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2.6一元二次方程的运用-动点问题
动点问题经常会与三角形及四边形的面积关系有关，主要要熟悉动点与各边的关系与面积公式。
1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当 时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求t的值．
3.（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问：
(1)经过_____________________秒后，的面积等于？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
(1) ， ， ， （用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形的面积为；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为．
1.（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
5.（23-24九年级·海南海口·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为．
(1)当为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？
6.．在平面直角坐标系中，点在直线上．
(1)直线与轴的交点坐标为________；
(2)矩形的顶点分别轴，轴上．
①当，时，求矩形的面积；
②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围．
7.（23-24九年级·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒．
(1)求证：当时，四边形是平行四边形；
(2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由；
(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值．
8．如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？
(2)点移动多少秒时，的面积为？
(3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？
9．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
(2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
(3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
10．已知是等腰直角三角形，．
(1)当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
(2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．
11．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
1.（2023春 鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
2.（2023春 西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（ ）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
3.（2024春 沈阳期中）如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 秒，△POQ的面积为8平方厘米．
5.（2023秋 仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
6.（2023春 蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
7.（2023秋 澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．
（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；
（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？
8.（23-24九年级·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
9.（2023春 和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
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2.6一元二次方程的运用-动点问题
动点问题经常会与三角形及四边形的面积关系有关，主要要熟悉动点与各边的关系与面积公式。
1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
【答案】(1)经过或之后，的长为cm；
(2)秒或秒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm，
根据题意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：经过或之后，的长为cm；
（2）设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∴的面积，
整理得：，
解得，，
答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当 时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，
根据题意得：，
∴，
解得：，
∴当时，四边形为平行四边形．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
过点作于点，则，如图所示，
当运动时间为时，，，
根据题意得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：的值为或．
【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键．
3.（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问：
(1)经过_____________________秒后，的面积等于？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？
【答案】(1)2或4
(2)秒
【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果．
【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，，
由可得，
解得，；
答：经过2秒或4秒后，面积为．
（2）解：设秒后，，两点间距离是，
由勾股定理，得，即，
解得：（舍去）；
答：秒后，，两点间距离是．
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
(1) ， ， ， （用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形的面积为；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为．
【答案】(1)；；；
(2)当t为5时，四边形的面积为．
(3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，．
故答案为：；；；．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当t为5时，四边形的面积为．
（3）过点Q作于点E，则，如图所示．
依题意得：，
即，
解得，．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
1.（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)，；
(2)，，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，作于E，
∴，∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
当时，图（1）满足，
当时，图（2）满足，
综上所述：，；
（2）如图3，当时，作于E，
∴∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如图4，当时，作于E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
综上所述：，，．
5.（23-24九年级·海南海口·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为．
(1)当为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？
【答案】(1)t=20
(2)t为6或2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点；
（1）根据题意得方程即可求出答案；
（2）有3种情况①如图，过作于，得到，求出的长，根据三角形的面积公式即可求出的值；②如图，与①类似即可求出的值；③如图：，，，得到方程的解不符合在上，综合上述得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
答：当为时，两个动点第一次相遇．
（2）解：是边长为的等边三角形，
，
有种情况：①如图，过作于，
，，由勾股定理得：
由三角形面积公式得：，
解得：，舍去；
②如图2，
，，，
由三角形面积公式得：，
解得：或，
当时，在上，舍去，
；
③如图3：
，，，
，
此方程无解；
的值是，，
答：从出发到第一次相遇这一过程中，当为或时，点、、为顶点的三角形的面积为．
6.．在平面直角坐标系中，点在直线上．
(1)直线与轴的交点坐标为________；
(2)矩形的顶点分别轴，轴上．
①当，时，求矩形的面积；
②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②且
【分析】（1）在中，当时，，即可得出答案；
（2）①由题意得，，先求出，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴直线与轴的交点坐标为；
（2）解：由题意得：，，
将代入得：，
解得：，
∴，
如图所示：
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的面积为；
②当时，，此时矩形的面积为4的点只有两个；
当时，∵点在直线上，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，即或，
∵矩形的面积为4的点恰好有4个，
∴或，
解得：，
综上所述，若使矩形的面积为4的点恰好有4个，的取值范围为且．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
7.（23-24九年级·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒．
(1)求证：当时，四边形是平行四边形；
(2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由；
(3)若是以为腰的等腰三角形，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)当秒时，平分对角线
(3)若是以为腰的等腰三角形，的值为
【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形；
（2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，继而可得四边形为平行四边形，则可得，解此方程即可求得答案．
（3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可；
②当时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
【详解】（1）证明： ，
当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，
，，
当时，，，
又四边形为等腰梯形，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线．
理由如下：
连接交于点，如图1所示：
若平分对角线，则，
，
，，
在和中，
，
，
，
即四边形为平行四边形，
，
解得，符合题意，
当秒时，平分对角线．
（3）解：分两种情况：
①当时，作于，于，与，如图2所示：
则，，，
，，
，
，
，
解得：；
②当时，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，方程无解；
综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
8．如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？
(2)点移动多少秒时，的面积为？
(3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)不会达到，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由三角形的面积公式可求解；
设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解；
列出方程，由，可得的面积不会达到．
【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，，
∴，
∴的面积；
（2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶
，
∴或，
答∶点移动经过秒或秒，的面积为；
（3）解：的面积不会达到．理由如下∶
设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶
，
，
∴，
∴方程无解，
∴的面积不会达到．
9．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？
(2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由；
(3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【答案】(1)相距，它此时不受到台风影响
(2)会，见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程的应用、解题的关键是理解题意，学会于转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）直接利用勾股定理得出的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解；
（2）如图易知，，当时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：，整理得到：，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（3）利用（2）中结论即可解决问题；
（4）利用（2）中的数据即可解决问题．
【详解】（1），，
，
如图1，
设经过10小时，轮船到达点，且航行了，台风中心到达，且，
，，
，
，
轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响；
（2）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下：
如图2，
设经过小时进行台风区域，则，，
当时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：，
整理得到：，
解得，
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．
（3）由（1）可知经过就会进入台风影响区；
（4）由（1）可知受到台风影响的时间为（小时）．
10．已知是等腰直角三角形，．
(1)当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
(2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．
【答案】(1)①见解析；②2或
(2)
【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，，
由“”可证，可得，即可求解；
②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解；
（2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解．
【详解】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作于 N．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵
∴，
∴．
设， 则．
，
，
或
∴或 ，
（2）设等腰的直角顶点为 D，
若 D 在上， 如图3．
取的中点Q， 连接， 则
∵是直角边长为1的等腰直角三角形()．
∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰中， 当时，的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．
由知
设．
则
解得
当s取最大值时，
∴的最大值为 ．
综上，的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）过点作于点，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出的方程可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
Ⅱ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．当在边上时，
，
解得．
综上所述或时，平行四边形的面积为．
1.（2023春 鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间．
【解答】解：设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
依题意得：（6﹣t）×2t＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
∵当Q到达点C时两点同时停止运动，
∴2t≤8，
∴t≤4，
∴t＝1．
故选：A．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.（2023春 西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（ ）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
【分析】当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
根据题意得：PB BQ＝4，
即（5﹣t） 2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去，
∴t＝1．
∴运动时间为1秒．
故选：A．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.（2024春 沈阳期中）如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 秒，△POQ的面积为8平方厘米．
【分析】分两种情况，①当点P在AO上时，②当点P在BO上时，分别根据△POQ的面积为8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：分两种情况：
①当点P在AO上时，
由题意得：（6﹣t） 2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4；
②当点P在BO上时，
由题意得：（t﹣6） 2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t3＝3，t4＝3（不符合题意，舍去）；
综上所述，经过2秒或4秒或3秒，△POQ的面积为8平方厘米．
故答案为：2秒或4秒或3．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.（2023秋 仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4，
由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，
∵S△PCQCQ CP，
∴42t×（5﹣t），
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去），
即1秒后，△PCQ的面积等于4，
故选：A．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.（2023春 蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的长．
（2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2t cm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由题意得：2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.（2023秋 澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．
（1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；
（2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？
【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B及点Q到达点C所需时间，比较后可得出0＜t，当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据△PBQ的面积等于8cm2，可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2．
【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2（s），5，
∴0＜t．
当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根据题意得：BP BQ＝4，
即（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）．
答：t的值为1；
（2）根据题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．
答：t的值为2；
（3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由如下：
假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据题意得：BP BQ＝8，
即（5﹣t）×2t＝8，
整理得：t2﹣5t+8＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.（23-24九年级·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，；
(3)当时，四边形的面积等于．
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值；
（2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
【详解】（1）解：由题意，得，．
故答案为：，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：，；
（3）解：由题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
四边形的面积．
答：当时，四边形的面积等于．
9.（2023春 和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1，t2．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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