济南模拟）已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
8．（2024九下·乐山模拟）如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·海口期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为P，连接CP，则CP的最小值为 ．
10．（2024九下·松江月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点是三角形的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为 .
11．（2024九下·扬州模拟）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ．
12．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
13．（2024九下·清江浦模拟）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ．
三、解答题
14．（2024九下·胶州模拟）在一个图形的内部（含边界）任取一点构造直角，使直角绕着顶点旋转，与该图形相交能构成一个新的封闭区域，那么我们称这个图形为“底弦图”，其中直角所对的“线”称为“直角弦”．
（1）如图1，“底弦图”是一个半径为3的圆，的顶点在上，所对的即为它所对的“直角弦”．小乐同学发现，在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为____________；
（2）如图2，“底弦图”是一个边长为3的正方形，的顶点在正方形的中心，折线即为所对的“直角弦”．在旋转过程中所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
（3）如图3，“底弦图”是一个长为6，宽为4的矩形．，在旋转过程中的两边与矩形分别相交于点E，F（点E在AB上，点F在BC上），所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
15．（2024九下·阿城模拟）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．
（1）求的大小；
（2）过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
3．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F，
∴，
∴，
即的长为3.
故答案为：C
【分析】利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出AB的长，利用作图可得到AF的长，根据BF=AB-AF，代入计算求出BF的长.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故答案为：B.
【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得
∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
8．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念；圆周角定理
10．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理
12．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵，
∴∠O=2∠A=2x，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=，
∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.
故答案为：90°.
【分析】根据圆周角定理及圆内等腰角度推理得出两角和，不熟练可设元表示目标角更为直观.
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质
14．【答案】（1）
（2）3
（3）8
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理
15．【答案】（1）；
（2）圆的直径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
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