2024-2025 学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．2023 年参加“两会”的代表
B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目
C．π的近似值
D．我校跑步速度快的学生
【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于 A：2023 年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故 A 正确；
对于 B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故 B
错误；
对于 C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故 C 错误；
对于 D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故 D 错误；
故选：A.
2．（5 分）（23-24 高一上·北京·期中）命题 : > 2， 2 1 > 0，则 是（ ）
A． > 2， 2 1 ≤ 0 B． ≤ 2， 2 1 > 0
C． > 2， 2 1 ≤ 0 D． ≤ 2， 2 1 ≤ 0
【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.
【解答过程】因为命题 : > 2， 2 1 > 0，所以 ： > 2， 2 1 ≤ 0.
故选：C.
3．（5 分）（23-24 高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为 < 2的一个必要不充分条件的是
（ ）
A．1 < < 3 B． < 3 C． < 1 D．0 < < 1
【解题思路】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.
【解答过程】对于 A，1 < < 3是 < 2的不充分不必要条件，A 不是；
对于 B， < 3是 < 2的一个必要不充分条件，B 是；
对于 C， < 1是 < 2的一个充分不必要条件，C 不是；
对于 D，0 < < 1是 < 2的一个充分不必要条件，D 不是.
故选：B.
4．（5 分）（24-25 高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0 ∈ {0}，② {0}，③{0,1} {(0,1)}，④{( , )} =
{( , )}正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.
【解答过程】对于①：因为 0 是{0}的元素，所以0 ∈ {0}，故①正确；
对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}，故②正确；
对于③：因为集合{0,1}的元素为 0，1，集合{(0,1)}的元素为(0,1)，
两个集合的元素全不相同，所以{0,1}, {(0,1)}之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合{( , )}的元素为( , )，集合{( , )}的元素为( , )，
两个集合的元素不一定相同，所以{( , )}, {( , )}不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为 2.
故选：B.
5．（5 分）（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）若变量 x，y 满足约束条件3 ≤ 2 + ≤ 9，6 ≤ ≤ 9，则
= + 2 的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．-5 D．-4
【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.
【解答过程】设 = + 2 = (2 + ) + ( )，故2 + = 1且 = 2，
所以 = 1, = 1，故 = + 2 = (2 + ) ( )，
由于3 ≤ 2 + ≤ 9，6 ≤ ≤ 9，所以3 + ( 9) ≤ 2 + ( ) ≤ 9 + ( 6)， 6 ≤ + 2 ≤ 3，
故最小值为 6，此时 = 4, = 5，
故选：B.
6．（5 分）（23-24 高二下·云南曲靖·期末）已知全集 = {1,3,5,7,9}， = | > 4 且 ∈ }, = {3,7,9}，
则 ∩ ( ) =（ ）
A．{1,5} B．{5} C．{1,3,5} D．{3,5}
【解题思路】先求出 ， ，再求 ∩ ( )，
【解答过程】因为 = {1,3,5,7,9}， = | > 4 且 ∈ }，
所以 = {5,7,9}，
因为 = {1,3,5,7,9}， = {3,7,9}，所以 = {1,5}，
所以 ∩ ( ) = {5}．
故选：B．
7．（5 分）（23-24 高一上·陕西渭南·期末）已知不等式 2 + + 2 > 0的解集为{ ∣ < 2或 > 1}，
则不等式2 2 + + < 0的解集为（ ）
A． 1 < < 1 B { ∣ < 1 > 1． 或 }
2 2
C． 1 < < 1 D．{ ∣ < 2或 > 1}
2
【解题思路】
根据给定的解集求出 , ，再解一元二次不等式即得.
【解答过程】由不等式 2 + + 2 > 0的解集为{ ∣ < 2或 > 1}，
得 2, 1是方程 2 + + 2 = 0的两个根，且 > 0，
2
因此 2 + ( 1) = ，且 2 × ( 1) = ，解得 = 1, = 3，
不等式2 2 + + < 0 1化为：2 2 + 3 + 1 < 0，解得 1 < < ，
2
所以不等式2 2 + + < 0为{ | 1 < < 1}.
2
故选：C.
8 6 2．（5 分）（24-25 高三上·江苏徐州·开学考试）已知 > ≥ 0且 + = 1，则2 + 的最小值为（ ）
+
A．12 B．8√3 C．16 D．8√6
【解题思路】根据题意可知2 + = 3 ( + ) + 1 ( )，根据乘 1 法结合基本不等式运算求解.
2 2
【解答过程】因为 > ≥ 0，则 + > 0, > 0 3，且2 + = ( + ) + 1 ( )，
2 2
2 + = 3 ( + ) + 1 ( ) 6 + 2 = 10 + 3( ) + 3( + )则
2 2 + +
≥ 10 + 2 3( ) 3( + ) = 16，
+
3( ) = 3( + )当且仅当 ，即 = 8, = 0时，等号成立，
+
所以2 + 的最小值为16.
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·江西宜春·阶段练习）设 = { | 2 5 + 4 = 0 }， = { | 1 = 0 }，若 ∪ = ，
则实数 的值可以是（ ）
A 1．0 B． C．4 D．1
4
【解题思路】解方程，写出集合 A 的所有元素，根据集合 A 和集合 B 的关系，分析集合 B 中的元素的可能
情况，解出相应的 a.
【解答过程】 = {1,4}，因为 ∪ = ，所以 ，所以 = 或{1}或{4}或{1,4}，
若 = ，则 = 0；
若 = {1}，则 = 1；
若 = {4} 1，则 = ；
4
若 = {1,4}，无解．
故选：ABD.
10．（6 分）（23-24 高二下·山东泰安·期末）下列叙述中不正确的是（ ）
A．若 , , ∈ R，则“不等式 2 + + ≥ 0恒成立”的充要条件是“ 2 4 ≤ 0”；
B．若 , , ∈ R，则“ 2 > 2”的充要条件是“ > ”；
C．“ < 1”是“方程 2 + + = 0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“ > 1”是“1 < 1”的充分不必要条件.
【解题思路】对于 AB，举例判断即可，对于 C，当方程有一正根和一负根时，求出 的范围，然后根据充
1
分条件和必要条件的定义分析判断，对于 D，由 < 1求出 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分
析判断.
【解答过程】对于 A，当 < 0时，若 2 4 ≤ 0，则 2 + + ≤ 0恒成立，所以 A 错误，
对于 B，当 = 0时，由 > 推不出 2 > 2，所以 B 错误，
对于 C，当方程 2 + + = 0 = < 0有一个正根和一个负根时，有 1 2 Δ = 1 4 > 0 ，解得 < 0，
因为 < 0能推出 < 1，而 < 1不一定有 < 0，
所以“ < 1”是“方程 2 + + = 0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以 C 正确，
D 1 < 1 1 对于 ，由 ，得 < 0，得 < 0或 > 1，
所以“ > 1” 1是“ < 1”的充分不必要条件，所以 D 正确，
故选：AB.
11．（6 分）（23-24 高一下·云南·阶段练习）若关于 的不等式 2 + + 1 > 0 1的解集为 1, ，则下列
2 2
说法正确的是（ ）
A． > 0
B． = 2
C． 2 + 1 + ≥ 0 1的解集为( ∞, 1] ∪ , +∞
2 2
D． ( ) = 2 + + 1 7的最小值为
2 16
2 + + 1 1【解题思路】题意说明 = 0的两根为 1 = 1, 2 = ,代入法 1 得 , 的值，从而可逐项判断. 2 2
2 + + 1 1【解答过程】根据题意，关于 的不等式 > 0的解集为 1, ，
2 2
所以 2 + + 1 = 0 1的两根为 1 = 1, 2 = ， 2 2
+ 1 = 0
则 2
= 1
，解得 + + 1 = 0 =
1，
4 2 2 2
所以 < 0, = 2 ，即 A 错误，B 正确；
且 2 + 1 + ≥ 0为 2 + 1 1 ≥ 0，解得 ≤ 1 1或 ≥ ，
2 2 2 2
所以 2 + 1 + ≥ 0的解集为( ∞, 1] ∪ 1 , +∞ ，C 正确；
2 2
2
( ) = 2 + + 1 = 2 1 + 1 = + 1 + 9，
2 2 2 4 16
所以 ( ) = 2 + + 1 9的最大值为 ，D 错误.
2 16
故选：BC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 12．（5 分）（23-24 高二下·安徽·阶段练习）设集合 = ∈ N| ∈ Z ，则集合 的真子集个数为 63 ．
+3
【解题思路】依题意求出集合 ，即可求得其真子集个数．
【解答过程】由 = 12 ∈ N| ∈ Z 可知 + 3是12的正因数，
+3
即 + 3可取1,2,3,4,6,12 12，故可得 的值依次取12,6,4,3,2,1，
+3
即 = {1,2,3,4,6,12}，
故集合 的真子集有26 1 = 63个．
故答案为：63.
13．（5 分）（23-24 高二下·天津北辰·阶段练习）命题“ ∈ R，( 2) 2 + 2( 2) 4 ≥ 0”为假命题，
则实数 的取值范围是 ( 2,2] ．
【解题思路】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解.
【解答过程】依题意，“ ∈ R，( 2) 2 + 2( 2) 4 < 0”为真命题，
即不等式( 2) 2 + 2( 2) 4 < 0在R上恒成立，
当 = 2时， 4 < 0，显然成立，
≠ 2 2 < 0当 时， Δ = 4( 2)2 + 16( 2) < 0 ，解得 2 < < 2，
所以实数 的取值范围是( 2,2].
故答案为：( 2,2].
14 4．（5 分）（23-24 高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意 ∈ (1, +∞)，关于 的不等式 + > 0
1
恒成立，则实数 的取值范围是 ( ∞, 5) .
【解题思路】由题意结合基本不等式求出即可.
【解答过程】由题意可得当 ∈ (1, +∞)时，( 1) + 4 > 1恒成立，
1
因为( 1) + 4 ≥ 2 ( 1) 4 = 4，当且仅当( 1) = 4 , > 1即 = 3时取等号，
1 1 1
所以4 > 1 < 5，即实数 的取值范围是( ∞, 5)，
故答案为：( ∞, 5).
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高三上·广东·阶段练习）设集合 = { | 2 < < 3 }， = { |3 < ≤ + 1 }.
(1)若 ≠ 且 ，求 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围.
【解题思路】（1）根据 ≠ 且 ，列不等式组求 的取值范围；
（2）分 = 和 ≠ 两种情形进行讨论，根据 ∩ = ，列不等式组求 的取值范围.
3 ≥ 2
【解答过程】（1）因为 ，且 ≠ ，所以 + 1 < 3 2，解得， ≤ < 1， 3 2
3 < + 1
2 1综上所述， 的取值范围为 , .
3 2
（2）由题意，需分为 = 和 ≠ 两种情形进行讨论：
当 = 1时，3 ≥ + 1，解得， ≥ ，满足题意；
2
≠ ∩ = + 1 ≤ 2 3 ≥ 3当 时，因为 ，所以 3 < + 1 ，解得 ≤ 3，或
3 < + 1 无解；
综上所述， 的取值范围为( ∞, 3] ∪ 1 , +∞ .
2
16．（15 分）（23-24 高一下·全国·课后作业）已知命题 : ∈ R， 2 ≥ 1．
(1)写出命题 p 的否定；
(2)若命题 p 是假命题，求实数 k 的取值范围．
【解题思路】（1）利用全称量词命题的否定即可得解；
（2）由题意得 为真命题，结合能成立问题的解法即可得解.
【解答过程】（1）因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
而 : ∈ R， 2 ≥ 1，
所以 : ∈ R, 2 < 1.
（2）因为 为假命题，所以 是真命题，
所以 ∈ R, 2 < 1，即 > 2 1，故 > ( 2 1)min，
因为 2 1 ≥ 0 1 = 1，
所以 > 1.
17．（15 分）（23-24 高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合 = R, = { |0 ≤ ≤ 3}, = { | 1 ≤ ≤ 2 }．
(1) = 3，求 ∪ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 m 的取值范围．
【解题思路】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得 ，讨论集合 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【解答过程】（1）当 = 3时，可得 = { |2 ≤ ≤ 6}，
故可得 = { | < 2 或 > 6}，而 = { |0 ≤ ≤ 3}，
所以 ∪ ( ) = { | ≤ 3 或 > 6}
（2）由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件可得 ；
当 = 时， 1 > 2 ，解得 < 1，符合题意；
1 ≤ 2
当 ≠ 时，需满足 1 ≥ 0 ，且 1 ≥ 0和2 ≤ 3中的等号不能同时取得，
2 ≤ 3
解得1 ≤ ≤ 3；
2
m < 1 1 ≤ ≤ 3综上可得， 的取值范围为 或 .
2
18．（17 分）（2024·全国·二模）已知实数 > 0, > 0，满足 + = 4√3.
(1)求证： 2 + 2 ≥ 24；
( 2(2) +1)(
2+1)
求 的最小值.
【解题思路】（1）将 + = 4√3两边平方后利用基本不等式证明；
( 2+1)( 22 +1)（ ）将 变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1）由 + = 4√3得48 = ( + )2 = 2 + 2 + 2 ≤ 2 + 2 + 2 + 2 = 2( 2 + 2)，
当且仅当 = = 2√3时等号成立，
所以 2 + 2 ≥ 24；
（2）由已知 > 0, > 0，则 > 0，
( 2+1)( 2+1) =
2 2+ 2+ 2+1 2 2 2 2 2
则 = +( + ) 2 +1 = +48 2 +1
= + 49 2 ≥ 2
√49 2 = 12，
= 49
当且仅当 ，即 , 一个为2√3 + √5，一个为2√3 √5时等号成立.
+ = 4√3
( 2+1)( 2+1)
所以 的最小值12.
19．（17 分）（23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + 2( ∈ R)．
(1)若 > 0，解关于 的不等式 ( ) < 0；
(2)若不等式 ( ) ≤ 4在 ∈ (3, +∞)上有解，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可.
（2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【解答过程】（1）易得 ( ) < 0 ( 2)( 1) < 0( > 0)
当0 < < 1 1 1时，2 < < ，所以解集为 2, ；
2
1
当 = 时， ∈ ，所以解集为 ；
2
当 > 1 1 1时， < < 2，所以解集为 , 2 ．
2
（2）若 ( ) ≤ 4在 ∈ (3, +∞)上有解，
则 2 (2 + 1) + 2 + 4 ≤ 0在 ∈ (3, +∞)上有解，
故 2 (2 + 2) + 6 ≤ 0，即 (2 + 2) + 6 ≤ 0在 ∈ (3, +∞)上有解，
由 2 2 + 6 ≤ 0，得 ( 2) ≤ 2 6，
2 6
进而知 ≤ = 2( 3)( )，令 = 3 > 0，则 = + 3， 2 2
设 ( ) = 2( 3) = 2 2 2
( 2) ( +3)( )
=
+1 +3
≤ = 2 3，
+4 2√3+4
√
当且仅当 = √3时取等号，所以 ∈ ∞, 2 √3 ．2024-2025 学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．2023 年参加“两会”的代表
B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目
C．π的近似值
D．我校跑步速度快的学生
2．（5 分）（23-24 高一上·北京·期中）命题 : > 2， 2 1 > 0，则 是（ ）
A． > 2， 2 1 ≤ 0 B． ≤ 2， 2 1 > 0
C． > 2， 2 1 ≤ 0 D． ≤ 2， 2 1 ≤ 0
3．（5 分）（23-24 高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为 < 2的一个必要不充分条件的是
（ ）
A．1 < < 3 B． < 3 C． < 1 D．0 < < 1
4．（5 分）（24-25 高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0 ∈ {0}，② {0}，③{0,1} {(0,1)}，④{( , )} =
{( , )}正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5 分）（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）若变量 x，y 满足约束条件3 ≤ 2 + ≤ 9，6 ≤ ≤ 9，则
= + 2 的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．-5 D．-4
6．（5 分）（23-24 高二下·云南曲靖·期末）已知全集 = {1,3,5,7,9}， = | > 4 且 ∈ }, = {3,7,9}，
则 ∩ ( ) =（ ）
A．{1,5} B．{5} C．{1,3,5} D．{3,5}
7．（5 分）（23-24 高一上·陕西渭南·期末）已知不等式 2 + + 2 > 0的解集为{ ∣ < 2或 > 1}，
则不等式2 2 + + < 0的解集为（ ）
A． 1 < < 1 B．{ ∣ < 1 或 > 1}
2 2
C． 1 < < 1 D．{ ∣ < 2或 > 1}
2
8．（5 6 2分）（24-25 高三上·江苏徐州·开学考试）已知 > ≥ 0且 + = 1，则2 + 的最小值为（ ）
+
A．12 B．8√3 C．16 D．8√6
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·江西宜春·阶段练习）设 = { | 2 5 + 4 = 0 }， = { | 1 = 0 }，若 ∪ = ，
则实数 的值可以是（ ）
A．0 B 1． C．4 D．1
4
10．（6 分）（23-24 高二下·山东泰安·期末）下列叙述中不正确的是（ ）
A．若 , , ∈ R，则“不等式 2 + + ≥ 0恒成立”的充要条件是“ 2 4 ≤ 0”；
B．若 , , ∈ R，则“ 2 > 2”的充要条件是“ > ”；
C．“ < 1”是“方程 2 + + = 0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“ > 1” 1是“ < 1”的充分不必要条件.
11 1 1．（6 分）（23-24 高一下·云南·阶段练习）若关于 的不等式 2 + + > 0的解集为 1, ，则下列
2 2
说法正确的是（ ）
A． > 0
B． = 2
C． 2 + 1 + ≥ 0的解集为( ∞, 1] ∪ 1 , +∞
2 2
D． ( ) = 2 + + 1 7的最小值为
2 16
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 5 23-24 · · = 12．（ 分）（ 高二下 安徽 阶段练习）设集合 ∈ N| ∈ Z ，则集合 的真子集个数为 ．
+3
13．（5 分）（23-24 高二下·天津北辰·阶段练习）命题“ ∈ R，( 2) 2 + 2( 2) 4 ≥ 0”为假命题，
则实数 的取值范围是 ．
14．（5 分）（23-24 高二下· 4安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意 ∈ (1, +∞)，关于 的不等式 + > 0
1
恒成立，则实数 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高三上·广东·阶段练习）设集合 = { | 2 < < 3 }， = { |3 < ≤ + 1 }.
(1)若 ≠ 且 ，求 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围.
16．（15 分）（23-24 高一下·全国·课后作业）已知命题 : ∈ R， 2 ≥ 1．
(1)写出命题 p 的否定；
(2)若命题 p 是假命题，求实数 k 的取值范围．
17．（15 分）（23-24 高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合 = R, = { |0 ≤ ≤ 3}, = { | 1 ≤ ≤ 2 }．
(1) = 3，求 ∪ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求 m 的取值范围．
18．（17 分）（2024·全国·二模）已知实数 > 0, > 0，满足 + = 4√3.
(1)求证： 2 + 2 ≥ 24；
2
(2) ( +1)(
2+1)
求 的最小值.
19．（17 分）（23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + 2( ∈ R)．
(1)若 > 0，解关于 的不等式 ( ) < 0；
(2)若不等式 ( ) ≤ 4在 ∈ (3, +∞)上有解，求实数 的取值范围．
