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人教版九年级上学期数学第二十四章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024·上海）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
2．（2024九下·江阳模拟）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·绵阳模拟）如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )
A． B． C． D．
5．（2024七下·鄞州期末） 如图，在 和 中， ，连接 交于 点 ，连接 . 下列结论： ； ； 平分 ； 平分 . 其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024九下·牙克石模拟）如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·福田模拟）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
8．（2024九下·福州模拟）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．15 D．
9．（2024九下·罗湖模拟）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2024九下·蔡甸模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024九下·乌鲁木齐模拟）如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2024九下·新城模拟）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．
13．（2024九下·景德镇模拟）如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ．
14．（2024九下·成都模拟）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
15．（2024九下·郑州模拟）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 .
阅卷人 三、解答题（共6题，共57分）
得分
16．（2024·长沙会考）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
17．（2024九下·河源月考）在直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．其中C点坐标为．
（1）求点A坐标．
（2）如图，过C作的切线，过A作于F，交于N，求的长度．
（3）在上，若，求出点P的坐标．
18．（2024·安州模拟） 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
19．（2024九下·涧西模拟）如图，的直径切于点B，连接交于点D，连接．
（1）若，求的长；
（2）取的中点E，连接．
①当 时，四边形为平行四边形；
②在①的条件下，以B为圆心，以r为半径作圆，使得点O，点E在内部，同时点D在外部，则r的取值范围是 ．
20．（2024·沈阳模拟）如图，抛物线，与x轴交于、O两点，点为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点，点M为上一点．
①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标；
②如图2，连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值；若不存在，请说明理由．
21．如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点BF与CD相交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，BF=4，求GE 的长.
（3）如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+
阅卷人 四、实践探究题（共2题，共18分）
得分
22．（2024·江西模拟）课本改编
（1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则 度， 度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．
（3）知识运用
如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线．
23．（2024九下·柳州模拟）【综合与实践】
【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为．
【数学思考】（1）求直径的长；
【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D．
①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时的长及操作后液面高度下降了多少；
③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵ 圆与圆内切， 圆半径为1，圆半径为3，
∴ AP1=3-1=2
∴ BP1=AB-AP1=3
∵ AC=3，
∴ CP2=AC-AP2=1
∴ BP2=
∴ 3＜BP＜
∵ rB=2
∴ rB+rP=5，rB-rP=1
∴1＜BP＜5
∴ 圆P与圆B相交
故答案为：B
【分析】本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交， 圆心距小于两圆半径的和，而大于两圆半径的差的绝对值。根据两圆半径和圆心距，可判定圆与圆的位置关系：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
（1）d>R+r 两圆外离； 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。（2）d=R+r 两圆外切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。（3）d=R-r 两圆内切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。（4）d2．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2
∴ 是等边三角形
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知 是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.
4．【答案】D
【知识点】圆的综合题
5．【答案】C
【知识点】反证法；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠BOD=∠AOC，
在△BOD和△AOC中：
∵OB=OA，∠BOD=∠AOC，OD=OC，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，故①正确；
由①知：△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵AO与BM相交于点E，
∴∠AEM=∠BEO，
∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；
过点O分别作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，
∵△BOD≌△AOC，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
假设OM平分∠BOC，则∠DOM=∠AOM，
又∵MO平分∠BMC，
∴∠OMC=∠OMB，
∴∠OMD-∠OMA，
又OM=OM，
∴△ODM≌△OAM，
∴OD=OA，
∵OD=OC，
∴OC=OA，与OA＞OC相矛盾，
∴OM平分∠BOC不正确，故③错误，
综上，正确的个数为：3个.
故答案为：C.
【分析】首先根据SAS证明△BOD≌△AOC，可得出①正确；再根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出②正确；过点O分别作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，根据全等三角形对应边上的高相等可得出OG=OH，即可得出④正确；用反证法可以证明③不正确，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的相关概念；三角形的中位线定理
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆内接四边形的性质
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
9．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
13．【答案】2或或4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；轴对称的性质
14．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】 .
【知识点】扇形面积的计算
16．【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。
17．【答案】（1）解：连接，
∵，，
∴OM=3，OC=4，
∴，即的半径为5，
∴，
∴AO=AM-OM=2，
∴；
（2）连接，作于H，
∵CE为的切线 ，
∴MC⊥EC，即∠MCE=90°.
∵AN⊥CE于F，即∠AFC=90°.
又∵MH⊥AN于H，即∠MHA=90°.
∴在四边形FHMC中，∠CMH=90°=∠CMO+∠AMH.
∵在Rt△AHM中，∠HAM+∠AMH=90°，
∴∠HAM=∠CMO.
∵在Rt△COM中，∠CMO+∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠AMH.
∵在与中，
∴≌（ASA），
故．
即；
（3）解：结合题意，可知PM=CM，为等腰三角形，同时因为∠CPM=45°=∠PCM，
因此也是等腰直角三角形，即且.
①当P在CM右侧时，作PE垂直x轴于E.
∵∠CMP=90°，
∴∠CMO+∠PME=90°.
又∵在Rt△PEM中，∠PME+∠MPE=90°，
∴∠CMO=∠MPE.
∴同理可得∠MCO=∠PME.
在与中，
∴≌（ASA）
∴，，
即存在；
②当P在CM左侧时（设为P2），作PF垂直x轴于F.
根据圆的对称性，结合①的结论，易证：≌，
∴，，
即存在．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理结合点M、点C坐标求出 的半径，然后利用MA=半径长，结合M的坐标推算出A的坐标；
（2）按解题区作辅助线后，通过证≌得出AH的长，最后利用垂径定理求出AN；
（3）因为点P在圆上，结合条件易知△CMP为等腰直角三角形. 此时，因为圆的对称性，必然要根据P点在CM左侧还是右侧分别讨论. 按解题区作辅助线后，通过证三角形全等得到包含P点的相关边的边长，从而求出P点坐标.
18．【答案】（1）解：AC是∠DAE的平分线，理由为：
证明：连接OC、FC，
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠2＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，
∴AC是∠DAE的平分线；
（2）解：
∵AG＝CG＝k，OA＝OC，
∴AC⊥OG，即AG⊥OF，
又∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠AOG，
∴AF＝AO，
又AO＝OF，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠AOF＝60°，
∴∠1＝30°，∠COE＝60°，
又∠OCE＝90°，∠E＝30°，
设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，
∵∠1＝30°，
∴OG＝r，
又AG＝k，由勾股定理有：AG2+OG2＝AO2，
∴k2+（）2＝r2，
解得：r＝k，
∴AB＝k，
同理，在Rt△ADC中，AC＝2k，
∵∠2＝30°，
∴DC＝AC＝k，
∴AD＝k，
在Rt△ADE中，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2k，
∴OE＝AE﹣r＝k，
∴CE＝OE＝2k；
另解：∠1＝∠E＝30°，
∴CE＝CA＝AG+CG＝2k．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，FC，由DE为圆的切线，得到OC与DE垂直，利用同位角相等两直线平行得到AD与OC平行，利用两直线平行内错角相等，以及等边对等角得到∠1=∠2，即可得证AC是∠DAE的平分线；
（2）由题意得，AG=GC=k，易证△AOF是等边三角形，∠DAO=∠AOF=60°，∠1=30°，∠COE=60°，设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，由勾股定理可求出AB的长度，在Rt△ADE中，∠E=30°，所以AE=2AD=2k，从而可求出CE的长度。
19．【答案】（1）6
（2）①；②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质
20．【答案】（1）
（2）①点的坐标为或；②存在，线段的长度最小值和最大值分别为和
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；三角形的中位线定理
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
.
（2）解：如图，连接AF、OD，
设半径为r，
，
，
，
，，
，
，
，解得，
，
，
，，
，
，
.
（3）证明：如图，连接OC、CF、BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证得，进而得到，再通过圆心角定理证得CD=BF.
(2)设半径为r，利用垂径定理得到DE=2，再通过勾股定理列出关于r的方程，解得r值，进而求得AF的长度，然后通过相似三角形的性质计算出GE的长度.
(3)由圆心角定理可得CF=BD，通过AAS判定，进而得到，再通过SSS判定，证得，然后利用垂径定理证得，由圆周角定理得到，即可证得.
22．【答案】（1）90；180
（2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接
由(1)可知，，，
，
，
即圆内接四边形的对角互补
（3）证明：连接，如图所示.
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
是线段的中点，
是的半径，
是的切线
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径，
∴°，
∵
∴
故答案为：90，180
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质结合圆周角定理得到°，从而根据题意进行角的运算即可求出；
（2）连接并延长，交于点E，连接BE，DE，由(1)可知，，进而进行等量代换即可得到
，从而结合已知条件得到，，即圆内接四边形的对角互补；
（3）连接，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而根据平行线的判定即可得到，根据圆内接四边形的性质结合题意等量代换得到，再根据等腰三角形的性质结合切线的判定即可求解.
23．【答案】（1）；（2）①不变；②，；③
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
阅卷人 一、选择题（每题3分，共30分）
得分
1．（2024·上海）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵ 圆与圆内切， 圆半径为1，圆半径为3，
∴ AP1=3-1=2
∴ BP1=AB-AP1=3
∵ AC=3，
∴ CP2=AC-AP2=1
∴ BP2=
∴ 3＜BP＜
∵ rB=2
∴ rB+rP=5，rB-rP=1
∴1＜BP＜5
∴ 圆P与圆B相交
故答案为：B
【分析】本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交， 圆心距小于两圆半径的和，而大于两圆半径的差的绝对值。根据两圆半径和圆心距，可判定圆与圆的位置关系：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
（1）d>R+r 两圆外离； 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。（2）d=R+r 两圆外切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。（3）d=R-r 两圆内切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。（4）d2．（2024九下·江阳模拟）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
3．（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2
∴ 是等边三角形
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知 是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.
4．（2024九下·绵阳模拟）如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的综合题
5．（2024七下·鄞州期末） 如图，在 和 中， ，连接 交于 点 ，连接 . 下列结论： ； ； 平分 ； 平分 . 其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】反证法；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠BOD=∠AOC，
在△BOD和△AOC中：
∵OB=OA，∠BOD=∠AOC，OD=OC，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，故①正确；
由①知：△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵AO与BM相交于点E，
∴∠AEM=∠BEO，
∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；
过点O分别作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，
∵△BOD≌△AOC，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
假设OM平分∠BOC，则∠DOM=∠AOM，
又∵MO平分∠BMC，
∴∠OMC=∠OMB，
∴∠OMD-∠OMA，
又OM=OM，
∴△ODM≌△OAM，
∴OD=OA，
∵OD=OC，
∴OC=OA，与OA＞OC相矛盾，
∴OM平分∠BOC不正确，故③错误，
综上，正确的个数为：3个.
故答案为：C.
【分析】首先根据SAS证明△BOD≌△AOC，可得出①正确；再根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出②正确；过点O分别作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，根据全等三角形对应边上的高相等可得出OG=OH，即可得出④正确；用反证法可以证明③不正确，即可得出答案.
6．（2024九下·牙克石模拟）如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的相关概念；三角形的中位线定理
7．（2024九下·福田模拟）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆内接四边形的性质
8．（2024九下·福州模拟）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．15 D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
9．（2024九下·罗湖模拟）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
10．（2024九下·蔡甸模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
阅卷人 二、填空题（每题3分，共15分）
得分
11．（2024九下·乌鲁木齐模拟）如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
12．（2024九下·新城模拟）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
13．（2024九下·景德镇模拟）如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为 ．
【答案】2或或4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；轴对称的性质
14．（2024九下·成都模拟）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
15．（2024九下·郑州模拟）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 .
【答案】 .
【知识点】扇形面积的计算
阅卷人 三、解答题（共6题，共57分）
得分
16．（2024·长沙会考）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。
17．（2024九下·河源月考）在直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．其中C点坐标为．
（1）求点A坐标．
（2）如图，过C作的切线，过A作于F，交于N，求的长度．
（3）在上，若，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：连接，
∵，，
∴OM=3，OC=4，
∴，即的半径为5，
∴，
∴AO=AM-OM=2，
∴；
（2）连接，作于H，
∵CE为的切线 ，
∴MC⊥EC，即∠MCE=90°.
∵AN⊥CE于F，即∠AFC=90°.
又∵MH⊥AN于H，即∠MHA=90°.
∴在四边形FHMC中，∠CMH=90°=∠CMO+∠AMH.
∵在Rt△AHM中，∠HAM+∠AMH=90°，
∴∠HAM=∠CMO.
∵在Rt△COM中，∠CMO+∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠AMH.
∵在与中，
∴≌（ASA），
故．
即；
（3）解：结合题意，可知PM=CM，为等腰三角形，同时因为∠CPM=45°=∠PCM，
因此也是等腰直角三角形，即且.
①当P在CM右侧时，作PE垂直x轴于E.
∵∠CMP=90°，
∴∠CMO+∠PME=90°.
又∵在Rt△PEM中，∠PME+∠MPE=90°，
∴∠CMO=∠MPE.
∴同理可得∠MCO=∠PME.
在与中，
∴≌（ASA）
∴，，
即存在；
②当P在CM左侧时（设为P2），作PF垂直x轴于F.
根据圆的对称性，结合①的结论，易证：≌，
∴，，
即存在．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理结合点M、点C坐标求出 的半径，然后利用MA=半径长，结合M的坐标推算出A的坐标；
（2）按解题区作辅助线后，通过证≌得出AH的长，最后利用垂径定理求出AN；
（3）因为点P在圆上，结合条件易知△CMP为等腰直角三角形. 此时，因为圆的对称性，必然要根据P点在CM左侧还是右侧分别讨论. 按解题区作辅助线后，通过证三角形全等得到包含P点的相关边的边长，从而求出P点坐标.
18．（2024·安州模拟） 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
【答案】（1）解：AC是∠DAE的平分线，理由为：
证明：连接OC、FC，
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠2＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，
∴AC是∠DAE的平分线；
（2）解：
∵AG＝CG＝k，OA＝OC，
∴AC⊥OG，即AG⊥OF，
又∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠AOG，
∴AF＝AO，
又AO＝OF，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠AOF＝60°，
∴∠1＝30°，∠COE＝60°，
又∠OCE＝90°，∠E＝30°，
设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，
∵∠1＝30°，
∴OG＝r，
又AG＝k，由勾股定理有：AG2+OG2＝AO2，
∴k2+（）2＝r2，
解得：r＝k，
∴AB＝k，
同理，在Rt△ADC中，AC＝2k，
∵∠2＝30°，
∴DC＝AC＝k，
∴AD＝k，
在Rt△ADE中，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2k，
∴OE＝AE﹣r＝k，
∴CE＝OE＝2k；
另解：∠1＝∠E＝30°，
∴CE＝CA＝AG+CG＝2k．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，FC，由DE为圆的切线，得到OC与DE垂直，利用同位角相等两直线平行得到AD与OC平行，利用两直线平行内错角相等，以及等边对等角得到∠1=∠2，即可得证AC是∠DAE的平分线；
（2）由题意得，AG=GC=k，易证△AOF是等边三角形，∠DAO=∠AOF=60°，∠1=30°，∠COE=60°，设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，由勾股定理可求出AB的长度，在Rt△ADE中，∠E=30°，所以AE=2AD=2k，从而可求出CE的长度。
19．（2024九下·涧西模拟）如图，的直径切于点B，连接交于点D，连接．
（1）若，求的长；
（2）取的中点E，连接．
①当 时，四边形为平行四边形；
②在①的条件下，以B为圆心，以r为半径作圆，使得点O，点E在内部，同时点D在外部，则r的取值范围是 ．
【答案】（1）6
（2）①；②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质
20．（2024·沈阳模拟）如图，抛物线，与x轴交于、O两点，点为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点，点M为上一点．
①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标；
②如图2，连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①点的坐标为或；②存在，线段的长度最小值和最大值分别为和
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；三角形的中位线定理
21．如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点BF与CD相交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，BF=4，求GE 的长.
（3）如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+
【答案】（1）证明：，
，
，
，
.
（2）解：如图，连接AF、OD，
设半径为r，
，
，
，
，，
，
，
，解得，
，
，
，，
，
，
.
（3）证明：如图，连接OC、CF、BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证得，进而得到，再通过圆心角定理证得CD=BF.
(2)设半径为r，利用垂径定理得到DE=2，再通过勾股定理列出关于r的方程，解得r值，进而求得AF的长度，然后通过相似三角形的性质计算出GE的长度.
(3)由圆心角定理可得CF=BD，通过AAS判定，进而得到，再通过SSS判定，证得，然后利用垂径定理证得，由圆周角定理得到，即可证得.
阅卷人 四、实践探究题（共2题，共18分）
得分
22．（2024·江西模拟）课本改编
（1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则 度， 度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．
（3）知识运用
如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线．
【答案】（1）90；180
（2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接
由(1)可知，，，
，
，
即圆内接四边形的对角互补
（3）证明：连接，如图所示.
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
是线段的中点，
是的半径，
是的切线
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径，
∴°，
∵
∴
故答案为：90，180
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质结合圆周角定理得到°，从而根据题意进行角的运算即可求出；
（2）连接并延长，交于点E，连接BE，DE，由(1)可知，，进而进行等量代换即可得到
，从而结合已知条件得到，，即圆内接四边形的对角互补；
（3）连接，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而根据平行线的判定即可得到，根据圆内接四边形的性质结合题意等量代换得到，再根据等腰三角形的性质结合切线的判定即可求解.
23．（2024九下·柳州模拟）【综合与实践】
【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为．
【数学思考】（1）求直径的长；
【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D．
①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时的长及操作后液面高度下降了多少；
③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？
【答案】（1）；（2）①不变；②，；③
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
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