《有理数的乘方》学情分析
和庄中学 李传昌
八年级是较特殊的一级学生，每个班两极分化较严重，整体学生的基础很差。经过近半年的学习与辅导，学生虽有了较大的进步-----在班级中已初步形成合作交流的学习方式，学生敢于提出问题、敢于探索与实践，班级里互相探讨、互相评价的气氛较浓，对于解题思路及方法已有了较大的提高，但缺失的仍然较多。
在知识掌握方面，由于算术平方根的知识学过时间较长，并且不易理解，容易造成知识的遗忘与混淆。所以在本节课的学习中应全面系统的加以讲述。
在知识障碍方面，学生对二次根式中相关概念的理解及其性质规律的推导、应用方面可能会有模糊现象。所以在本节课的教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
在学生特征方面：由于八年级学生已经具备一定的分析、综合能力。所以在教学中应抓住学生这一特征，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终在课堂上;另一方面要创造条件与机会，让学生积极探索，发挥学生学习的主动性。
《有理数的乘方》效果分析
和庄中学 李传昌
本节课从学生已学过的算术平方根出发，根据算术平方根的意义，具体地阐述了二次根式的概念、性质，在教学过程中应用了“自主—合作—讨论—探究—交流”的教学方法，教师始终发挥学生的主体作用，起到一个“引导—帮助—点拨”的作用，较好地做到了由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的组织者、引导者和合作 者。???????
为了体现课堂以学生为主，培养学生自主探究的能力，在课前的教学设计中尽量围绕学生展开。如：
1、在本课中，有很多活动都是采用类比、归纳探究的形式，大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。在学习过程中突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。
2、在组织教学的每一个环节时，都有意识地体现学生是课堂的主角，多给学生自主探索、合作交流等活动的机会，多让学生“做”数学。教师从信息源与知识的传授者转变为学生学习的促进者和引导者，巧妙地把自己转向幕后，把学生推向台前，把课堂还给学生，让学生成为课堂真正的主角。
3、在备课中，仍然存在过高估计学生的学习能力，本节课设计的教学内容过多，课结束后还有不少内容没有完成，如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经有的经验，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在求字母取值范围过程中因此而出错。
4、在学生的学习方面，也有值得反思的地方，在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。
5、教学中，我们要特别强调字母的取值范围，强化训练。
?? 总之，本节课学生对新知的掌握情况教好，有效地完成了教学目标。通过本课我深深感觉到，教师要调动学生的主动性，正确地认识课堂教学中的师生交流，摒弃虚假，追求真实，努力实施“自主、合作、探究”课堂教学改革，实现课堂教学师生交往的有效化，通过富有创意的实践和探究，建构一个生动活泼的、主动的和富有个性的师生、生生交往的课堂情景，促进每一个学生的充分发展，努力提高课堂教学的效率。
课题《有理数的乘方》教学设计
课型：新授课
莱芜市和庄中学：李传昌
【教学目标】：
知识教学点
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；
2．掌握二次根式的性质并能熟练应用．
教学重点：
从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
教学难点：
理解二次根式的双重非负性.
【教学过程】：??????????
一、创设情境 提出问题
问题：
面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．
（2）正方形面积为S ,如果把它的面积增加1，新正方形的边长为_______．
师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.
【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．
知识链接
1、什么是一个数的算术平方根？
2、算术平方根的运算符号是什么？
问题2上面问题中，得到的结果分别是：
它们分别表示什么意义？有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．
二．抽象概括，形成概念
问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．
追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？
师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．
【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．
三．初步应用 巩固知识
巩固练习1 指出下列哪些是二次根式？
师生活动:先让学生独立思考，再追问．
【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式定义的理解．
例1 当x时怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．
师生活动:先让学生独立思考，再追问．
【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．
初步应用 巩固性质
巩固练习2、 a 取何值时，下列根式有意义？
巩固练习3 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
师生活动：板演，细化知识，展示思维过程，强化学生对二次根式被开方数为非负数的理解
【设计意图】通过各种题型的练习，提高学生应用知识的能力，强化学生对二次根式被开方数为非负数的理解。
问题4 你能比较与0的大小吗？
师生活动：通过分类讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，
【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.
初步应用 巩固性质
例2：
若 ，求a、b的值 。
方法总结：根据0+0=0 ,列方程组
师生活动：先让学生独立思考，再追问．
【设计意图】通过各种题型的练习，提高学生应用知识的能力，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，培养学生归纳概括的能力.
巩固练习4
若 ，求x、y的值
师生活动：板演，细化知识，展示思维过程，强化学生对二次根式本身为非负数的理解
【设计意图】通过巩固练习，提高学生应用知识的能力，强化学生对二次根式本身为非负数的理解。
四、合作探究 形成性质
计算：
1、 = 4、 =
2、 = 5、 =
3、 = 6、 =
观察并思考： (a≥0)
师生活动：先让学生独立思考，再追问．
【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生归纳概括的能力.
五、初步应用 巩固知识
例3 在实数范围内分解因式：
六．总结反思
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
（3）公式
师生活动：教师引导，学生小结.
【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.
《二次根式》教材分析
和庄中学 李传昌
1、教材的地位与作用：
从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容.鲁教版的课本安排了3章内容，分别是六年级上册 “有理数”，六年级下册 “实数”和8年级下册 “二次根式”.本章是在“实数”的基础上进一步研究二次根式的概念、性质和运算。
全章分为三节，本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.起承上启下的作用。
2、教学目标:
根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我将制定本节课的教学目标如下：
⑴、知识与技能：
根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；
2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
⑵、过程与方法：
在生动的情景中让学生获得二次根式的初步体验;培养学生观察、分析、归纳、概括的能力;经历从算术平方根到二次根式的演变过程，从中感受转化的数学思想，经过对知识的应用，强化类比、分类讨论、方程等数学思想。
⑶、情感、态度和价值观：
通过二次根式性质渗透对称性、规律性的数学美；感受合作交流带来的成功感，树立自信心。
3、教学重点与难点：
二次根式的定义及基本性质是本节课的教学重点，而二次根式性质的灵活运用是本节课的教学难点。
《二次根式》观评记录
和庄中学 李传昌
课堂观察量表（1）——学生学习的维度
视角
观察点
观察结果
评价反思
准备
①学生课前准备了什么??是如何准备的?
组成学习小组
预习较到位
②准备得怎样??有多少学生作了认真准备?
?准备充分所有学生
积极性、主动性强???
③学优生、学困生的准备习惯怎么样?
?都有准备，但学困生的不太好
?不同层次的表现很好
倾听
①有多少学生能倾听老师的讲课??对哪些问题感兴趣?
?所有，二次根式概念
学习的情绪很好
②有多少学生能倾听同学的发言??对哪些问题感兴趣?
?所有，二次根式性质
?学生积极参与
③倾听时,?学生有哪些辅助行为(?记笔记/查阅/回应)???有多少人?
?记笔记，大多数学生
?学习的兴趣浓
互动
①有哪些互动行为??学生的互动能为目标达成提供帮助吗?
?师生互动，生生互动
?充分体现合作
②参与提问/回答的人数、时间、对象、过程、质量如何?
?效果良好
?有助于提升学生分析能力
③参与小组讨论的人数、时间、对象、过程、质量如何?
?4人1学习小组
?会用所学解决问题
④参与课堂活动(?个人/小组)?的人数、时间、对象、过程、质量如何?
?活动有序
?勤于思考参与度广
⑤学生的互动习惯怎么样??出现了怎样的情感行为?
?积极参与，争相发言
?乐于交流
自主
①学生可以自主学习的时间有多少??有多少人参与??学困生的参与情况怎样?
?十五分钟由于互动、交流
?参与面广
②学生自主学习形式(?探究/记笔记/阅读/思考)?有哪些?各有多少人?
?积极探究，认真思考
?符合课改需求
③学生的自主学习有序吗??学生有无自主探究活动??学优生、学困生情况怎样?
?张弛有度
?各层次的学生都有收获
④学生自主学习的质量如何?
?良好
?学生接受能力好
达成
①学生清楚这节课的学习目标吗?
?清楚
?实现教学目标
②预设的目标达成有什么证据(?观点/作业/表情/测验/成果展示)??有多少人达成?
?较好的完成作业
?领悟好
③这堂课生成了什么目标??效果如何?
?理解、掌握。会运用
?基本达成
课堂观察量表——教师教学的维度
视角
观察点
结果统计
评价反思
环节
①本节课由哪些环节构成??是否围绕教学目标展开?
?六个环节，围绕教学目标一一展开
学生探究、分析问题、解决问题的能力均得到了提高；教师主要是让学生通过边学边做，引导学生总结提高，达成目标。
②这些环节是否面向全体学生?
?立足于学生实际，全部面向全体学生
?充分的有效的小组合作让全体学生参与到课堂教学之中
③不同环节/行为/?内容的时间是怎么分配的?
?情境导入3分钟，定义推导及应用23分钟，拓展延伸6分钟，性质推导及应用10分钟，总结3分钟
?教学时间安排合理，尤其是给足了时间让学生自读自悟，进行交流
呈示
①怎样讲解??讲解是否有效(?清晰/结构/契合主题/简洁/语速/音量/节奏)??
?教师组织引导学生自我尝试
?感觉教师没怎么教，都是学生在自我解决问题，课堂没落清楚明白
②板书怎样呈现的??是否为学生学习提供了帮助?
?以简洁的几个字提纲挈领展示，为学生提供了帮助
?学生把解题过程到黑板上进行展示，规范解题步骤
③媒体怎样呈现的??是否适当??是否有效?
?展示概念-应用-小结-性质-应用-总结，适当有效
?适时的课件展示，让学生直观具体的明白二次根式的含义及性质
④教师在课堂中的行为和动作（如走动、指导等）是怎样呈现的??是否规范??是否有利教学?
?教态规范，有利教学
?很有亲和力
对话
①提问的学生分布、次数、知识的认知难度、候答时间怎样?是否有效?
?利用教师评价，每个学生都能积极回答问题，20多人次回答问题
?每个学生都能积极主动回答问题。
②教师的回答方式和内容如何??是否有效?
?教师回答机智巧妙，很有效果
?李老师的语言干净简练，富有感染力
③对话围绕哪些话题??话题与学习目标的关系如何?
?对话围绕二次根式的概念及性质展开，话题讨论交流的过程就是学习目标落实的过程
围绕定义（性质）展开学习研讨，并结合例题谈理由，最后再结合自己的解题过程进行总结。
指导
①怎样指导学生自主学习(?阅读/作业/)???是否有效?
?很好地利用课件
?定义及性质教学类比二次根式定义，提醒被开方数的取值范围，同时运用不完全归纳法探究性质，完全为了让学生积极主动的学习
②怎样指导学生合作学习(?讨论/活动/作业)???是否有效?
?利用教师评价机制，指导有效
?老师积极参与学生的讨论交流，每组的观点老师都清楚
③怎样指导学生探究学习(?教师命制探究题目/指导学生围绕学习内容自命题目并自主探究)???是否有效?
?拓展延伸,结合分式确定字母范围、公式的逆用
?问题创设综合性较强，能充分调动学生思考、探究，学生能够有个性的理解与表达。
机制
①教学设计与预设的有哪些调整??为什么??效果怎么样?
?基本按尝试学案走的，教学很灵活，效果很好
?实际课堂比尝试学案要丰富。
②如何处理来自学生或情景的突发事件??效果怎么样?
没有突发事件，
?
③呈现了哪些非言语行为(?表情/移动/体态语)???效果怎么样?
始终微笑，有亲和力
?
④有哪些具有特色的课堂行为(?语言/教态/学识/技能/思想)??
边学边做为主线
?知识的应用学习很有效，很清楚明白
视角
观察点
结果统计
评价反思
?
目标
①预设的学生的学习目标是什么??学习目标的表达是否规范和清晰?
?预设目标有3：明确定义，性质，应用明确定义，性质，体会类比归纳等数学思想。规范、清晰
?目标中全部完成
?
②目标是根据什么(?课程标准/学生/教材)?预设的??是否符合该班学生?
?目标是根据课程标准制定，符合该班学生实际。
?过程体现了新课程理念。
?
③在课堂中是否生成新的学习目标??是否合理?
?
?
?
内容
①教材是如何处理的(?增/删/合/立/换)???是否合理?
??增加因式分解，合理
? 适合学生认知水平
?
②课堂中生成了哪些内容??怎样处理?
?实数范围内因式分解
?学困生的理解难度大
?
③是否凸显了学科的特点、思想、核心技能以及逻辑关系?
?知识归纳，概括比较，数学思想教育符合本科特色
?思维逻辑性较强
?
④容量是否适合该班学生??如何满足不同学生的需求?
?容量适合该班学生，分层，分段满足大部分学生
?应关注个别学困生
?
实施
①预设的教学方法?(?讲授/讨论/活动/探究/互动)?有哪些??与学习目标的适合度?
?讲授、讨论、探究、互动适合学习目标。师生互动多，生生互动少，探究不足。
?放手，给时，引导，鼓励。
?
②是否体现了学科的特点??有没有关注学习方法的指导?
?体现，关注，引导
?多关注个体
?
③创设了什么样的情境??是否有效?
?以问题设情景，有效。
?带着问题去学习
?
评价
①检测学习目标所采用的主要评价方式是什么??是否有效?
?激励，有效
?互动进行到底
?
②是否关注在教学过程中获取相关的评价信息(?回答/作业/表情)??
?有，肯定学生的不同见解
?肯定这点做得好
?
③如何利用所获得的评价信息(?解释/反馈/改进建议)??
?说、做、评甚至一个动作肯定了学生
?微笑是最好的奖励
?
资源
①预设了哪些资源(?师生/文本/实物与模型/多媒体)②预设资源的利用是否有助于学习目标的达成?③生成了哪些资源(?错误/回答/作业/作品)???与学习目标达成的关系怎样?④向学生推荐了哪些课外资源??可得到程度如何?
?投影设备多媒体
?直观有效收效显著
?
达标检测
1.下列式子一定是二次根式的是（ ）
2、求下列二次根式中字母的取值范围：
4.把下列各式写成平方差的形式， 再在实数范围内分解因式；
课件17张PPT。八年级 下册7.1 二次根式（1）和庄中学 李传昌2问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为
S 的正方形的边长为_______．
创设情境 提出问题
（2）正方形面积为S ,如果把它的面积增加1，新
正方形的边长为_______．
31、什么是一个数的算术平方根？如果一个正数X的平方等于a（ ），那么这个正数X就叫做a的算术平方根,0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.X 叫做a的算术平方根。知识链接2、算术平方根的运算符号是什么？
=4上面问题中，得到的结果分别是：
5目标解读 学习目标：
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知
道被开方数必须是非负数的理由；
2．掌握二次根式的性质并能熟练应用．
学习重点：
从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．62、这些式子有什么共同特征？合作探究 形成概念 上面问题中，得到的结果分别是：1、它们的意义是什么？被开方数a(a≥0)；二次根号．二次根式 二次根式：
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．合作探究 形成概念 根据你的理解，请尝试给二次根式下定义． √√√初步应用 巩固知识∴ 当x≥-2时， 在实数范围内有意义． 解：如果 在实数范围有意义，
那么 x+2≥0，
解不等式得 x≥-2． 例1 当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有
意义？ 初步应用 巩固知识（1） ；（2） ；（3） ． 解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1； （3）由1-2a＞0，得 a＜ ； 初步应用 巩固性质 巩固练习2、 a 取何值时，下列根式有意义？方法总结：被开方数≥0分母≠011 巩固练习3 当x 是什么实数时，下列各式有意义．综合应用 深化提高 1、 2、当a＞0 时， 表示a 的算术平方根，因此 ＞0； 这就是说， （a≥0）是一个非负数．
即
当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此 =0； 问题 请比较 和0 的大小．比较辨别 探索性质 13初步应用 巩固性质例2：
若 ，求a、b的值 方法总结：根据0+0=0,列方程组巩固练习
若 ，求x、y的值 14合作探究 形成性质计算：
1、 =
2、 =
3、 =4、 =
5、 =
6、 =观察并思考： (a≥0)
a1649351015初步应用 巩固性质例3：
（1）
计算：16例4 在实数范围内分解因式： （1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
范围是什么？
（3）公式
课堂小结
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．双重非负性 《有理数的乘方》教学反思
和庄中学 李传昌
? 二次根式是鲁教版八年级下册数学第二章的内容，是在学习了实数的基础之上，通过与学生合作学习理解二次根式的意义和概念，明白二次根式是区别于整式与分式的新的代数式。在学习的过程中培养学生的探索精神和观察、分析、归纳能力，并向学生渗透细心的重要性，使学生充分体会数学与现实生活的紧密联系，渗透数学的简洁美、神奇美。现对本节课的教学过程进行反思如下：
1.在备课时按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，以便于学生对重点内容的理解和难点的解决。??
2.本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。在学习过程中突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。
3、在教学过程中仍然存在过高估计学生的学习能力，本节课设计的教学内容过多，课结束后还有不少内容没有完成，如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经有的经验，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在求字母取值范围过程中因此而出错。
4、在学生的学习方面，也有值得反思的地方，在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。
《有理数的乘方》课标分析
和庄中学 李传昌
根据新课程标准提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程，从而使学生在对数学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念。我在设计中力求“自主探索、合作交流”成为学生学习的主要方式。本节课的教学设计，依据了《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础来确定适当的起点与目标。内容安排是从类比算术平方根出发，到二次根式的定义与基本性质的发现与应用，逐步展示知识的过程，使学生的思维层层展开、逐步深入。在教学中利用多媒体辅助教学，使学生体会到数学无处不在，运用数学无时不有，并能从数学的角度发现和提出问题。通过精心设计的问题与活动，不断创造思维兴奋点，让学生在学习过程中亲自动手操作，探索结论。教给学生多观察、勤动手、大胆猜、肯钻研的研讨式学习方法，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验与发展，从而调动起学生的学习主动性与积极性，体现了新课标的教学理念。
