人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.3正多边形和圆（二阶）
一、选择题
1．（2024·赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
2．（2024九下·湖北模拟）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·厦门模拟）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·杭州模拟）如图，△ABC圆内接于⊙O，连接OA，OB，OC，∠AOB=2∠BOC．若∠OBC=65°，则∠ABC的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．135°
5．（2024九下·浙江模拟）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F．设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·路南模拟）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
7．（2024九下·朝阳模拟）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
8．（2024九上·越秀月考）如图，、为的两条切线，，点是上一点，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·甘州期末）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 .
10．（2024九上·滨江期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
11．（2023九上·太和期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是 .
12．（2024九上·桐乡市期末）如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．
13．（2023九上·江北期末）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则 .
三、解答题
14．（2023九上·商南期末）如图，中，，点为斜边的中点，以为直径作，分别与，边交于点，，连接，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径为，若，求的长．
15．如图，等腰直角△ABC和等边△AEF都是半径为R的圆的内接三角形．
（1）求AF的长.
（2）通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得∠A=60°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，
∴n=360°÷60°=6.
故答案为：B.
【分析】求出正多边形每个外角的度数，再利用多边形外角和360°除以外角的度数即得结论.
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
6．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
9．【答案】九
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正九边形.
故答案为：九.
【分析】设正多边形的外接圆为○O，连接OA，OB，由圆周角定理可得∠AOB=2∠ADB=40°，然后利用360°除以∠AOB的度数就可求出正多边形的边数.
10．【答案】120
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ACOB为圆内接四边形
∴ ∠ACO+∠ABO=180°
∵∠ACO=120°
∴ ∠ABO=60°
∵ AO⊥BO，AB=4
∴ OB=2，OA=
∴ A（-，0），B（0，2）
∵ D为AB的中点
∴ D（，1）
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、30°直角三角形性质，中点坐标等知识点，圆内接四边形对角互补，点A（x1，y1），点B（x2，y2）则线段AB的中点坐标为（）。根据四边形ACOB为圆内接四边形和∠ACO=120°得∠ABO=60°；根据 AO⊥BO，AB=4得OB=2，OA=，可知 A（-，0），B（0，2）；根据D为AB的中点得 D（，1）.
12．【答案】105
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OE、OF，如图，
∵点O是正六边形的中心，
∴
∴为等边三角形，
∴D，O，A在同一条直线上，
∵以为边在正六边形的内部作正方形
∴
∴
∴
∴
故答案为：105.
【分析】连接OA、OB、OE、OF，利用正六边形的性质得到：即为等边三角形，D，O，A在同一条直线上，然后利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求出∠AON的度数，进而即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设半径为，
由条件可得：为等边三角形，且面积为正六边形的，
易求得：，
.
由条件可得：中为底，为高，且面积为正十二边形的，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设半径为r，由条件可得△AOB为等边三角形，且面积为正六边形的，△AOG的面积为正十二边形的，求出S△AOB、S△AOG，进而得到S1、S2，然后求比值即可.
14．【答案】（1）证明：如图，连接，
在中，为边中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
四边形为矩形，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求得AD＝BD，然后结合等腰三角形的性质求得∠OEA＝∠DBA，得到OE∥BD，从而可得EG⊥OE，问题得解；
（2）连接DE，DF，结合圆周角定理判定四边形AEDF为矩形，从而利用矩形的性质求解．
15．【答案】（1）解：连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=R，则AF=R
（2）解：S△ABC＜S△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=R，
∴S△ABC=R2
，，
∴S△ABC＜S△AEF
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函数即可求解；
（2）根据外接圆的半径是R，即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积，即可作出比较．
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一、选择题
1．（2024·赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得∠A=60°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，
∴n=360°÷60°=6.
故答案为：B.
【分析】求出正多边形每个外角的度数，再利用多边形外角和360°除以外角的度数即得结论.
2．（2024九下·湖北模拟）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质
3．（2024九下·厦门模拟）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
4．（2024·杭州模拟）如图，△ABC圆内接于⊙O，连接OA，OB，OC，∠AOB=2∠BOC．若∠OBC=65°，则∠ABC的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．135°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
5．（2024九下·浙江模拟）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F．设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
6．（2024九下·路南模拟）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
7．（2024九下·朝阳模拟）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
8．（2024九上·越秀月考）如图，、为的两条切线，，点是上一点，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
二、填空题
9．（2021九上·甘州期末）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 .
【答案】九
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正九边形.
故答案为：九.
【分析】设正多边形的外接圆为○O，连接OA，OB，由圆周角定理可得∠AOB=2∠ADB=40°，然后利用360°除以∠AOB的度数就可求出正多边形的边数.
10．（2024九上·滨江期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
【答案】120
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
11．（2023九上·太和期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ACOB为圆内接四边形
∴ ∠ACO+∠ABO=180°
∵∠ACO=120°
∴ ∠ABO=60°
∵ AO⊥BO，AB=4
∴ OB=2，OA=
∴ A（-，0），B（0，2）
∵ D为AB的中点
∴ D（，1）
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、30°直角三角形性质，中点坐标等知识点，圆内接四边形对角互补，点A（x1，y1），点B（x2，y2）则线段AB的中点坐标为（）。根据四边形ACOB为圆内接四边形和∠ACO=120°得∠ABO=60°；根据 AO⊥BO，AB=4得OB=2，OA=，可知 A（-，0），B（0，2）；根据D为AB的中点得 D（，1）.
12．（2024九上·桐乡市期末）如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则 °．
【答案】105
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OE、OF，如图，
∵点O是正六边形的中心，
∴
∴为等边三角形，
∴D，O，A在同一条直线上，
∵以为边在正六边形的内部作正方形
∴
∴
∴
∴
故答案为：105.
【分析】连接OA、OB、OE、OF，利用正六边形的性质得到：即为等边三角形，D，O，A在同一条直线上，然后利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求出∠AON的度数，进而即可求解.
13．（2023九上·江北期末）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设半径为，
由条件可得：为等边三角形，且面积为正六边形的，
易求得：，
.
由条件可得：中为底，为高，且面积为正十二边形的，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设半径为r，由条件可得△AOB为等边三角形，且面积为正六边形的，△AOG的面积为正十二边形的，求出S△AOB、S△AOG，进而得到S1、S2，然后求比值即可.
三、解答题
14．（2023九上·商南期末）如图，中，，点为斜边的中点，以为直径作，分别与，边交于点，，连接，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径为，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
在中，为边中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
四边形为矩形，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求得AD＝BD，然后结合等腰三角形的性质求得∠OEA＝∠DBA，得到OE∥BD，从而可得EG⊥OE，问题得解；
（2）连接DE，DF，结合圆周角定理判定四边形AEDF为矩形，从而利用矩形的性质求解．
15．如图，等腰直角△ABC和等边△AEF都是半径为R的圆的内接三角形．
（1）求AF的长.
（2）通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．
【答案】（1）解：连接OF，过O作OG⊥AF于G，OF=R，又∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=R，则AF=R
（2）解：S△ABC＜S△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=R，
∴S△ABC=R2
，，
∴S△ABC＜S△AEF
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OF，过O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函数即可求解；
（2）根据外接圆的半径是R，即可求得等腰直角△ABC和等边△AEF的面积，即可作出比较．
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