人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.2点和圆、直线和圆的位置关系（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2023九上·永康期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．-2 D．
2．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
3．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
4．（2021九上·乐清期末）图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
5．（2020九上·海安期中）如图，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
① ＝2 ；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024九上·柳北月考）在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2023九上·新罗月考）如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．如果平分，
C．如果平分，那么
D．如果，那么也是的切线
8．（2023九上·襄都月考）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．18
二、填空题（每题3分）
9．（2024九上·梁溪期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ．
10．（2023九上·靖江月考）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．以下结论：①；②，③，④⑤在旋转过程中，当线段最短时，的面积为1；其中正确结论有 ．（填序号）
11．（2023九上·临海月考）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
12．（2019九上·长兴期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE上AC交AB边于点E若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切．
13．（2019九上·伊通期末）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝ x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
三、解答题
14．（2024九上·曲靖期末）如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
（1）求证：为的切线；
（2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
（2023九上·梁溪期末）已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、．
15．若、，求的坐标；
16．在轴上取一点，连接、，若直线的函数表达式为，求直线的函数表达式；
17．当时，过、、三点的圆交轴于点，连接、，当最小时，请直接写出的值和的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理，得，
如图，取的中点O，连接，交圆于点，
∵，，
∴，
∴，
∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短，
此时，
在中，
由勾股定理，得，
故的最小值为： ，
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得出，故可以说明点D的轨迹是以为直径圆，设为，找圆外一点和圆上一点的最小值，需要连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可．
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：作BC的垂直平分线，则ON平分 ，则 ＝ ，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分 ，则 ＝ ，2AM＞AB，所以②错误；
∵M点为 的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为 的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°- ∠BAC- ∠BCA=180°- (∠BAC+∠BCA)=180°- (180°-∠B)=90°+ ∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据圆周角定理可得CM，AN为角平分线，利用三角形内心的定义可对③进行判断；根据③知，P点为△ABC的内心，可得∠APC=90°+∠B进而求出∠MON+∠B=180°，然后代入求解即可.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的判定与性质
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴梯形的周长为，
故答案为：C
【分析】连接，，先根据切线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合题意即可得到，从而运用等腰三角形的性质即可得到，同理可得，再结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
10．【答案】①③④
【知识点】切线的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
12．【答案】或
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H ，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，AC=6，
∴S△ABC=·BC·AC=·AB·CH，
∴CH=3，
①如图1：
∵CF=CH=3，
∴AF=AC-CF=6-3=3，
又∵ 点A关于点D的对称点为点F，
∴DF=AD=AF=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
∴DE=；
②如图2：
∵CF=CH=3，
∴AF=AC+CF=6+3=9，
又∵ 点A关于点D的对称点为点F，
∴DF=AD=AF=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
∴DE=；
综上所述：当DE长为或时， ⊙C与直线AB相切 .
故答案为：或.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H ，根据直角三角形性质得BC=2，AC=6，由三角形面积公式求得CH=3，分情况讨论，根据相似三角形判定得△ADE∽△ACB，由相似三角形性质得，从而求得DE长.
13．【答案】（ ，2）或（﹣ ，2）
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点的坐标为（ ）或（- ）
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
14．【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线
（2）解：连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OA，AE，先利用角的运算和等量代换可得，再结合可得，即可证出 为的切线；
（2）连接OF，先利用弧与弦的关系可得，再求出，利用勾股定理求出OD的长，再利用线段的和差求出即可.
【答案】15．；
16．直线的表达式为；
17．；的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心；轴对称的性质
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.2点和圆、直线和圆的位置关系（三阶）
一、选择题（每题3分）
1．（2023九上·永康期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．-2 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理，得，
如图，取的中点O，连接，交圆于点，
∵，，
∴，
∴，
∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短，
此时，
在中，
由勾股定理，得，
故的最小值为： ，
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得出，故可以说明点D的轨迹是以为直径圆，设为，找圆外一点和圆上一点的最小值，需要连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可．
2．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
3．（2024九上·绵阳期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，
与x轴相切，
，
∠KOM=∠OHM=90°，
四边形OKMH是矩形，
M在一次函数的图象上，
设点M的坐标为，
OK=MH=a，CM=MK=，
CM=MH，
，
在中，，
即，
解得：a=5或，
MK=6或MK=.
故答案为：C.
【分析】设 与x轴相切与点K，连接MK，MC，过点M作y轴的垂线交y轴与点H，先证四边形OKMH是矩形，设点M的坐标为，利用等腰三角形的性质及矩形的性质分别表示出CM、CH、MH的长，再利用勾股定理求出a的值，进而得到圆的半径.
4．（2021九上·乐清期末）图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
5．（2020九上·海安期中）如图，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
① ＝2 ；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：作BC的垂直平分线，则ON平分 ，则 ＝ ，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分 ，则 ＝ ，2AM＞AB，所以②错误；
∵M点为 的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为 的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°- ∠BAC- ∠BCA=180°- (∠BAC+∠BCA)=180°- (180°-∠B)=90°+ ∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据圆周角定理可得CM，AN为角平分线，利用三角形内心的定义可对③进行判断；根据③知，P点为△ABC的内心，可得∠APC=90°+∠B进而求出∠MON+∠B=180°，然后代入求解即可.
6．（2024九上·柳北月考）在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
7．（2023九上·新罗月考）如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．如果平分，
C．如果平分，那么
D．如果，那么也是的切线
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；切线的判定与性质
8．（2023九上·襄都月考）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．18
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴梯形的周长为，
故答案为：C
【分析】连接，，先根据切线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合题意即可得到，从而运用等腰三角形的性质即可得到，同理可得，再结合题意即可求解。
二、填空题（每题3分）
9．（2024九上·梁溪期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
10．（2023九上·靖江月考）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．以下结论：①；②，③，④⑤在旋转过程中，当线段最短时，的面积为1；其中正确结论有 ．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】切线的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
11．（2023九上·临海月考）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
12．（2019九上·长兴期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE上AC交AB边于点E若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切．
【答案】或
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H ，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，AC=6，
∴S△ABC=·BC·AC=·AB·CH，
∴CH=3，
①如图1：
∵CF=CH=3，
∴AF=AC-CF=6-3=3，
又∵ 点A关于点D的对称点为点F，
∴DF=AD=AF=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
∴DE=；
②如图2：
∵CF=CH=3，
∴AF=AC+CF=6+3=9，
又∵ 点A关于点D的对称点为点F，
∴DF=AD=AF=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
∴DE=；
综上所述：当DE长为或时， ⊙C与直线AB相切 .
故答案为：或.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H ，根据直角三角形性质得BC=2，AC=6，由三角形面积公式求得CH=3，分情况讨论，根据相似三角形判定得△ADE∽△ACB，由相似三角形性质得，从而求得DE长.
13．（2019九上·伊通期末）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝ x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
【答案】（ ，2）或（﹣ ，2）
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．
当y=2时， x2-1=2，解得x=±
当y=-2时， x2-1=-2，方程无解
故P点的坐标为（ ）或（- ）
【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是2或-2．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
三、解答题
14．（2024九上·曲靖期末）如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
（1）求证：为的切线；
（2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线
（2）解：连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OA，AE，先利用角的运算和等量代换可得，再结合可得，即可证出 为的切线；
（2）连接OF，先利用弧与弦的关系可得，再求出，利用勾股定理求出OD的长，再利用线段的和差求出即可.
（2023九上·梁溪期末）已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、．
15．若、，求的坐标；
16．在轴上取一点，连接、，若直线的函数表达式为，求直线的函数表达式；
17．当时，过、、三点的圆交轴于点，连接、，当最小时，请直接写出的值和的最小值．
【答案】15．；
16．直线的表达式为；
17．；的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心；轴对称的性质
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