人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.2点和圆、直线和圆的位置关系（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（三） 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=4，AT=3，BT=5，
∴AB2+AT2=BT2，
∴△BAT是直角三角形，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠B=45°，AB=AT，
∴∠T=45°，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵AB为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=35°，
∵∠TAC=55°，
∴∠CAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D、∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选：D．
【分析】分别利用切线的判定进而得出得出∠BAT=90°，得出答案即可．
2．（2024九下·重庆市模拟）如图，是的切线，切点为，是上一点，连接，和，和交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
3．（2024九下·上海市月考）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】点的坐标；直线与圆的位置关系
4．（2024九下·长沙竞赛）如图，点A，B，C，D均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：可以画出圆的有：ABP，ACP，ADP，BCP，BDP，CDP，共6个。
故答案为：C.
【分析】根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，求解即可。
5．（2024九下·上海市开学考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
【答案】B
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
6．（2024八下·海淀期末）如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点第一次落在上时，旋转角为45°；
②当第一次与相切时，旋转角为75°．
则结论正确的是（ ）
A．② B．均不正确 C．①② D．①
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质
7．（2024九下·泸州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；垂径定理；切线的性质
8．（2024九下·徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质
二、填空题（每题3分）
9．（2024九上·惠州期中）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，半径为2的圆上的动点，是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与x轴的另一个交点为B，
，当y=0时，=0，解得x1=4，x2=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
连接BP，
∵Q是PA的中点，OA=OB，
∴OQ=BP，
∴当BP值最小时，OQ最小，
连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，
BC==5，
∴BP'=BC-OP'=5-2=3，
∴ 线段OQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B，由可求A（-4，0），B（4，0），连接BP，可得OQ是△BAP的中位线，可得OQ=BP，当BP值最小时，OQ最小，连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，求出此时BP'的长即可.
10．（2024九下·兰陵模拟）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的面积为
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；三角形全等的判定-SSS
11．（2024九下·长春汽车经济技术开发模拟）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；确定圆的条件
12．（2024·内江）如图，在中，，，E是边上一点，且，点I是的内心，的延长线交于点D，P是上一动点，连接、，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BHF=90°，
∵点I是△ABC的内心，可证得∠BHF=90°，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BFP和△BEP中
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF=PE，
∵PE+PC=PF+PC≥CF，
∴当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；
在Rt△BFH中
∠BFH=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∴BH=BF=1，
∴
∴CH=BC-BH=8-1=7，
∴，
∴PE+PC的最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，利用三角形内心的定义可证得∠ABD=∠CBD，利用SAS可证得△BFP≌△BEP，利用全等三角形的性质可得到PF=PE，利用三角形三边关系定理可推出PE+PC=PF+PC≥CF，可推出当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BH的长，利用勾股定理可求出FH的长，即可得到CH的长；然后利用勾股定理求出CF的长即可.
13．（2024九下·浙江模拟）如图，与的边相切，切点为A．将绕点A按顺时针方向旋转得到（点C与点O对应），边交于点E．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；旋转的性质
三、解答题
14．（2024·通辽）如图，中，∠ACB=90°，点O为边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与相切于点D，连接CD.
（1）求证：；
（2）若，BC=6，求的半径.
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
为切线，
，
，
，
，
，
，
.
（2）在中，，
，
在和中，，，
，
，
，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
半径的长为3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而结合题意即可得到，再根据等量代换即可求解；
（2）根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而得到AD，设的半径为r，则，，根据勾股定理求出r即可求解。
15．（2024·南宁模拟）如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：过点O作于F
∵是的切线，
∴于B，
又∵平分，
∴
是的半径
∴也是的半径
∴是的切线．
（2）方法一：
由（1）得是的切线，切点为F，
∵和分别是的切线，
∴
∵和分别是的切线，
∴
过点D作于H，即
∴四边形是矩形，
，
在中，
，
，．
，
∴．
∴
∴，
又
∴是等边三角形，
∴．
方法二：
由（1）得是的切线，切点为F，
和分别是的切线，
∴
．
∵和分别是的切线，
∴
∴
∴
∴．
连接
∵是的切线，切点为F，
和分别是的切线，
∴，
∴
∴．
设的半径为r
，
∴
解得．
在中，
∵
∴
∴点E是中点，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点O作于F根据切线的性质得到于B，根据角平分线的定义得到，是的半径，进而即可证明是的切线；
（2）根据切线的性质得到， ，，过点D作于H，证明四边形是矩形， 得到，，根据勾股定理求出DH，AB与OB的长，进而得到，证明是等边三角形，即可求出BE的长.
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.2点和圆、直线和圆的位置关系（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．（人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（三） 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
2．（2024九下·重庆市模拟）如图，是的切线，切点为，是上一点，连接，和，和交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·上海市月考）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
4．（2024九下·长沙竞赛）如图，点A，B，C，D均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（2024九下·上海市开学考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
6．（2024八下·海淀期末）如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点第一次落在上时，旋转角为45°；
②当第一次与相切时，旋转角为75°．
则结论正确的是（ ）
A．② B．均不正确 C．①② D．①
7．（2024九下·泸州模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
9．（2024九上·惠州期中）如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，半径为2的圆上的动点，是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 .
10．（2024九下·兰陵模拟）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的面积为
11．（2024九下·长春汽车经济技术开发模拟）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
12．（2024·内江）如图，在中，，，E是边上一点，且，点I是的内心，的延长线交于点D，P是上一动点，连接、，则的最小值为 .
13．（2024九下·浙江模拟）如图，与的边相切，切点为A．将绕点A按顺时针方向旋转得到（点C与点O对应），边交于点E．若，，则的长为 ．
三、解答题
14．（2024·通辽）如图，中，∠ACB=90°，点O为边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与相切于点D，连接CD.
（1）求证：；
（2）若，BC=6，求的半径.
15．（2024·南宁模拟）如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=4，AT=3，BT=5，
∴AB2+AT2=BT2，
∴△BAT是直角三角形，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠B=45°，AB=AT，
∴∠T=45°，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵AB为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=35°，
∵∠TAC=55°，
∴∠CAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D、∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选：D．
【分析】分别利用切线的判定进而得出得出∠BAT=90°，得出答案即可．
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
3．【答案】B
【知识点】点的坐标；直线与圆的位置关系
4．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：可以画出圆的有：ABP，ACP，ADP，BCP，BDP，CDP，共6个。
故答案为：C.
【分析】根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质
7．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；垂径定理；切线的性质
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设抛物线与x轴的另一个交点为B，
，当y=0时，=0，解得x1=4，x2=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
连接BP，
∵Q是PA的中点，OA=OB，
∴OQ=BP，
∴当BP值最小时，OQ最小，
连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，
BC==5，
∴BP'=BC-OP'=5-2=3，
∴ 线段OQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B，由可求A（-4，0），B（4，0），连接BP，可得OQ是△BAP的中位线，可得OQ=BP，当BP值最小时，OQ最小，连接BC交圆于点P'，此时BP值最小，则BP=BP'，即是点P运动到点P'位置时，BP最小，求出此时BP'的长即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；三角形全等的判定-SSS
11．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；确定圆的条件
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-最短路径问题；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BHF=90°，
∵点I是△ABC的内心，可证得∠BHF=90°，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BFP和△BEP中
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF=PE，
∵PE+PC=PF+PC≥CF，
∴当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；
在Rt△BFH中
∠BFH=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∴BH=BF=1，
∴
∴CH=BC-BH=8-1=7，
∴，
∴PE+PC的最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上截取BF，使BF=BE=2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H，利用三角形内心的定义可证得∠ABD=∠CBD，利用SAS可证得△BFP≌△BEP，利用全等三角形的性质可得到PF=PE，利用三角形三边关系定理可推出PE+PC=PF+PC≥CF，可推出当点C、P、F在同一直线上时，PE+PC的值最小，即最小值就是CF的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BH的长，利用勾股定理可求出FH的长，即可得到CH的长；然后利用勾股定理求出CF的长即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；旋转的性质
14．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
为切线，
，
，
，
，
，
，
.
（2）在中，，
，
在和中，，，
，
，
，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
半径的长为3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而结合题意即可得到，再根据等量代换即可求解；
（2）根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而得到AD，设的半径为r，则，，根据勾股定理求出r即可求解。
15．【答案】（1）证明：过点O作于F
∵是的切线，
∴于B，
又∵平分，
∴
是的半径
∴也是的半径
∴是的切线．
（2）方法一：
由（1）得是的切线，切点为F，
∵和分别是的切线，
∴
∵和分别是的切线，
∴
过点D作于H，即
∴四边形是矩形，
，
在中，
，
，．
，
∴．
∴
∴，
又
∴是等边三角形，
∴．
方法二：
由（1）得是的切线，切点为F，
和分别是的切线，
∴
．
∵和分别是的切线，
∴
∴
∴
∴．
连接
∵是的切线，切点为F，
和分别是的切线，
∴，
∴
∴．
设的半径为r
，
∴
解得．
在中，
∵
∴
∴点E是中点，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点O作于F根据切线的性质得到于B，根据角平分线的定义得到，是的半径，进而即可证明是的切线；
（2）根据切线的性质得到， ，，过点D作于H，证明四边形是矩形， 得到，，根据勾股定理求出DH，AB与OB的长，进而得到，证明是等边三角形，即可求出BE的长.
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