2024-2025学年北京交通大学附属中学八年级（上）开学考数学（pdf版，含答案）

2024北京交大附中初二（上）开学考
数 学
一、选择题
1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A. 2cm ，3cm，1cm B. 2cm ， 2cm ， 6cm
C. 5cm ，10cm ， 4cm D. 7cm ，5cm ，10cm
2. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )
A. 35° B. 95° C. 85° D. 75°
3. 如图， ABC 中， AE 是中线， AD 是角平分线， AF 是高， BAD = 50 ，则下列说法错误的是
（ ）
A. BE = CE B. C + CAF = 90
C. S AEC = S ABE D. 当 C = BAD时， ADF = 70
4. 下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A. 周长相等的两个等边三角形
B. 三个内角分别相等的两个三角形
C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形
D. 面积相等的两个等腰三角形
5. 如图，在△ABC和△DCE中，点 B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件
后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（ ）
A. AB＝CD B. AB∥DE C. AC＝DE D. ∠B＝∠DCE
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6. 如图，在 ABC 中， B = C，BF = CD，BD =CE， FDE = 64 ，则 A的度数是（ ）
A. 42 B. 52 C. 62 D. 51
二、填空题
7. 若一个多边形的内角和为540 ，则该多边形为__________边形．若一个多边形的每一个角都等于
120 ，则这个多边形的边数是__________．
8. 已知 a，b是一个等腰三角形的两边长，且 a，b满足 2a 6 + (8 4b)2 = 0，则此等腰三角形周长为
__________．
9. 如图， AB = AC ，点 D，E分别在 AB 与 AC 上，CD与 BE 相交于点 F．只填一个条件使得
ABE≌ ACD ，添加的条件是：____________________．
10. 如图， AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE ， BAD = 25 ， ACE = 30 ，则 ADE =
__________ ．
11. 如图所示， ABC 和 ACD 的角平分线相交于点 P， A = 64 ，则 BPC 的度数为__________．
12. 如图，BC、AE 是锐角△ABF 的高，相交于点 D ，若 AD = BF ， AF = 7 ，CF = 2 ，则BD的长为
__________．
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三、解答题
13. 如图，已知点 A、D、C、F在同一条直线上， AB = DE ， AD = CF ， BC = EF ，求证：
（1）△ABC≌△DEF ；
（2） BC∥EF ．
14. 两块大小不同的 45 三角板 ABC 和 DEC 如图摆放，其中 ACB = DCE = 90 ，CA = CB ，
CD = CE ，连接 BD、AE ．请写出 与 AE 的关系，并说明理由．
15. 在平面直角坐标系中， ABC 是等腰直角三角形，且 ACB = 90 ， AC = BC ，顶点 A、C分别在 y
轴、x轴上．
（1）如图，已知点 A(0, 2)，C (1,0)，点 B在第四象限时，则点 B的坐标为_________________；
（2）如图，点 C、A分别在 x轴、y轴负半轴上， BC 边交 y轴于点 D， AB 边交 x轴于点 E，若 AD 平分
BAC ，点 B坐标为 (m,n)．探究线段 AD 、OC 、OD 之间的数量关系．请回答下列问题：
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①写出点 C的坐标为_____________，点 A的坐标为_____________，点 D的坐标为_____________；
②直接写出线段 AD 、OC 、OD 之间的数量关系：_______________．
16. 如图，点 A，E，F，C在一条直线上， AF = m， AE = CF = n ．过点 E，F分别作DE ⊥ AC ，
BF ⊥ AC ，点 B，D分别在直线 AC 两侧， AB = CD．连接 BD， BD与直线 AC 交于点 G．
（1）求证：EG = FG ，DG = BG ．
（2）若m =10， n = 6 ，直接写出 EG 的长度__________．
（3）若△ABF 保持不动，将 DEC 的边 EC 沿直线 AC 方向移动，其余条件不变，请你画出图形，并直
接写出 EG 的长度（用 m、n表示）
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参考答案
一、选择题
1. 【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边”求解即可．
【详解】解：A、1cm+ 2cm = 3cm ，不能摆成三角形，不符合题意；
B、 2cm+ 2cm 6cm ，不能摆成三角形，不符合题意；
C、 4cm+ 5cm 10cm ，不能摆成三角形，不符合题意；
D、5cm+ 7 cm 10cm，能摆成三角形，符合题意；
故选：D．
2. 【答案】C
【分析】根据 CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的
外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.
【详解】解：∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
故选:C.
【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和.
3. 【答案】D
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，
由中线的性质可得 BE = CE ， S AEC = S ABE ，由 AF 是 ABC 的高，可得 C + CAF = 90 ，由角平
分线的定义可得 BAD = CAD ，当 C = BAD 时，根据 BAD = 50 可计算出 DAF 的度数，再计
算出 ADF 的度数即可．
【详解】∵ AE 是中线，
∴ BE = CE ， S AEC = S ABE ，故 A、C 说法正确；
∵ AF 是 ABC 的高，
∴ AFC = 90 ，
∴ C + CAF = 90 ，故 B 说法正确；
∵ AD 是角平分线，
∴ BAD = CAD ，
∴当 C = BAD = 50°时， CAF = 40 ，
∴ FAD = DAC FAC = 50 40 =10 ，
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∴ ADF = 90 DAF = 90 10 = 80 ，
故 D 说法错误；
故选：D．
4. 【答案】A
【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择.
【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故 A 正确；
B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故 B错误；
C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故 C 错误；
D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故 D 错误；
答案为：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.
5. 【答案】A
【分析】根据全等三角的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．∠ACB＝∠E，BC＝CE，AB＝CD，不能判断三角形全等，选项符合题意；
B．∵ AB∥DE ，
∴∠A=∠EDC，再结合已知条件，符合全等三角形判定定理 AAS，故选项不符合题意；
C．∠ACB＝∠E，BC＝CE，AC＝DE，符合全等三角形判定定理 SAS，故选项不符合题意；
D．∠ACB＝∠E，BC＝CE，∠B＝∠DCE，符合全等三角形判定定理 ASA，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握几种判定定理是解题的关键．
6. 【答案】B
【分析】利用 SAS 证明 △BDF≌△CED ，得 BFD = CDE ，再由三角形的外角性质可得
FDE + CDE = B + BFD ，从而得出 B = FDE = 64 ，然后由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：在 BDF 和△CED 中，
BF =CD

B = C ，

BD =CE
BDF ≌ CED(SAS) ，
BFD CDE ，
FDC = FDE + CDE = B + BFD，
B = FDE = 64 ，
A =180 B C =180 64 64 = 52
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质和内角和定理等，解题的关键是证明三
角形全等．
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二、填空题
7. 【答案】 ①. 五 ②. 六
【分析】本题考查的是多边形的内角和定理，多边形的外角和，掌握多边形的内角和与外角和是解题的关
键．
设这个多边形的边数为 n ，则 (n 2) 180 = 540 再解方程即可；先求解多边形的每一个外角，再利用多边
形的外角和为360 ，从而可得答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 n，
∴ (n 2) 180 = 540 ，
解得： n = 5，
∴若一个多边形的内角和为540 ，则该多边形为五边形，
∵一个多边形的每一个内角都等于120 ，
∴这个多边形的每一个外角为：180 120 = 60 ，
360
∴这个多边形的边数为： = 6，
60
∴若一个多边形的每一个角都等于120 ，则这个多边形的边数是六，
故答案为：五，六．
8. 【答案】7 或 8
【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求出 a 和 b 的值，再根据三角形三边之间的关系以及等腰三角
形的定义，即可解答，
本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是
掌握几个非负数相加和为 0，则这几个非负数分别为 0；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边．
【详解】解：∵ 2a 6 + (8 4b)2 = 0，
∴ 2a 6 = 0，8 4b 0 ，
解得： a = 3，b = 2 ，
当 a为腰长时，该等腰三角形三边为 3、3、2，
∵3 3 2 3+ 3，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长= 3+ 3+ 2 = 8；
当 b为腰长时，该等腰三角形三边为 3、2、2，
∵3 2 2 3+ 2，
∴该等腰三角形存在，
∴此等腰三角形的周长 3 2 2 7 ；
综上：此等腰三角形的周长为 7 或 8．
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故答案为：7 或 8．
9. 【答案】 B = C （答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】添加的条件是： B = C
∵ B = C ， AB = AC ， A = A
∴△ABE≌△ACD (SAS)
故答案为： B = C （答案不唯一）．
10. 【答案】55
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明 BAD≌ CAE (SAS)，得
到 ABD = ACE = 30 ，则∠ADE =∠ABD +∠BAD = 55 ．
【详解】解：∵ BAC = DAE ，
∴ BAC ∠DAC = DAE ∠DA，
∴ BAD = CAE ，
又∵ AB = AC ， AD = AE ，
∴ BAD≌ CAE (SAS)，
∴ ABD = ACE = 30 ，
∴∠ADE =∠ABD +∠BAD = 55 ，
故答案为：55．
11. 【答案】32
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到
∠ACD = 2∠PCD，∠ABC = 2∠PBC ，再由三角形外角的性质得到∠A+ 2∠PBC = 2∠P + 2∠PBC ，
1
则∠P = ∠A = 32 ．
2
【详解】解：∵ ABC 和 ACD 的角平分线相交于点 P，
∴∠ACD = 2∠PCD，∠ABC = 2∠PBC ，
∵∠ACD =∠A+∠ABC，∠PCD =∠P +∠PBC ，
∴∠A+ 2∠PBC = 2∠P + 2∠PBC ，
1
∴∠P = ∠A = 32 ，
2
故答案为：32 ．
12. 【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据题意得出 DCA = BCF = AEF = 90 ，再根据同角的余角相等得出 ADC = F ，根据AAS证
明 ADC≌ BFC (AAS)，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．
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【详解】解：∵ BC、AE 是锐角△ABF 的高，
∴ DCA = BCF = AEF = 90 ，
∵ DAC + ADC = 90°， EAF + F = 90
∴ ADC = F ，
∵ AD = BF ，
∴ ADC≌ BFC (AAS)，
∴CD = CF = 2 ， BC = AC = AF CF = 7 2 = 5
∴ BD = BC CD = 5 2 = 3，
故答案为3．
三、解答题
13. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
（1）求出 AC = DF ，根据SSS推出△ABC≌△DEF ；
（2）由（1）全等三角形的性质可得 ACB = F ，即可证明 BC∥EF ．
【小问 1 详解】
∵ AD = CF
∴ AC = DF ，
∵ AB = DE ， BC = EF ，
∴ ABC≌ DEF (SSS)；
【小问 2 详解】
由（1）△ABC≌△DEF
∴ ACB = F
∴ BC∥EF ．
14. 【答案】 AE = BD ， AE ⊥ BD ，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，设 BD 延长线交 AC 于点 O，交 AE 于点 H，根据条件证
△CBD≌△CAE 即可求解．
【详解】解： AE = BD ， AE ⊥ BD ，理由如下：
如图，设 BD延长线交 AC 于点 O，交 AE 于点 H，
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∵ ACB = DCE = 90
BCD + ACD = ACE + ACD = 90
BCD = ACE
在△CBD与 CAE 中，
BC = AC

BCD = ACE

DC = EC
CBD≌ CAE (SAS)．
CBD = CAE, BD = AE ，
AOH = COB
AHO = ACB = 90
AE ⊥ BD ．
15. 【答案】（1） (3, 1)；
（2）① ( n，0)， (0, m n)， (0,m n)；② AD = 2OC + 2OD
【分析】（1）过 B点作 x轴垂线，垂足为 D，由题意可证得 OCA≌ DBC (AAS)，故CD = OA = 2 ，
BD =OC =1，OD = OC +CD = 3，即可知 B点坐标为 (3, 1)；
（2）过 B点作 x轴垂线，垂足为 F，连接 DE ，①由题意可证得 OCA≌ FBC (AAS)，故可求
△ACE 为等腰三角形，则可证得 ODE≌ FEB (AAS)，便可知OC = n ，OA =OF +OC = m + n，
DO =OF OE = m n ，即点 C的坐标为 ( n，0)，点 A的坐标为 (0, m n)，点 D的坐标为
(0,m n)；②由①问知 AD =OD + AO = m n +m + n = 2m ，OC = n ，OD = m n，故有
AD = 2OC + 2OD．
【小问 1 详解】
解：过 B点作 x轴垂线，垂足为 D，
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由题意知 AO = 2，OC =1， AC = BC ， COA = BDC = 90
∵ OCA+ OAC = 90 ， OCA + DCB = 90 ，
∴ OAC = BCD ，
在 OCA和△DBC 中有
OAC = BCD

COA = BDC = 90

AC = BC
∴ OCA≌ DBC (AAS)
∴CD = OA = 2 ， BD =OC =1，OD = OC +CD = 3，
故 B点坐标为 (3, 1)；
故答案为： (3, 1)；
【小问 2 详解】
过 B点作 x轴垂线，垂足为 F，连接 DE ，
∵点 B坐标为 (m,n)，且点 B在第一象限
∴m 0， n 0 ，
BF = n，OF = m，
①由题意知 BC = AC ， COA = BFC = 90 ，
∵ BCF + OAC = 90 ， OCA+ OAC = 90 ，
∴ OAC = BCF
在 OCA和 FBC 中有
OAC = BCF

COA = BFC = 90

AC = BC
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∴ OCA≌ FBC (AAS)
∴ BF = CO ，OA =CF
∵ BF = n，OF = m，
故OC = n，OA =OF +OC = m + n，
∵ AD 平分 BAC
∴ OAC = OAE
∴ OCA+ OAC = OEA+ OAE
∴ AC = AE
∴△ACE 为等腰三角形， AD 为角平分线，中线，高线三线合一，故△DCE 也为等腰三角形．
∴CO = OE = BF ， DCO + OCA = DEO + OEA = 90
∵ ODE + OED = 90 ， OED + BEF = 90
∴ ODE = BEF ，
在 ODE 和 FEB 中有
ODE = BEF

DOE = BFE = 90

OE = BF
∴ ODE≌ FEB (AAS)
∴ EF = DO
∴ DO =OF OE = m n
则点 C的坐标为 ( n，0)，点 A的坐标为 (0, m n)，点 D的坐标为 (0,m n)，
故答案为： ( n，0)， (0, m n)， (0,m n)；
②由①可知 AD =OD + AO = m n +m + n = 2m ，OC = n ，OD = m n，故有 AD = 2OC + 2OD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点 P的坐标为
(x, y)，那么点 P到 x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即 y ．点 P到 y轴的距离为这点横坐标的绝对
值，即 x ．
16. 【答案】（1）见解析 （2）2
m n n m
（3）画图见解析，当点E在点F左边时， 的长度为 ；当点E在点F左边时， 的长度为 ．
2 2
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）首先证明出 Rt ABF≌Rt CDE (HL)，得到 BF = DE ，然后证明出 BFG≌ DEG (AAS)，得
到 EG = FG， DG = BG ；
（2）根据题意得到 AF = m =10， AE = CF = 6，然后求出 EF = AF AE =10 6 = 4 ，然后根据
EG + FG = EF ， EG = FG求解即可；
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（3）首先根据题意画图，然后同（1）可证明出 BFG≌ DEG (AAS)，得到 FG = EG ，进而求解即
可．
【小问 1 详解】
∵ AE = CF = n
∴ AE + EF = CF + EF ，即 AF = EC
∵DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC
∴ AFB = CED = 90
又∵ AB = CD
∴ Rt ABF≌Rtt CDE (HL)
∴ BF = DE
∵ AFB = CED = 90 ， EGD = FGB
∴ BFG≌ DEG (AAS)
∴ EG = FG， DG = BG ；
【小问 2 详解】
∵m =10， n = 6 ，
∴ AF = m =10， AE = CF = 6
∴ EF = AF AE =10 6 = 4
∵ EG + FG = EF ， EG = FG
1
∴ EG = EF = 2；
2
【小问 3 详解】
如图所示，当点 E在点 F左边时，
由（1）得， BFG≌ DEG (AAS)
∴ FG = EG
∵ FG + EG = EF = AF AE = m n
1 m n
∴EG = EF = ；
2 2
当点 E在点 F右边时，
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∵ AF = m， AE = CF = n ．
∴ EF = AE AF = n m
同（1）可证明出 BFG≌ DEG (AAS)
∴ FG = EG
∵ FG + EG = EF = n m
1 n m
∴EG = EF = ，
2 2
m n n m
综上所述，当点 E在点 F左边时， EG 的长度为 ；当点 E在点 F右边时， 的长度为 ．
2 2
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