人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.4弧长及扇形面积（三阶）
一、选择题
1．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
2．（2023九上·广饶月考）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
3．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
4．（2023九上·高安月考）如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，所以①正确；
故②正确；
当时，
∴扇形的面积，所以③错误；
当时，
∴，
∵平分，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，所以④正确．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理、切线的性质定理、菱形的判定和性质求解。连接，由切线的性质可得，则可证，所以，从而得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对②进行判断；当时，利用圆周角定理得到，由扇形的面积公式可对③进行判断；当时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对④进行判断．
5．（2022九上·嘉兴期末）如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=.
则扇形FDE的面积是：.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=.
则阴影部分的面积是：-.
故答案为：D.
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DC=AB=1，易得四边形DMCN是正方形，DM=，根据扇形的面积公式可得扇形FDE的面积，由等腰三角形的性质可得CD平分∠BCA，根据角平分线的性质可得DM=DN，证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN=，据此不难求出阴影部分的面积.
6．（2021九上·鄂城期末）如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
7．（2021九上·衢州期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QBF=90°，
∵M是线段QF的中点，
∴ ，
∴M在以B为圆心，以 的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为 ，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M是AF（QF）的中点，
∴ ，
∴ ，
同理可求得 ，
∴ ，
∴线段QF的中点M所经过的路线长 .
故答案为：C.
【分析】连接BM，由正方形的性质可得∠QBF=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=QF=，则M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，线段QF的中点M所经过的路线长即为，由勾股定理求出BF，推出∠BAF=30°，由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=AM=MF=，得到∠ABM=∠BAF=30°，同理可得∠CBM1=30°，∠MBM1=30°，然后利用弧长公式计算即可.
8．（2021九上·慈溪期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
二、填空题
9．（2024九上·潍坊期末）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接．且，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
10．（2023九上·丰城开学考）如图，在中，，以直角边为直径作半圆交于点D，以为边作等边，延长交于点F，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
11．（2021九上·溧阳期末）如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 （写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；② ；③若AB=4，∠APE=30°，则 的长为 ；④若AC=3BD，则有tan∠MAP= .
【答案】①②④
【知识点】切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OM，
∵PE为
的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
即AM平分
，故①正确；
∵AB为
的直径，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为
，故③错误；
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设
，则
，
∴ ，
在
中，
，
∴ ，
∴ ，
由①可得
，
，
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】连接OM，根据切线的性质可得OM⊥PC，推出OM∥AC，根据平行线的性质可得∠CAM=∠AMO，根据等腰三角形的性质可得∠OAM=∠AMO，推出∠CAM=∠OAM，据此判断①；根据圆周角定理可得∠AMB=90°，证明△ACM∽△AMB，根据相似三角形的性质可判断②；易得∠MOP=60°，求出OB的值，然后结合弧长公式可判断③；证明△PBD∽△PAC，根据相似三角形的性质可得PB=
PA，易知PB=OB=AO，PD=DM=CM，设BD=a，则AC=3a，OM=2BD=2a，PB=BO=OM=2a，利用勾股定理表示出PD，进而可得CM、DM、DP，由①可得∠CAM=∠OAM，据此判断④.
12．（2020九上·信阳期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】π﹣2
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC= AB=2，四边形DMCN是正方形，DM= ．
则扇形FDE的面积是： =π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．
∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵ ，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
13．（2019九上·鱼台期末）如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=
【答案】：2
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连结OA，
∵M为AF中点，
∴OM⊥AF，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOM=30°，
设AM=a，
∴AB=AO=2a，OM=a，
∵正六边形中心角为60°，
∴∠MON=120°，
∴扇形MON的弧长为：=a=2r1，
∴r1=a，
同理：扇形DEF的弧长为：=a=2r2，
∴r2=a，
∴r1：r2=a：a=：2.
故答案为：：2.
【分析】连结OA，根据题意得OM⊥AF，由正六边形性质得∠AOM=30°，设AM=a，根据勾股定理和直角三角形性质得AB=AO=2a，OM=a，由弧长公式分别计算出扇形MON、DEF的弧长，得出它们的半径，从而得出答案.
三、解答题
14．（2023九上·东光期中）如图，在中，，把绕点顺时针旋转，使点落到延长线上的点处，点落在点处，得到，旋转过程中得到两条弧和，与交于点，连接，，.
（1）求的度数；
（2）若，求阴影部分的面积；
（3）若，与线段只有一个公共点，直接写出线段的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，得，∴，
∵在以点为圆心，为半径的圆上，∴；
（2）解：如图，连接，设与相交于点，
由（1）得，∵，
∴与都是等边三角形，∴，∴四边形是菱形；
∴，，，∴，∴，
∵，∴
∵，∴，∴，∴
∴阴影部分的面积为；
（3）解：或
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【解答】（3）①当DE恰好与圆A相切时，如图所示：
∴∠ADE=90°，
根据旋转的性质可得：∠DAE=∠BAC=60°，AE=AC=6，AB=AD，
∴AD=AE×cos∠EAD=3，
由（1）可得：∠BAE=60°，
∴∠CAE=∠DAB=120°，
∴点E是定点，点B在一条直线上运动，
设B'、D'分别是AB、AD上一点，且AB'=AD'，此时D'E与弧BD只有一个交点，
∴当0
②当点E恰好在圆A上时，如图所示：
∴AE=AD=AB=6，
设B'、D'分别是AB、AD延长线上一点，且AB'=AD'，此时D'E与弧BD只有一个交点，
∴当AB>6时，DE与弧BD只有一个交点；
综上，AB的取值范围为 或 .
故答案为： 或.
【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用圆周角的性质可得；
（2）先求出，可得，再利用勾股定理求出，再结合，利用扇形面积公式求出即可；
（3）分类讨论：①当DE恰好与圆A相切时，②当点E恰好在圆A上时，再分别画出图象并结合图象分析求解即可.
15．（人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积（一） 同步练习）如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线.
（2）解：∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA= ，
∴阴影部分面积S= ﹣ ×2× = ﹣ ．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质，可得出OD⊥DE，得知DE为圆的切线。
（2）根据OA的长度以及扇形面积的公式求出扇形面积，再减去三角形的面积可得出阴影部分面积。
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试24.4弧长及扇形面积（三阶）
一、选择题
1．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·广饶月考）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36
3．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·高安月考）如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④
5．（2022九上·嘉兴期末）如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·鄂城期末）如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·衢州期中）如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·慈溪期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
二、填空题
9．（2024九上·潍坊期末）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接．且，则阴影部分的面积为 ．
10．（2023九上·丰城开学考）如图，在中，，以直角边为直径作半圆交于点D，以为边作等边，延长交于点F，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
11．（2021九上·溧阳期末）如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是 （写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；② ；③若AB=4，∠APE=30°，则 的长为 ；④若AC=3BD，则有tan∠MAP= .
12．（2020九上·信阳期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是 ．
13．（2019九上·鱼台期末）如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=
三、解答题
14．（2023九上·东光期中）如图，在中，，把绕点顺时针旋转，使点落到延长线上的点处，点落在点处，得到，旋转过程中得到两条弧和，与交于点，连接，，.
（1）求的度数；
（2）若，求阴影部分的面积；
（3）若，与线段只有一个公共点，直接写出线段的取值范围.
15．（人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积（一） 同步练习）如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
2．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，如图，∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，所以①正确；
故②正确；
当时，
∴扇形的面积，所以③错误；
当时，
∴，
∵平分，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，所以④正确．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理、切线的性质定理、菱形的判定和性质求解。连接，由切线的性质可得，则可证，所以，从而得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对②进行判断；当时，利用圆周角定理得到，由扇形的面积公式可对③进行判断；当时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对④进行判断．
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=.
则扇形FDE的面积是：.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=.
则阴影部分的面积是：-.
故答案为：D.
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DC=AB=1，易得四边形DMCN是正方形，DM=，根据扇形的面积公式可得扇形FDE的面积，由等腰三角形的性质可得CD平分∠BCA，根据角平分线的性质可得DM=DN，证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN=，据此不难求出阴影部分的面积.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QBF=90°，
∵M是线段QF的中点，
∴ ，
∴M在以B为圆心，以 的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为 ，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M是AF（QF）的中点，
∴ ，
∴ ，
同理可求得 ，
∴ ，
∴线段QF的中点M所经过的路线长 .
故答案为：C.
【分析】连接BM，由正方形的性质可得∠QBF=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=QF=，则M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，线段QF的中点M所经过的路线长即为，由勾股定理求出BF，推出∠BAF=30°，由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=AM=MF=，得到∠ABM=∠BAF=30°，同理可得∠CBM1=30°，∠MBM1=30°，然后利用弧长公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
10．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
11．【答案】①②④
【知识点】切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OM，
∵PE为
的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
即AM平分
，故①正确；
∵AB为
的直径，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为
，故③错误；
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设
，则
，
∴ ，
在
中，
，
∴ ，
∴ ，
由①可得
，
，
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】连接OM，根据切线的性质可得OM⊥PC，推出OM∥AC，根据平行线的性质可得∠CAM=∠AMO，根据等腰三角形的性质可得∠OAM=∠AMO，推出∠CAM=∠OAM，据此判断①；根据圆周角定理可得∠AMB=90°，证明△ACM∽△AMB，根据相似三角形的性质可判断②；易得∠MOP=60°，求出OB的值，然后结合弧长公式可判断③；证明△PBD∽△PAC，根据相似三角形的性质可得PB=
PA，易知PB=OB=AO，PD=DM=CM，设BD=a，则AC=3a，OM=2BD=2a，PB=BO=OM=2a，利用勾股定理表示出PD，进而可得CM、DM、DP，由①可得∠CAM=∠OAM，据此判断④.
12．【答案】π﹣2
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC= AB=2，四边形DMCN是正方形，DM= ．
则扇形FDE的面积是： =π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．
∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵ ，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
13．【答案】：2
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连结OA，
∵M为AF中点，
∴OM⊥AF，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOM=30°，
设AM=a，
∴AB=AO=2a，OM=a，
∵正六边形中心角为60°，
∴∠MON=120°，
∴扇形MON的弧长为：=a=2r1，
∴r1=a，
同理：扇形DEF的弧长为：=a=2r2，
∴r2=a，
∴r1：r2=a：a=：2.
故答案为：：2.
【分析】连结OA，根据题意得OM⊥AF，由正六边形性质得∠AOM=30°，设AM=a，根据勾股定理和直角三角形性质得AB=AO=2a，OM=a，由弧长公式分别计算出扇形MON、DEF的弧长，得出它们的半径，从而得出答案.
14．【答案】（1）解：由题意，得，∴，
∵在以点为圆心，为半径的圆上，∴；
（2）解：如图，连接，设与相交于点，
由（1）得，∵，
∴与都是等边三角形，∴，∴四边形是菱形；
∴，，，∴，∴，
∵，∴
∵，∴，∴，∴
∴阴影部分的面积为；
（3）解：或
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【解答】（3）①当DE恰好与圆A相切时，如图所示：
∴∠ADE=90°，
根据旋转的性质可得：∠DAE=∠BAC=60°，AE=AC=6，AB=AD，
∴AD=AE×cos∠EAD=3，
由（1）可得：∠BAE=60°，
∴∠CAE=∠DAB=120°，
∴点E是定点，点B在一条直线上运动，
设B'、D'分别是AB、AD上一点，且AB'=AD'，此时D'E与弧BD只有一个交点，
∴当0②当点E恰好在圆A上时，如图所示：
∴AE=AD=AB=6，
设B'、D'分别是AB、AD延长线上一点，且AB'=AD'，此时D'E与弧BD只有一个交点，
∴当AB>6时，DE与弧BD只有一个交点；
综上，AB的取值范围为 或 .
故答案为： 或.
【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用圆周角的性质可得；
（2）先求出，可得，再利用勾股定理求出，再结合，利用扇形面积公式求出即可；
（3）分类讨论：①当DE恰好与圆A相切时，②当点E恰好在圆A上时，再分别画出图象并结合图象分析求解即可.
15．【答案】（1）解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线.
（2）解：∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA= ，
∴阴影部分面积S= ﹣ ×2× = ﹣ ．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中位线的性质，可得出OD⊥DE，得知DE为圆的切线。
（2）根据OA的长度以及扇形面积的公式求出扇形面积，再减去三角形的面积可得出阴影部分面积。
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