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2.63一元二次方程的运用-销售问题
常用公式：
（1）利润=售价-成本；
(2)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.
(3)利润率=
(3)销售额=销售价×销售量.
(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量
（5）总利润=每件利润×销售量；
（6）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
1.（2023 兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
2.（23-24九年级·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
3．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价－进货价）
(1)该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量；
(2)端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？
4．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
5.（23-24九年级·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元．
1.（23-24九年级·山东菏泽·期中）某旅游景点的门票价格是20元/人，每天接待游客500人，已知该景点每天要支出100元卫生费，每售出一张门票要上缴10元其它费用．
(1)景点每天获利润多少元？
(2)进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，每天接待游客人数就会减少50人．当门票价格为多少时，可获利润8900元？
2.（23-24九年级·浙江温州·期中）根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱．
【问题解决】
思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元．
思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？
思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？
3.社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？
4．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
(1)求豆沙粽和肉棕的单价．
(2)端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
芳芳妈妈 10 15 135
媛媛妈妈 15 10 115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
(3)端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
5．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
6．某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每天销售量为y件．
(1)y与x的函数关系式是_______．
(2)该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价．
50．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
7.（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？
8．（2024·四川南充·模拟预测）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
9．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
(1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
(2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
10.（2023春 海曙区期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
（1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
1.（2023春 花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
2.（2023 常德三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，
经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低
元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．
3.（2023秋 阳城县期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以x元卖出，则可卖（100﹣x）件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价x＝ 元．
4.（2023秋 邹平市期末）某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个．若商店进货全部售完后赚了2250元，则本次小家电的销售定价是 ．
5．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
(1)求2021年至2023年日租金的平均增长率．
(2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
6.（2024春 宁明县期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接六一儿童节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）每天可售出 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示）
（2）当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？
（3）平均每天的盈利能否达到2000元？请说明理由．
7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
8．（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元．
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2.63一元二次方程的运用-销售问题
常用公式：
（1）利润=售价-成本；
(2)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.
(3)利润率=
(3)销售额=销售价×销售量.
(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量
（5）总利润=每件利润×销售量；
（6）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
1.（2023 兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，
依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．
故选：A．
【总结】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.（23-24九年级·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】A
【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案．
【详解】设商店的获利为元，
得，
当时，，
得，
，
解方程得元或元，
当元，，
∴元舍去，
∴元，
故选：A．
【总结】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识．
3．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价－进货价）
(1)该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量；
(2)端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？
【答案】(1)礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒
(2)28元
【分析】本题考查了一元一次方程以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
（1）设礼盒购进盒，则种礼盒购进（300－）盒，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设应降价m元，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）设礼盒购进盒，则种礼盒购进盒，
依题意得：，
解得：，
．
答：礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒；
（2）设应降价m元，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
要尽快减少库存，
应取6，
．
答：B种礼盒销售价定为每盒28元时，才能使平均每天销售利润为240元．
4．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)80元
【分析】本题考查一次函数、一元二次方程的实际应用：
（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列一元二次方程可解．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
将，代入，得：，
解得，
销售单价不低于成本，销售利润率不高于，
，
，
y与x的函数关系式为；
（2）解：由题意列方程：，
整理得，
解得或，
由（1）得，
，
即销售单价应定为80元．
5.（23-24九年级·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元．
【答案】
【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
即，
解得，，，
∵每件头盔的利润不能超过进价的，
∴每件头盔的售价不能超过元，
所以舍去，
所以售价应为100元，
故答案为：．
【总结】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键．
1.（23-24九年级·山东菏泽·期中）某旅游景点的门票价格是20元/人，每天接待游客500人，已知该景点每天要支出100元卫生费，每售出一张门票要上缴10元其它费用．
(1)景点每天获利润多少元？
(2)进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，每天接待游客人数就会减少50人．当门票价格为多少时，可获利润8900元？
【答案】(1)景点每天获利润4900元
(2)门票价格为40元时，可获利润8900元
【分析】本题主要考查有理数四则运算的应用以及一元二次方程的应用：
（1）根据“总利润=总收入-总支出”列式计算即可；
（2）根据“总利润=总收入-总支出”列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：利润
（元）
答：景点每天获利润4900元
（2）解：设门票价格为元时，可获利润8900元，根据题意得，
解得，，
答：门票价格为40元时，可获利润8900元
2.（23-24九年级·浙江温州·期中）根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱．
【问题解决】
思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元．
思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？
思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？
【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用：
思考1：售价与进价之差为每箱利润，乘以销量即为总利润；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，则销量为箱，每箱利润为元，根据第二天的利润比第一天增加列一元二次方程，解方程即可；
思考3：先求出剩余牛奶的箱数，降价后的销量刚好等于该数时，可以使超市利益最大化，由此可解．
【详解】解：思考1：（元），
即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元，
故答案为：1000；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，
由题意得：，
整理得，
解得，，
要让顾客实现最优惠，
第二天A款牛奶的每箱售价为54元．
思考3：第一天销量为：50箱，第二天销量为：（箱），
第三天销量为：（箱），
设第三天A款牛奶的每箱售价为y元，
则，
解得，
第三天售出A款牛奶所获利润为：（元），
（元），
即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元．
3.社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？
【答案】(1)米
(2)50元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；
【详解】（1）解：根据道路的宽为米，
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为10000元，
根据题意得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元．
4．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
(1)求豆沙粽和肉棕的单价．
(2)端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
芳芳妈妈 10 15 135
媛媛妈妈 15 10 115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
(3)端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
【答案】(1)豆沙粽的单价是4元，则肉粽的单价是8元
(2)豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
(3)m的值为15或9
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，根据某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙粽和96元的肉粽，肉粽比豆沙粽多2个．列出分式方程，解方程即可；
（2）设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）根据A，B两种包装的销售总额为3880元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元；
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
（3）解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
答：m的值为15或9．
5．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元
(2)12
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，根据“花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒”列方程求解即可；
（2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可．
【详解】（1）解∶ 设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元；
（2）解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒盒，“事事高中”粽子礼盒元，
根据题意，得，
整理得
解得或（舍去），
∴m的值为12．
6．某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每天销售量为y件．
(1)y与x的函数关系式是_______．
(2)该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价．
【答案】(1)
(2)每件运动衫的售价为元
【分析】本题考查一元函数，一元二次方程的应用，
（1）根据“销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件”列关系式即可；
（2）根据总利润单利润销售量列方程解题即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，，
∵网店决定降价薄利多销，
∴，
这时售价为元，
答：每件运动衫的售价为元．
50．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
7.（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？
【答案】(1)年平均增长率为
(2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可；
（2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，
依题意有．
解得，（舍去）．
答：年平均增长率为；
（2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，
依题意得：，
解得，，
每碗售价不得超过15元，
当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元．
8．（2024·四川南充·模拟预测）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个；
(2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
(3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币12个，款纪念币20个；
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值（元，
此时（个．
即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【总结】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
9．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
(1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
(2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，
（1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，
∴月销售量为：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
10（2023春 海曙区期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．
（1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？
【分析】（1）利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[100﹣2×（45﹣40）]
＝15×[100﹣2×5]
＝15×[100﹣10]
＝15×90
＝1350（元）．
答：每天的销售利润为1350元；
（2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，
根据题意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
又∵要让利给顾客，
∴x＝50．
答：该纪念品的售价单价应定为每件50元．
【总结】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
1.（2023春 花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【分析】利用商店销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，即可确定每件商品的售价．
【解答】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400，
整理得：a2﹣50a+616＝0，
解得：a1＝22，a2＝28．
又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，
∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）．
∴a＝22．
故选：A．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2.（2023 常德三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，
经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低
元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．
【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润＝单件利润×销售量，列出方程求解即可．
【解答】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
由题意得，（30﹣x）（20+2x）＝800，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得x＝10，
∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，
故答案为：10．
【总结】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
3.（2023秋 阳城县期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以x元卖出，则可卖（100﹣x）件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价x＝ 元．
【分析】根据利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列一元二次方程最大值即可．
【解答】解：根据题意，得（100﹣x）（x﹣30）＝1200，
整理得x2﹣130x+4200＝0，
解方程，得x1＝60，x2＝70，
要让顾客得到实惠，
价格取较低的，
故x＝60，
故答案为：60．
【总结】本题考查了把实际问题转化为一元二次方程．此题为数学建模题解决实际问题．
4.（2023秋 邹平市期末）某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个．若商店进货全部售完后赚了2250元，则本次小家电的销售定价是 ．
【分析】设本次小家电的销售定价是x元，则每个的销售利润为（x﹣40）元，可销售[200﹣10（x﹣50）]个，根据商店进货全部售完后赚了2250元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设本次小家电的销售定价是x元，则每个的销售利润为（x﹣40）元，可销售[200﹣10（x﹣50）]个，
根据题意得：（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2250，
整理得：x2﹣110x+3025＝0，
解得：x1＝x2＝55，
即本次小家电的销售定价是55元．
故答案为：55元．
【总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
(1)求2021年至2023年日租金的平均增长率．
(2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
【答案】(1)
(2)①，；
②或元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式；
（1）设年至年日租金的平均增长率为，利用年每辆汽车的日租金年每辆汽车的日租金年至年日租金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）①利用每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含的代数式表示出每辆汽车的日租金；利用实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含的代数式表示出实际能租出的数量；
②利用日收益总租金各类费用，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
6.（2024春 宁明县期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接六一儿童节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）每天可售出 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示）
（2）当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？
（3）平均每天的盈利能否达到2000元？请说明理由．
【分析】（1）根据销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价，列式即可；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，列方程求解可得；
（3）根据每台的盈利×销售的件数＝2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．
解得：x1＝20，x2＝10，
∵扩大销售量，增加利润，
∴x＝20，
答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元；
（3）依题意，可列方程：
（40﹣x）（20+2x）＝2000，
化简，得x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．
故方程无实数根．
故平均每天销售利润不能达到2000元．
【总结】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关
7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
【答案】(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元
(2)每件恤衫的销售价应该定为元
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键．
（1）根据题意列出式子计算即可得出答案；
（2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：（元），
∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元；
（2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得：或，
当时，售价为（元），
当时，售价为（元），
∵优惠最大，
∴，
∴每件恤衫的销售价应该定为元；
（3）解：不能，理由如下：
设每件恤衫降价元，
∵为了保证每件恤衫的利润率不低于，
∴，
解得：，
由题意得：，
解得：或，
∵，
∴或都不符合题意，舍去，
∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
8．（2024·广西·模拟预测）某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，每件成本20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
(1)求出销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数解析式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的获利可以达到1600元．
【答案】(1)
(2)40元或者60元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数表达式，解题的关键是理解题意，能正确列出一元二次方程．
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）由题意可得，， 再求解即可．
【详解】（1）解：设解析式为，
根据图象可知，点在上，代入可得，
∴ ，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，，
解得，，
答：当销售价为40元或者60元时，每天的利润可以达到1600元．
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