登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版九年级上学期数学第二十四章质量检测（初阶）
数学考试
考试时间：* *分钟 满分：* *分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·德阳期末）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直于弦的直线平分弦
2．（2024九上·兰陵期末）如图，是的直径，是的切线，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·泗阳月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
4．（2024九上·三门峡期末）如图，将绕点C按顺时针旋转60°得到，已知，，则线段AB扫过的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·镇原期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
6．（2024九上·绥阳期末）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．4
7．（2024九上·武威期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm．
A．4 B．6 C．7 D．8
8．（2024九上·拱墅期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·迁安期末）如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·海陵月考）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·沙坪坝期末）中，，，，圆是的内切圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
12．（2024九上·广水期末）一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．
13．（2020九上·吴江期中）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
14．（2024九上·绍兴模拟）如图，在正中，Q是边中点，P是边上任意一点，连接，并使的延长线交的外角平分线于点G，，的外心在该三角形的内部，则的取值范围是 ．
15．（2023九上·拱墅月考）如图，点坐标为，点坐标为，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接、，点是的中点，连接，当线段取得最大值时，点的坐标为 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2024九上·海淀月考）如图，为的直径，弦与交于点E，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
17．（2023九上·青龙月考）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
18．（2023九上·滨海期中）已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
19．（2023九上·香洲期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米．
（1）求此下水管横截面的半径：
（2）随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？
20．（2023九上·乐清期中）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求∠BAD的度数；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
21．（2023九上·定西月考）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
22．（2024九上·缙云期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
（1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
（2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
23．（2024九上·邻水期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
4．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
5．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
6．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
7．【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据三角形外角性质可得，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB+AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC，
∴DE+FG＞BC．
∴①错误；
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴，．
∴，
∴．
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．
∴∠AOB+∠AOC＝∠DOE+∠FOG．
即∠DOE+∠FOG＝∠BOC．
∴③正确；
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°﹣∠AOB．
同理可得：
∠OAC＝90°﹣∠AOC，
∠DEO＝90°﹣∠DOE，
∠FGO＝90°﹣∠FOG．
∴∠OAB+∠OAC＝180°﹣（∠AOB+∠AOC）＝180°﹣∠BOC，
∠DEO+∠FGO＝180°﹣（∠DOE+∠FOG）．
由③知：∠DOE+∠FOG＝∠BOC，
∴∠OAB+∠OAC＝∠DEO+∠FGO．
即：∠DEO+∠FGO＝∠BAC．
∴④正确；
∴正确的序号为：②③④.
故答案为：D.
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AC＞BC，由已知条件可知AB＝DE，FG＝AC，则DE+FG＞BC，据此判断①；根据弦、弧的关系可判断②；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，由圆周角定理可得∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG，两式相加可判断③；根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB＝∠OBA＝90°﹣∠AOB，∠OAC＝90°﹣∠AOC，∠DEO＝90°﹣∠DOE，∠FGO＝90°﹣∠FOG，则∠OAB+∠OAC＝180°﹣∠BOC，∠DEO+∠FGO＝180°﹣(∠DOE+∠FOG)，由③知∠DOE+∠FOG＝∠BOC，进而判断④.
11．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
12．【答案】50
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：
则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
故答案为：．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，利用垂径定理可得，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
13．【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
16．【答案】（1）解：∵ A，D在上， ，
，
，
∴ 在中，．
（2）解：连接，过O作于H．
∵，，
∴．
∴．
∵中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴中，．
∵于H，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】
（1）由圆周角定理，得出，再根据三角形内角和即可求解；
（2）连接，过作于．构成直角三角形，进而求出，根据角所对应的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理求得出的长，然后由垂径定理求出的长．
（1）解：∵ A，D在上， ，
，
，
∴ 在中，．
（2）解：连接，过O作于H．
∵，，
∴．
∴．
∵中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴中，．
∵于H，
∴．
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】切线长定理
18．【答案】（1）75°；（2）20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
19．【答案】（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，
∴米，
设此下水管横截面的半径为r米，则米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
即此下水管横截面的半径为米；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∴，
根据题意得：米，米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴此时水面的宽度增加了米．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理的应用.
（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，利用垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，利用线段的运算可得：米，在中，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出r的值，据此可求出答案；
（2）过点O作于点H，利用径定理可得，利用线段的运算可求出CH，再利用勾股定理可求出的长，进而可求出MN，利用线段的运算可求出此时水面应增加的宽度．
（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，
∴米，
设此下水管横截面的半径为r米，则米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
即此下水管横截面的半径为米；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∴，
根据题意得：米，米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴此时水面的宽度增加了米．
20．【答案】（1）解：∵BC是直径
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵点D在⊙O上且平分，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°；
（2）解：∵＝，
∴BD＝CD＝5，
∵∠BDC＝90°，
∴BC＝CD＝10，
∵AB＝8，∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴AC＝＝6．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1） 首先根据直径BC判断出∠BDC=90°，再根据点D在⊙O上且平分，推断出=，从而得出∠BAD=∠BDC=×90°=45°.
（2）已知CD=，根据=，得出CD=BD，BC是直径，所以∠BDC=90°，根据勾股定理求出BC的长，已知AB=8，∠BAC=90度，根据勾股定理再求出AC的长即可.
21．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：∵是的直径，且于点M，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接， A是 上的点，只需证明 ， 即可求解；
（2）利用条件先求出 ，进而求得OM的长，利用勾股定理求得AM的长，从而求解.
22．【答案】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；垂径定理的实际应用；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）求出正八边形的外角，根据内角和外角互补解题即可；
（）连接，，过点作于点，求出正八边形的所在圆的半径OA长，和托盘的半径作比较解题即可．
23．【答案】（1）解：如图1，连接．
图1
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点D到地面的距离为．
（2）解：如图2，
图2
为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，
则，，，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
∴．
∵，
∴搬运该桌子时能够通过拱门．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，进而运用勾股定理求出OC，从而即可求解；
（2）为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，则，，，进而得到OQ，再根据勾股定理即可求出OP，从而结合题意相加即可求解。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版九年级上学期数学第二十四章质量检测（初阶）
数学考试
考试时间：* *分钟 满分：* *分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·德阳期末）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直于弦的直线平分弦
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
2．（2024九上·兰陵期末）如图，是的直径，是的切线，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
3．（2024九上·泗阳月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
4．（2024九上·三门峡期末）如图，将绕点C按顺时针旋转60°得到，已知，，则线段AB扫过的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
5．（2020九上·镇原期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
6．（2024九上·绥阳期末）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB．AD都相切，且DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为4，，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
7．（2024九上·武威期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm．
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
8．（2024九上·拱墅期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
9．（2024九上·迁安期末）如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据三角形外角性质可得，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．（2022九上·海陵月考）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB+AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC，
∴DE+FG＞BC．
∴①错误；
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴，．
∴，
∴．
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．
∴∠AOB+∠AOC＝∠DOE+∠FOG．
即∠DOE+∠FOG＝∠BOC．
∴③正确；
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°﹣∠AOB．
同理可得：
∠OAC＝90°﹣∠AOC，
∠DEO＝90°﹣∠DOE，
∠FGO＝90°﹣∠FOG．
∴∠OAB+∠OAC＝180°﹣（∠AOB+∠AOC）＝180°﹣∠BOC，
∠DEO+∠FGO＝180°﹣（∠DOE+∠FOG）．
由③知：∠DOE+∠FOG＝∠BOC，
∴∠OAB+∠OAC＝∠DEO+∠FGO．
即：∠DEO+∠FGO＝∠BAC．
∴④正确；
∴正确的序号为：②③④.
故答案为：D.
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AC＞BC，由已知条件可知AB＝DE，FG＝AC，则DE+FG＞BC，据此判断①；根据弦、弧的关系可判断②；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，由圆周角定理可得∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG，两式相加可判断③；根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB＝∠OBA＝90°﹣∠AOB，∠OAC＝90°﹣∠AOC，∠DEO＝90°﹣∠DOE，∠FGO＝90°﹣∠FOG，则∠OAB+∠OAC＝180°﹣∠BOC，∠DEO+∠FGO＝180°﹣(∠DOE+∠FOG)，由③知∠DOE+∠FOG＝∠BOC，进而判断④.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·沙坪坝期末）中，，，，圆是的内切圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
12．（2024九上·广水期末）一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为 ．
【答案】50
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：
则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
故答案为：．
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，利用垂径定理可得，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
13．（2020九上·吴江期中）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
14．（2024九上·绍兴模拟）如图，在正中，Q是边中点，P是边上任意一点，连接，并使的延长线交的外角平分线于点G，，的外心在该三角形的内部，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心
15．（2023九上·拱墅月考）如图，点坐标为，点坐标为，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接、，点是的中点，连接，当线段取得最大值时，点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2024九上·海淀月考）如图，为的直径，弦与交于点E，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵ A，D在上， ，
，
，
∴ 在中，．
（2）解：连接，过O作于H．
∵，，
∴．
∴．
∵中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴中，．
∵于H，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】
（1）由圆周角定理，得出，再根据三角形内角和即可求解；
（2）连接，过作于．构成直角三角形，进而求出，根据角所对应的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理求得出的长，然后由垂径定理求出的长．
（1）解：∵ A，D在上， ，
，
，
∴ 在中，．
（2）解：连接，过O作于H．
∵，，
∴．
∴．
∵中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴中，．
∵于H，
∴．
17．（2023九上·青龙月考）如图，⊙O是的内切圆，点D，E，F为切点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】切线长定理
18．（2023九上·滨海期中）已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
【答案】（1）75°；（2）20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
19．（2023九上·香洲期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米．
（1）求此下水管横截面的半径：
（2）随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？
【答案】（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，
∴米，
设此下水管横截面的半径为r米，则米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
即此下水管横截面的半径为米；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∴，
根据题意得：米，米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴此时水面的宽度增加了米．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 本题考查垂径定理、勾股定理的应用.
（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，利用垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，利用线段的运算可得：米，在中，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出r的值，据此可求出答案；
（2）过点O作于点H，利用径定理可得，利用线段的运算可求出CH，再利用勾股定理可求出的长，进而可求出MN，利用线段的运算可求出此时水面应增加的宽度．
（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，
∴米，
设此下水管横截面的半径为r米，则米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
即此下水管横截面的半径为米；
（2）解：如图，过点O作于点H，
∴，
根据题意得：米，米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴此时水面的宽度增加了米．
20．（2023九上·乐清期中）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求∠BAD的度数；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
【答案】（1）解：∵BC是直径
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵点D在⊙O上且平分，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°；
（2）解：∵＝，
∴BD＝CD＝5，
∵∠BDC＝90°，
∴BC＝CD＝10，
∵AB＝8，∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴AC＝＝6．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1） 首先根据直径BC判断出∠BDC=90°，再根据点D在⊙O上且平分，推断出=，从而得出∠BAD=∠BDC=×90°=45°.
（2）已知CD=，根据=，得出CD=BD，BC是直径，所以∠BDC=90°，根据勾股定理求出BC的长，已知AB=8，∠BAC=90度，根据勾股定理再求出AC的长即可.
21．（2023九上·定西月考）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：∵是的直径，且于点M，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接， A是 上的点，只需证明 ， 即可求解；
（2）利用条件先求出 ，进而求得OM的长，利用勾股定理求得AM的长，从而求解.
22．（2024九上·缙云期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
（1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
（2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
【答案】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；垂径定理的实际应用；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）求出正八边形的外角，根据内角和外角互补解题即可；
（）连接，，过点作于点，求出正八边形的所在圆的半径OA长，和托盘的半径作比较解题即可．
23．（2024九上·邻水期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：）
【答案】（1）解：如图1，连接．
图1
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点D到地面的距离为．
（2）解：如图2，
图2
为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，
则，，，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
∴．
∵，
∴搬运该桌子时能够通过拱门．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，进而运用勾股定理求出OC，从而即可求解；
（2）为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，则，，，进而得到OQ，再根据勾股定理即可求出OP，从而结合题意相加即可求解。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
