人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.4弧长及扇形面积（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为（ ）
A．π B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算．
【解答】设扇形的半径为r，
根据扇形面积公式得S=lr=r2=2
故选C．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式
2．（2024九下·山海关模拟）如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
3．（2024·从江模拟）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵ 点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，
∴AC=4，BC=2.
当AC旋转到A'C时，A'C=AC=4=2BC，
∴，
∴∠AOA'=60°.
∴线段CA扫过的面积为
故答案为：D.
【分析】根据直尺刻度可求出AC和BC长，再根据旋转的性质得到A'C的长，根据线段关系求出∠ACA'的度数，即可求出面积.
4．（2023八下·宝丰期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
5．（2024九下·诸城模拟）如图，在中，，若进行下列操作：①将 绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以A为圆心，线段为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
6．（2024九下·渠县月考）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
7．（2024九下·雁江模拟）如图，矩形中，，以为直径作半圆与边相切于点，点在边上运动，连接，把沿折叠，得到，点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；扇形面积的计算
8．（2024九下·榕城模拟）如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
二、填空题（每题3分）
9．（2024九下·九龙坡模拟）如图，在正六边形中，和交于点O，过点O的直线交于点N（N不与E、F重合），交于点M．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点H，G．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
10．（2024九下·虹口模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为 ．
【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
11．（2024九下·呼和浩特模拟）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】．
【知识点】扇形面积的计算
12．（2024九下·靖江模拟）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】6.
【知识点】弧长的计算
13．（2024九下·罗江模拟）如图，在平行四边形中，，，点E是中点，在上取一点F，以点F为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点D，连接，则图中阴影部分面积为 （结果保留）﹒
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算
三、解答题
14．（2024·瑞昌模拟）如图，AB是的直径，点E在上，连接AE和BE，BC平分交于点C，过点C作交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长（结果保留）．
【答案】（1）解：CD是的切线．
理由：如图，连接OC．
∵，∴．
∴BC平分，∴．
∴．∴．
∵，∴．
∵OC是半径，
∴CD是的切线．
（2）解：在中，由，，
可知．∴．
由（1）知，，
∴．
如图，连接AC．
∵AB是的直径，∴．
在中，由，可知．
由勾股定理，得，即．
解得（负值舍去）．
∴的长
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，利用OC=OB得∠OCB=∠OBC，结合角平分线的定义可得∠OCB=∠CBE，根据平行线的判定可得OC∥BD，根据平行线的性质证明OC⊥CD即可；
（2）在直角三角形BCD中，利用三角函数可得∠CBD=30°，连接AC，根据直径的性质可得∠ACB=90°，根据30°直角三角形的性质可得AC与AB的关系，利用勾股定理求出AB的长，根据弧长公式即可得到结论．
15．（2024九下·永寿期中）如图①，某公园在一个扇形草坪上的圆心处，垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动旋转喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小西发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度米与喷出的水与柱子的水平距离米之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小西测出连喷头在内高，喷出的水流在与点的水平距离4米处达到最高点，点距离地面2米．于是小西以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与之间的函数关系式．
【解决问题】
（1）求水流所在抛物线的函数表达式；
（2）当喷头从草坪最边缘开始旋转时，这个草坪刚好被水流覆盖，求这个草坪的面积．
【答案】（1）水流所在抛物线的函数表达式为
（2）这个草坪的面积（平方米）
【知识点】扇形面积的计算；二次函数的实际应用-喷水问题
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.4弧长及扇形面积（二阶）
一、选择题（每题3分）
1．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为（ ）
A．π B．1 C．2 D．
2．（2024九下·山海关模拟）如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·从江模拟）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A． B．6 C． D．
4．（2023八下·宝丰期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．9
5．（2024九下·诸城模拟）如图，在中，，若进行下列操作：①将 绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以A为圆心，线段为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·渠县月考）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B． C． D．
7．（2024九下·雁江模拟）如图，矩形中，，以为直径作半圆与边相切于点，点在边上运动，连接，把沿折叠，得到，点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·榕城模拟）如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分）
9．（2024九下·九龙坡模拟）如图，在正六边形中，和交于点O，过点O的直线交于点N（N不与E、F重合），交于点M．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点H，G．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
10．（2024九下·虹口模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为 ．
11．（2024九下·呼和浩特模拟）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2024九下·靖江模拟）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
13．（2024九下·罗江模拟）如图，在平行四边形中，，，点E是中点，在上取一点F，以点F为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点D，连接，则图中阴影部分面积为 （结果保留）﹒
三、解答题
14．（2024·瑞昌模拟）如图，AB是的直径，点E在上，连接AE和BE，BC平分交于点C，过点C作交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长（结果保留）．
15．（2024九下·永寿期中）如图①，某公园在一个扇形草坪上的圆心处，垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动旋转喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小西发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度米与喷出的水与柱子的水平距离米之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小西测出连喷头在内高，喷出的水流在与点的水平距离4米处达到最高点，点距离地面2米．于是小西以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与之间的函数关系式．
【解决问题】
（1）求水流所在抛物线的函数表达式；
（2）当喷头从草坪最边缘开始旋转时，这个草坪刚好被水流覆盖，求这个草坪的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算．
【解答】设扇形的半径为r，
根据扇形面积公式得S=lr=r2=2
故选C．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
3．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵ 点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，
∴AC=4，BC=2.
当AC旋转到A'C时，A'C=AC=4=2BC，
∴，
∴∠AOA'=60°.
∴线段CA扫过的面积为
故答案为：D.
【分析】根据直尺刻度可求出AC和BC长，再根据旋转的性质得到A'C的长，根据线段关系求出∠ACA'的度数，即可求出面积.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
5．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
6．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；扇形面积的计算
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算
10．【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
11．【答案】．
【知识点】扇形面积的计算
12．【答案】6.
【知识点】弧长的计算
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算
14．【答案】（1）解：CD是的切线．
理由：如图，连接OC．
∵，∴．
∴BC平分，∴．
∴．∴．
∵，∴．
∵OC是半径，
∴CD是的切线．
（2）解：在中，由，，
可知．∴．
由（1）知，，
∴．
如图，连接AC．
∵AB是的直径，∴．
在中，由，可知．
由勾股定理，得，即．
解得（负值舍去）．
∴的长
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，利用OC=OB得∠OCB=∠OBC，结合角平分线的定义可得∠OCB=∠CBE，根据平行线的判定可得OC∥BD，根据平行线的性质证明OC⊥CD即可；
（2）在直角三角形BCD中，利用三角函数可得∠CBD=30°，连接AC，根据直径的性质可得∠ACB=90°，根据30°直角三角形的性质可得AC与AB的关系，利用勾股定理求出AB的长，根据弧长公式即可得到结论．
15．【答案】（1）水流所在抛物线的函数表达式为
（2）这个草坪的面积（平方米）
【知识点】扇形面积的计算；二次函数的实际应用-喷水问题
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