人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.1圆有关的性质（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2023九上·钱塘月考）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为
A． B． C． D．
2．（2023九上·旌阳期中）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是( )
A．8 B． C． D．
3．（2023九上·任城月考）如图，在圆内接四边形中，，若四边形的面积是的长是，则与之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①∠DBC+∠ADO＝90°；②AD2+AC2＝4；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．（2023九上·秀屿期中）如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
6．（2023九上·淮安月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·平阳月考）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
8．（2024九上·长沙期末） 如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．5
二、填空题（每题3分）
9．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
10．（2023九上·滨海月考）在矩形中，，，点是线段的中点，点，分别为射线，线段上的动点，交以为直径的圆于点，则的最小值为 ．
11．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是 .
12．（2024九上·铁岭期末）如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上）
13．（2022九上·镇海区期中）如图， 等腰内接于，，，点D是上一点， 连接， 点E是上一点，满足. 若， 则的面积是 .
三、解答题
14．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
15．（2023九上·盘龙期中）综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，
则，（依据
，
，
点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上，（依据
点，，，四点在同一个圆上；
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）
依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；
（2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵
∴
∴
∵
∴①正确；
∵
∴
根据条件无法得到②错误；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴为等边三角形
∵
∴③正确；
若点P为BD的中点， 则
∵
∴
∴
∵O为AB的中点，
∴，
∴④正确；
故答案为：B.
【分析】证明得到结合即可判断①；根据条件推出无法得到即可判断②；证明即可得到为等边三角形即可判断③；利用"AAS"证明得到根据即可判断④.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆的相关概念；圆周角定理
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接交于，连接、、，记交于，如图所示：
∵C是以为直径的半圆O上一点，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上，
∵，的中点分别为D，E，
∴，，
∴，，
∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，即点C、D、E在同一直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴若要求出的长，只需知道的长即可，
故答案为：C．
【分析】先证出和是等腰直角三角形，可得，再求出，可得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得若要求出的长，只需知道的长即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax²的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），
AQ5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CMAP，
∴CM的最大值为．
故答案为：C．
【分析】先解方程得到点A的坐标，再由抛物线的性质以及圆周角定理得到C点为AB的中点和圆心的坐标，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半径，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线定理得到CMAP，从而求解.
9．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；圆周角定理
11．【答案】
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，
∵P，Q分别是，的中点，
∴则根据垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，∵AM=CM，
∴则M、P、H、O四点共线，同理可得O、J、Q、N四点共线，故根据中位线定理可得：
又∵∴故
故答案为：.
【分析】本题主要考查垂径定理、中位线的性质，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，根据题意可得利用垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，再根据中位线定理可得：的长度，再根据线段的和差关系得到：长度，再根据进行求解即可.
12．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
13．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与间距离处处相等，
∴，
∵点D是上一点，
∴，
作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝30°，再根据圆周角定理及三角形外角性质可得出∠ADB＝∠DEC＝30°，进而得出AD∥EC，根据平行线间的距离处处相等得及同底等高的三角形面积相等得S△AEC＝S△DEC，根据同弧所对的圆周角相等得∠EDC=∠BAC=120°，过点D作DH⊥EC于点H，根据圆周角定理并结合已知及角的和差可得∠DCE=∠DEC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DH的长，由勾股定理算出CH的长，最后根据三角形的面积计算公式算出△DEC的面积即可得出答案.
14．【答案】（1）证明：连接AE，如图：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵AF⊥AB，
∴∠FAB=90°
∴∠B+∠F=90°，
∵点E为弧AC得中点，
∴
∴∠B=∠EAD，
∴∠F=∠ADE
∴AD=AF；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4，
∴FB=5，
∵S△ABF=
∴
∴AE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得ED=，
∴BD=BE－ED=，
∴△ABD的周长4＋3＋=；
（3）解：①当AE=AP时，
∵
∴
②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图：
∵点E为弧AC的中点，
∴
∴P与C重合，
在中，
在中，
∴
解得：
∴
∴
③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图：
∴
在中，
∴
在中，
延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A，
在中，
综上所述，AP的长为：或或或.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解；
（2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长；
（3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解.
15．【答案】（1）①，③
（2）
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补；
点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：①，③；
（2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：
，
，
，
，
，，，共圆，即在过，，的上，
在过，，的上，
，，，，共圆，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可；
（2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，由，可得，故，有，，，共圆，即在过，，的上，即知，，，，共圆，从而，即可求出答案.
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.1圆有关的性质（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2023九上·钱塘月考）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理
2．（2023九上·旌阳期中）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
3．（2023九上·任城月考）如图，在圆内接四边形中，，若四边形的面积是的长是，则与之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
4．（2024九上·杭州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①∠DBC+∠ADO＝90°；②AD2+AC2＝4；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵
∴
∴
∵
∴①正确；
∵
∴
根据条件无法得到②错误；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴为等边三角形
∵
∴③正确；
若点P为BD的中点， 则
∵
∴
∴
∵O为AB的中点，
∴，
∴④正确；
故答案为：B.
【分析】证明得到结合即可判断①；根据条件推出无法得到即可判断②；证明即可得到为等边三角形即可判断③；利用"AAS"证明得到根据即可判断④.
5．（2023九上·秀屿期中）如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆的相关概念；圆周角定理
6．（2023九上·淮安月考）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
7．（2023九上·平阳月考）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接交于，连接、、，记交于，如图所示：
∵C是以为直径的半圆O上一点，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上，
∵，的中点分别为D，E，
∴，，
∴，，
∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，即点C、D、E在同一直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴若要求出的长，只需知道的长即可，
故答案为：C．
【分析】先证出和是等腰直角三角形，可得，再求出，可得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得若要求出的长，只需知道的长即可.
8．（2024九上·长沙期末） 如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax²的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），
AQ5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CMAP，
∴CM的最大值为．
故答案为：C．
【分析】先解方程得到点A的坐标，再由抛物线的性质以及圆周角定理得到C点为AB的中点和圆心的坐标，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半径，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线定理得到CMAP，从而求解.
二、填空题（每题3分）
9．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
10．（2023九上·滨海月考）在矩形中，，，点是线段的中点，点，分别为射线，线段上的动点，交以为直径的圆于点，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；圆周角定理
11．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是 .
【答案】
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，
∵P，Q分别是，的中点，
∴则根据垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，∵AM=CM，
∴则M、P、H、O四点共线，同理可得O、J、Q、N四点共线，故根据中位线定理可得：
又∵∴故
故答案为：.
【分析】本题主要考查垂径定理、中位线的性质，连结OP、OQ，分别交AC、BC于点H、J，根据题意可得利用垂径定理可得：H、J分别为AC、BC的中点，再根据中位线定理可得：的长度，再根据线段的和差关系得到：长度，再根据进行求解即可.
12．（2024九上·铁岭期末）如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上）
【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
13．（2022九上·镇海区期中）如图， 等腰内接于，，，点D是上一点， 连接， 点E是上一点，满足. 若， 则的面积是 .
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与间距离处处相等，
∴，
∵点D是上一点，
∴，
作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝30°，再根据圆周角定理及三角形外角性质可得出∠ADB＝∠DEC＝30°，进而得出AD∥EC，根据平行线间的距离处处相等得及同底等高的三角形面积相等得S△AEC＝S△DEC，根据同弧所对的圆周角相等得∠EDC=∠BAC=120°，过点D作DH⊥EC于点H，根据圆周角定理并结合已知及角的和差可得∠DCE=∠DEC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DH的长，由勾股定理算出CH的长，最后根据三角形的面积计算公式算出△DEC的面积即可得出答案.
三、解答题
14．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
【答案】（1）证明：连接AE，如图：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵AF⊥AB，
∴∠FAB=90°
∴∠B+∠F=90°，
∵点E为弧AC得中点，
∴
∴∠B=∠EAD，
∴∠F=∠ADE
∴AD=AF；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4，
∴FB=5，
∵S△ABF=
∴
∴AE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得ED=，
∴BD=BE－ED=，
∴△ABD的周长4＋3＋=；
（3）解：①当AE=AP时，
∵
∴
②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图：
∵点E为弧AC的中点，
∴
∴P与C重合，
在中，
在中，
∴
解得：
∴
∴
③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图：
∴
在中，
∴
在中，
延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A，
在中，
综上所述，AP的长为：或或或.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解；
（2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长；
（3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解.
15．（2023九上·盘龙期中）综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，
则，（依据
，
，
点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上，（依据
点，，，四点在同一个圆上；
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）
依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；
（2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．
【答案】（1）①，③
（2）
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补；
点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：①，③；
（2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：
，
，
，
，
，，，共圆，即在过，，的上，
在过，，的上，
，，，，共圆，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可；
（2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，由，可得，故，有，，，共圆，即在过，，的上，即知，，，，共圆，从而，即可求出答案.
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