人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.4弧长及扇形面积（一阶）
一、选择题
1．（2024九上·绥阳期末）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·增城期末）如图，正方形的边长为，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，则的长为( )
A． B． C． D．
3．（2024九上·湘西期末）如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·兴宁月考）如图，，，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·鼓楼期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
6．（2023九上·黔东南月考）如图，扇形的圆心角为直角，，点在上，以为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·桥西期末）如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·曲靖期末）如图，的半径为，点，在上，线段经过，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·缙云期末）半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
10．（2024九上·江岸月考）用一个圆心角为，半径为4的的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
11．（2023九上·南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为 ．
12．（2023九上·淮安月考）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm．
13．（2023九上·庄浪月考）如图，半圆的直径，为上一点，点为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
14．（2023九上·南皮期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.
（1）求的长；
（2）当时，
①__________；
②求阴影部分的周长和面积.
15．（2023九上·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为.
（1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点的坐标.
（2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长(结果保留根号和).
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】弧长的计算
2．【答案】A
【知识点】弧长的计算
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，
，，
所以图中阴影部分的面积是．
故答案为：C．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用三角形的面积公式、扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；弧长的计算
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；扇形面积的计算
9．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
10．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长＝，
设圆锥的底面半径为r，则，
∴．
故答案为：．
【分析】设圆锥的底面半径为r，利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长列出方程，再求解即可.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
12．【答案】12
【知识点】弧长的计算
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
14．【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）①；
②解：连接，
∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，则，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）①由“垂径定理”可得，，再根据勾股定理可得DE，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
②连接，根据三角形内角和定理可得，在，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据弧长公式可得的长，再根据题意求出周长及面积即可求出答案.
（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
②连接，
∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
15．【答案】（1）解：如图，
由题意可得，点，，；
即为所求．
（2）解：由勾股定理得，，
∴旋转过程中点所经过的路径长为．
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣旋转；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
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一、选择题
1．（2024九上·绥阳期末）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
2．（2024九上·增城期末）如图，正方形的边长为，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
3．（2024九上·湘西期末）如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，
，，
所以图中阴影部分的面积是．
故答案为：C．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出，，再利用三角形的面积公式、扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
4．（2023九上·兴宁月考）如图，，，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；弧长的计算
5．（2023九上·鼓楼期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
6．（2023九上·黔东南月考）如图，扇形的圆心角为直角，，点在上，以为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
7．（2023九上·桥西期末）如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算
8．（2023九上·曲靖期末）如图，的半径为，点，在上，线段经过，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；扇形面积的计算
二、填空题
9．（2024九上·缙云期末）半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
10．（2024九上·江岸月考）用一个圆心角为，半径为4的的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长＝，
设圆锥的底面半径为r，则，
∴．
故答案为：．
【分析】设圆锥的底面半径为r，利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长列出方程，再求解即可.
11．（2023九上·南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
12．（2023九上·淮安月考）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是 cm．
【答案】12
【知识点】弧长的计算
13．（2023九上·庄浪月考）如图，半圆的直径，为上一点，点为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
三、解答题
14．（2023九上·南皮期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.
（1）求的长；
（2）当时，
①__________；
②求阴影部分的周长和面积.
【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）①；
②解：连接，
∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
【知识点】勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，则，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）①由“垂径定理”可得，，再根据勾股定理可得DE，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
②连接，根据三角形内角和定理可得，在，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据弧长公式可得的长，再根据题意求出周长及面积即可求出答案.
（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
②连接，
∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
15．（2023九上·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为.
（1）将绕点逆时针旋转后对应得到，请写出点的坐标.
（2）请在图中画出绕点顺时针旋转后的，并求出旋转过程中点所经过的路径长(结果保留根号和).
【答案】（1）解：如图，
由题意可得，点，，；
即为所求．
（2）解：由勾股定理得，，
∴旋转过程中点所经过的路径长为．
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣旋转；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
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