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人教版九年级上学期数学第二十四章质量检测（进阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024九上·朝天期末）如图，已知是的弦，，连接并延长交于点，则的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，，
，
，
故答案为：C
【分析】如图，连接AO，根据等腰三角形的性质可得，，进而可得的度数，再根据圆周角定理即可求解。
2．（2024九上·山海关期末）如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
3．（2024九上·保康期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点A，连接，
∴，，
与x轴相切于原点，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点M的坐标是，
∴，，
∴
设，
则，，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：A
【分析】过点P作于点A，连接，由垂径定理即可求得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，即可得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2020九上·灌云月考）如图， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0)
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标.
5．（2024九上·缙云期末）如图，是的两条弦，点M，N分别是的中点，连结．若的半径是6，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵；
∴所对的圆心角；
∴；
∴；
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到，然后代入弧长公式计算即可．
6．（2024九上·绍兴月考）如图，矩形中，E，F分别是边上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换， 得到，点恰好在边上， 过点D，F，作，连结若时，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
7．（2021九上·上城期末）如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
的长与 的半径相等，
为等边三角形，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OD，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD=60°，再利用圆周角定理∠ABD=∠ACD=30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE=AB，CE=CD， 然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2=BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系．
8．（2024九上·游仙期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
9．（2024九上·拱墅期末）如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；弧长的计算；旋转的性质
10．（2024九上·乳山期末）如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2022九上·东城期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
【答案】20°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
12．（2024九上·岳麓期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：与，，分别相切于点，，，
，，，
的周长为14，
，
，
．
故答案为：5.
【分析】利用切线长定理可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换可得，最后求出即可．
13．（2024九上·兰陵期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 ．
【答案】18
【知识点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
14．（2021九上·诸暨月考）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .
【答案】15°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∵DA＝DC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣∠D）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∵AD∥CE，
∴∠ECA＝∠DAC＝55°，
∵∠AEC+∠D＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠EAC＝180°﹣110°﹣55°＝15°.
故答案为：15°.
【分析】由菱形的对边平行且四边都相等可得DA＝DC，AD∥BC，由圆周角定理和平行线的性质可得∠DAC＝∠DCA=∠ECA，再根据圆内接四边形的对角互补可求解.
15．（2020九上·莫力达瓦期末）如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：正方形ABCD中，
∴∠DCB=90°，DC=AB=6cm．
扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，
∴△BCE是等边三角形，∠ECB=60°，
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=30°．
根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE，
S扇形DCE=π×62× =3π，
故答案为3π．
【分析】根据图形的特点，可知阴影的面积就是扇形DCE的面积，利用扇形面积的计算公式求解即可得到结果。
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分）
得分
16．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1） 求证：CF=BF．
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点，
∴，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF= BF；
（2）解：∵，
∴BC=CD=6．
在Rt△ABC中，AB= =10，
∴⊙O的半径为5；
∵S△ABC= AB×CE= BC×AC，
∴CE= .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，再利用同角的余角相等证∠ECB=∠A，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠DBC=∠A，从而可得∠ECB=∠DBC，进而根据等角对等边求解；
（2）根据相等的弧所对的弦相等得BD=CD=6，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，进而得到圆的半径，结合三角形的面积公式，由等面积法即可求解.
17．（2024九上·松原期末）如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
（1）与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若的半径长为，，求的长．
【答案】（1）解：与相切；
理由如下：
连接，
，
；
，
，
，
；
，
，
与相切．
（2）解：连接，；
，是的切线，
，，
又，
四边形为矩形，
；
在中，，
，
，，
．
答：长度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，根据切线的判定得DE与⊙O相切.
（2）连接OD， OF，先证明四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，从而得解.
18．（2024九上·曲周期末）在中，弦与直径相交于点．
（1）如图①，若，求；
（2）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
【答案】（1）解：是的一个外角，，，
在中，，
∵，
，
为的直径，
，
∴；
（2）解：如图，连接
，
，
，
在中，，
，
是的切线，
，即，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质可得，即可得到，再根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）连接，再根据三角形内角和定理可得∠PCB=27°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：是的一个外角，，，
在中，，
∵，
，
为的直径，
，
∴；
（2）解：如图，连接
，
，
，
在中，，
，
是的切线，
，即，
，
．
19．（2024九上·自贡期末）如图，为直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）证明：连接OC
是的切线，，
，
．
，
∴
平分
（2）解：过点作于点E，
，
四边形是矩形，，
在Rt中，，
解得圆O的直径是20．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质得CH⊥OC，进而证明AH∥OC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可；
（2）作OE⊥AD于点E，由垂径定理得AE=DE，再证明四边形EOCH是矩形，根据矩形的性质，结合勾股定理求解即可。
20．（2024九上·长沙期末） 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求和CE的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠OBD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∵DE⊥BC，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝4，，
∴AB8，
∴ADAB，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDO＝∠ABD＝∠DBC＝30°，∠A＝60°，
∴∠BDC＝30°，∠AOD＝60°，
∴的长为；
∴CD＝BC，
∵∠E＝90°，
∴DE，
∴BE6，
∵∠DCE＝∠CDB+∠CBD＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE，
∴CE2．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，先利用角的运算和等量代换可得∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，即DE⊥OD，再结合OD是⊙O的半径，即可证出DE是⊙O的切线；
（2）先求出 ∠BDC＝30°，∠AOD＝60°， 再利用弧长公式求出，再利用勾股定理求出BE的长，再结合∠CDE＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得 CE2．
21．（2024九上·武胜期末）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点．点为边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图：连接，
∵，
∴．
又∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
∵的半径为2，
∴，
∴
在中，，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而证明，再根据切线的判定即可求解；
（2）由（1）可知，进而结合题意得到CF，再根据勾股定理即可求出DF，从而运用扇形的面积公式结合三角形的面积公式即可求解。
22．（2024九上·武胜期末）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆孤对应的弦长，弓形高长求半径的长．
【答案】解：半径，则，
在中，，
，，
，
，即，
解得：，
答：半径的长为：．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设半径，则，进而根据垂径定理结合勾股定理即可求解。
23．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积；
（2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解.
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人教版九年级上学期数学第二十四章质量检测（进阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024九上·朝天期末）如图，已知是的弦，，连接并延长交于点，则的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．（2024九上·山海关期末）如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·保康期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·灌云月考）如图， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0)
5．（2024九上·缙云期末）如图，是的两条弦，点M，N分别是的中点，连结．若的半径是6，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·绍兴月考）如图，矩形中，E，F分别是边上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换， 得到，点恰好在边上， 过点D，F，作，连结若时，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．（2021九上·上城期末）如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·游仙期末）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
9．（2024九上·拱墅期末）如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·乳山期末）如图，是的直径，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①的值为定值；②的度数为定值；③的度数始终等于度数的2倍；④若，则．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2022九上·东城期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于 ．
12．（2024九上·岳麓期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．
13．（2024九上·兰陵期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 ．
14．（2021九上·诸暨月考）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .
15．（2020九上·莫力达瓦期末）如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝6cm．则图中阴影部分面积为 cm2．
阅卷人 三、解答题（共8题，共75分）
得分
16．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1） 求证：CF=BF．
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．
17．（2024九上·松原期末）如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
（1）与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若的半径长为，，求的长．
18．（2024九上·曲周期末）在中，弦与直径相交于点．
（1）如图①，若，求；
（2）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
19．（2024九上·自贡期末）如图，为直径，点为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的直径．
20．（2024九上·长沙期末） 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求和CE的长．
21．（2024九上·武胜期末）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点．点为边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．
22．（2024九上·武胜期末）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆孤对应的弦长，弓形高长求半径的长．
23．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，，
，
，
故答案为：C
【分析】如图，连接AO，根据等腰三角形的性质可得，，进而可得的度数，再根据圆周角定理即可求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
3．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点A，连接，
∴，，
与x轴相切于原点，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点M的坐标是，
∴，，
∴
设，
则，，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：A
【分析】过点P作于点A，连接，由垂径定理即可求得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，即可得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵；
∴所对的圆心角；
∴；
∴；
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到，然后代入弧长公式计算即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
的长与 的半径相等，
为等边三角形，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OD，先证明△OAD为等边三角形得到∠AOD=60°，再利用圆周角定理∠ABD=∠ACD=30°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BE=AB，CE=CD， 然后在Rt△BCE中利用勾股定理得到BC2=BE2+CE2，从而可确定BC、AB、CD的关系．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；弧长的计算；旋转的性质
10．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
11．【答案】20°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴∠ADC=∠AOB=20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故答案为：20°．
【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，再利用圆周角的性质求出∠ADC的度数，最后利用平行线的性质求出∠OCD=∠ADC=20°即可。
12．【答案】5
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：与，，分别相切于点，，，
，，，
的周长为14，
，
，
．
故答案为：5.
【分析】利用切线长定理可得，，，再利用三角形的周长公式及等量代换可得，最后求出即可．
13．【答案】18
【知识点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
14．【答案】15°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∵DA＝DC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣∠D）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∵AD∥CE，
∴∠ECA＝∠DAC＝55°，
∵∠AEC+∠D＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠EAC＝180°﹣110°﹣55°＝15°.
故答案为：15°.
【分析】由菱形的对边平行且四边都相等可得DA＝DC，AD∥BC，由圆周角定理和平行线的性质可得∠DAC＝∠DCA=∠ECA，再根据圆内接四边形的对角互补可求解.
15．【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：正方形ABCD中，
∴∠DCB=90°，DC=AB=6cm．
扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，
∴△BCE是等边三角形，∠ECB=60°，
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=30°．
根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE，
S扇形DCE=π×62× =3π，
故答案为3π．
【分析】根据图形的特点，可知阴影的面积就是扇形DCE的面积，利用扇形面积的计算公式求解即可得到结果。
16．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点，
∴，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF= BF；
（2）解：∵，
∴BC=CD=6．
在Rt△ABC中，AB= =10，
∴⊙O的半径为5；
∵S△ABC= AB×CE= BC×AC，
∴CE= .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°，再利用同角的余角相等证∠ECB=∠A，然后根据同弧所对的圆周角相等得∠DBC=∠A，从而可得∠ECB=∠DBC，进而根据等角对等边求解；
（2）根据相等的弧所对的弦相等得BD=CD=6，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，进而得到圆的半径，结合三角形的面积公式，由等面积法即可求解.
17．【答案】（1）解：与相切；
理由如下：
连接，
，
；
，
，
，
；
，
，
与相切．
（2）解：连接，；
，是的切线，
，，
又，
四边形为矩形，
；
在中，，
，
，，
．
答：长度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，根据切线的判定得DE与⊙O相切.
（2）连接OD， OF，先证明四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，从而得解.
18．【答案】（1）解：是的一个外角，，，
在中，，
∵，
，
为的直径，
，
∴；
（2）解：如图，连接
，
，
，
在中，，
，
是的切线，
，即，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质可得，即可得到，再根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）连接，再根据三角形内角和定理可得∠PCB=27°，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：是的一个外角，，，
在中，，
∵，
，
为的直径，
，
∴；
（2）解：如图，连接
，
，
，
在中，，
，
是的切线，
，即，
，
．
19．【答案】（1）证明：连接OC
是的切线，，
，
．
，
∴
平分
（2）解：过点作于点E，
，
四边形是矩形，，
在Rt中，，
解得圆O的直径是20．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质得CH⊥OC，进而证明AH∥OC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可；
（2）作OE⊥AD于点E，由垂径定理得AE=DE，再证明四边形EOCH是矩形，根据矩形的性质，结合勾股定理求解即可。
20．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠OBD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∵DE⊥BC，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝4，，
∴AB8，
∴ADAB，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDO＝∠ABD＝∠DBC＝30°，∠A＝60°，
∴∠BDC＝30°，∠AOD＝60°，
∴的长为；
∴CD＝BC，
∵∠E＝90°，
∴DE，
∴BE6，
∵∠DCE＝∠CDB+∠CBD＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE，
∴CE2．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，先利用角的运算和等量代换可得∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，即DE⊥OD，再结合OD是⊙O的半径，即可证出DE是⊙O的切线；
（2）先求出 ∠BDC＝30°，∠AOD＝60°， 再利用弧长公式求出，再利用勾股定理求出BE的长，再结合∠CDE＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得 CE2．
21．【答案】（1）证明：如图：连接，
∵，
∴．
又∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
∵的半径为2，
∴，
∴
在中，，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而证明，再根据切线的判定即可求解；
（2）由（1）可知，进而结合题意得到CF，再根据勾股定理即可求出DF，从而运用扇形的面积公式结合三角形的面积公式即可求解。
22．【答案】解：半径，则，
在中，，
，，
，
，即，
解得：，
答：半径的长为：．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设半径，则，进而根据垂径定理结合勾股定理即可求解。
23．【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积；
（2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解.
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