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2.62一元二次方程——几何图形问题
几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
1．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，可得方程 ．
2.如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 m．
3．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ．
3.（2023 青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．
4..（23-24九年级·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．
5.（2023 盐湖区校级三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．9
6.（2024春 高青县期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米，宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ）
A．（20﹣x）（20+x）＝140 B．（20﹣2x）（10﹣2x）＝140
C．（20﹣x）（10﹣2x）＝140 D．（20﹣2x）（10﹣x）＝140
7.（2023 揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（ ）
A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600
C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600
8．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计）
(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示）
(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．
7.．在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形．
(1)若所构菱形面积为，则应如何截取？
(2)所构菱形面积可以为吗？试说明理由．
8.（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
1．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（ ）
A．42 B． C． D．21
4．如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 .
5.（2024 凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长．
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
6．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
1.（2024 扬中市二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
2.（2023 玉林一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．（60﹣x）x＝864 B．
C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864
3.某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
4.（2024春 普兰店区期末）若将一根16米长的铁丝围成一个面积为15平方米的矩形，那么这个矩形较长的边长为 米．
5.由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 ．
6.（2024春 让胡路区校级期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为540m2，则道路的宽为 m．
7.我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
8.（2023 和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度．
8.学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
9．阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
10.（2024春 文登区期末）有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片．
（1）如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长；
（2）若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
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2.62一元二次方程——几何图形问题
几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
1．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，可得方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设圆的半径为，根据正方形面积是圆面积的，列出方程即可．
【详解】解：设圆的半径为，根据题意得：
，
故答案为：．
2.如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 m．
【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，根据绿化用地的面积为2204m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，
根据题意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204，
整理得：x2﹣100x+196＝0，
解得：x1＝2，x2＝98（不符合题意，舍去），
∴道路的宽为2m．
故答案为：2．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设水渠的宽度为，
空地的长为：，
根据题意得：，
整理得：，即，
解得：，（不合题意，舍去），
则水渠的宽度为，
故答案为：．
3.（2023 青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．
【分析】设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m，根据矩形菜地的面积是120m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出原菜地的长．
【解答】解：设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，
整理得：x2﹣2x﹣120＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
∴原菜地的长是12m．
故答案为：12．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4..（23-24九年级·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是．
故答案为：．
5.（2023 盐湖区校级三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．9
【分析】根据原正方形铁皮的面积为x2+24x，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用长方体的表面积计算公式，即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：（x+2×2）2＝x2+24x，
解得：x＝1，
∴x2+4×2x＝9．
故选：D．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.（2024春 高青县期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米，宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ）
A．（20﹣x）（20+x）＝140 B．（20﹣2x）（10﹣2x）＝140
C．（20﹣x）（10﹣2x）＝140 D．（20﹣2x）（10﹣x）＝140
【分析】根据长方形场地的长、宽及绿化带的宽度，可得出6块活动场所可合成长为（20﹣2x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，结合6块活动场所的总面积为140平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长方形场地的长为20米，宽为10米，且绿化带的宽度为x米，
∴6块活动场所可合成长为（20﹣2x）米，宽为（10﹣x）米的长方形．
根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝140．
故选：D．
【总结】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.（2023 揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（ ）
A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600
C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600
【分析】根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为xm，
∴鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m．
根据题意得：x（69+1﹣2x）＝600．
故选：A．
【总结】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计）
(1)装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示）
(2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．
【答案】(1)，
(2)装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为．
【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用．
（1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，正方形书法作品的边长为：，再计算其面积即可；
（2）根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积装裱后长方形书法作品的面积未装裱长方形书法作品的面积，求得，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，
正方形书法作品的边长为：，面积为：，
故答案为：，；
（2）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：，
装裱后长方形书法作品的面积为：，
装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，
即，
解得：或（不符合题意，舍去），
根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：，
装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，
即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积，
答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为．
7.．在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形．
(1)若所构菱形面积为，则应如何截取？
(2)所构菱形面积可以为吗？试说明理由．
【答案】(1)截成长度分别为和两段，所构菱形面积为；
(2)不能构成面积为的菱形，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，菱形的面积，根据等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）由（1）可得，，即，因为，方程无解，即可判断．
【详解】（1）解：将一根长为的小棒截成两段，设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意得：
，
∴，
解得：，，
当时，，当时，，
∴将一根长为的小棒截成长度分别为和两段，所构菱形面积为；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∵，
∴方程无解，
∴不能构成面积为的菱形．
8.（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
【答案】(1)花园的长或，宽为或
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
或．
答：花园的长为或，宽为或．
（2）当时，不能围成花园，题目无解；
当时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解；
当时，围成的花园有二种围法，题目有两个解；
综上所述，当时，围成的花园只有一种围法，
即的取值范围是，
故答案为：．
1．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．
【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程无解，即点不存在．
故选：D．
2.（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积．
【详解】解：根据图形和题意可得：
正方形的边长，
∴正方形面积，
矩形的长和宽分别是，，
∴矩形面积，
，其中，则方程是
解得：，（不合题意舍去），
所以正方形的面积为．
故选：A．
【总结】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得的值，从而求出边长，求面积．
3.（23-24九年级·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（ ）
A．42 B． C． D．21
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方应用，设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为，根据图1的面积列出关于、、的关系式，代入求出，即可得出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为，
由图1可得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故选：A．
4．如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 .
【答案】或
【分析】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．过点F作于H，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设，从而得出，，然后根据折叠的性质可得，再利用勾股定理求出x，即可求出结论．
【详解】解：过点F作于H，
∵四边形为矩形，平分
∴
∴为等腰直角三角形，设，
则，，
由折叠的性质可得，
在中，
即
解得：，
∴或
故答案为：或．
5.（2024 凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长．
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为80m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2．
【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，
根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去；
当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意．
答：AB的长为6m；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下：
假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，
根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80，
整理得：3y2﹣30y+80＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．
6．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
【答案】目标1：； 目标2：（1）不能，理由见解析； （2）18，；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键．
目标1：设的长为x米，根据矩形花园的面积为32平方米，则，由于篱笆全部用完，则，即，解方程即可；
目标2：（1）设的长为x米，根据矩形花园面积为平方米，，所用的篱笆为米，列方程，即，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
【详解】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）设所用的篱笆为米，
则，即，
，
，
解得，或（舍去），
故m的最小值为18米，
此时，
解得．
故米．
1.（2024 扬中市二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故选：A．
【总结】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
2.（2023 玉林一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．（60﹣x）x＝864 B．
C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864
【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长与宽和为60步，长比宽多x步，
∴长为步，宽为步．
依题意得： 864．
故选：B．
【总结】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x），根据矩形的面积公式和该矩形的面积为480平方米列出方程并解答．
【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x），
根据题意，得（60+2﹣x） x＝480．
解得x1＝30，x2＝32．
所以矩形场地的长为30或32米．
故答案是：30或32．
【总结】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的周长和面积计算公式是解决问题的前提．
4.（2024春 普兰店区期末）若将一根16米长的铁丝围成一个面积为15平方米的矩形，那么这个矩形较长的边长为 米．
【分析】设这个矩形较长的边长为x米，则较短的边长为（8﹣x）米，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设这个矩形较长的边长为x米，则较短的边长为（8﹣x）米，
由题意得：x（8﹣x）＝15，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3（不合题意，舍去），
即这个矩形较长的边长为5米，
故答案为：5．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 ．
【分析】每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，利用矩形的面积等于10块小矩形的面积列出方程求解即可．
【解答】解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，
根据题意，得4x2＝1.6，
解得x＝±0.2，
2×（4x+x+2×4x）＝26 x＝5.2（m）．
答：矩形ABCD的周长为5.2m．
故答案为：5.2m．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系并列出一元二次方程求解．
6.（2024春 让胡路区校级期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为540m2，则道路的宽为 m．
【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（32﹣x）×（20﹣x）m2，进而即可求出答案
【解答】解：设道路的宽为x m，则有（32﹣x）（20﹣x）＝540，
解得x1＝2，x2＝50（舍去），
答：道路的宽为2m．
故答案为：2．
【总结】此题主要考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
7.我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为4xm，宽为3xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
【解答】解：设扩充后广场的长为4xm，宽为3xm，
依题意得：4x 3x 100+30（4x 3x﹣30×20）＝606000．
解得x1＝20，x2＝﹣20（舍去）．
所以4x＝80，3x＝60，
答：扩充后广场的长为80m，宽为60m．
【总结】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．
8.（2023 和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度．
【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据两块长方形绿地的面积共216m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，
根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216，
整理得：x2﹣15+14＝0，
即（x﹣1）（x﹣14）＝0，
解得：x1＝1，x2＝14，
当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：人行通道的宽度是1米．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
【解答】解：（1）设AB边长为x米，则EF＝DC＝AB＝x米，
所以BC＝（21﹣3x）米；
（2）根据题意得：x（21﹣3x）＝30，
解得：x＝2或x＝5，
答：AB的长为2米或5米．
【总结】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长，难度不大．
9．阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
10.（2024春 文登区期末）有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片．
（1）如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长；
（2）若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm，根据折成的盒子的底面积为220cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设裁去的小正方形的边长为y cm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为（14﹣y）cm，宽为（16﹣2y）cm，根据折成的盒子的底面积为144cm2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再将其代入144y中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm，
根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝220，
整理得：x2﹣22x+57＝0，
解得：x1＝3，x2＝19（不符合题意，舍去）．
答：裁去的小正方形的边长为3cm；
（2）设裁去的小正方形的边长为y cm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为（14﹣y）cm，宽为（16﹣2y）cm，
根据题意得：（14﹣y）（16﹣2y）＝144，
整理得：y2﹣22y+40＝0，
解得：y1＝2，y2＝20（不符合题意，舍去），
∴144y＝144×2＝288．
答：能折出底面积为144cm2的有盖盒子，盒子的体积为288cm3．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
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