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分课时教学设计
第8课时《12.3.1两数和乘以这两数的差》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过合作学习探索得到两数和的平方公式，理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题．
学习者分析 理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来．
教学目标 1、通过合作学习探索得到两数和的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力. 2、通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义. 3、初步学会运用两数和的平方公式进行计算．
教学重点 理解两数和的平方公式，运用公式进行计算．
教学难点 从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的和的平方．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长为x米的正方形的土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 聪明的同学们，你觉得这个买卖公平吗？ 思考：两项乘两项的结果 一定是四项吗？ 算一算：计算下列各题: (a+2)(a-2)=_____________ (3-x)(3+x)=_____________ (a+b)(a-b )=_____________ (4) (2m+n)(2m-n)=__________ 议一议：比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点 你发现了什么规律？ 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题．认识平方差公式，并了解公式的意义，通过合作学习探索得到两数和的平方公式. 环节二：教师活动2： 用多项式乘法法则计算: (a+b)(a-b). 这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁： 两数和与这两数差的乘法公式 （平方差公式） （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差． 观察图12. 3.1，用等式表示下图中图形面积的运算: 思考：下列各式都能用平方差公式吗？ ①(a－3)(a＋3)；(能) ②(a＋3)(a－2)；(否) ③(－a＋3)(－a－3)；(能) ④(a＋3)(－a－3)；(否) ⑤(－a－3)(a－3)．(能) 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义. 环节三：教师活动3： 例1 计算: (1) (a+3)(a-3) ; (2)(2a+3b)(2a-3b) ; (3) (1+2c)(1-2c); (4) (-2x-y)(2x-y). 解: (1)(a +3)(a -3) =a2-32 = a2 -9. (2) (2a + 3b)(2a-3b) =(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2 (3) (1+2c)(1-2c) = 12-(2c)2 =1-4c2. (4) (-2x -y)(2x -y) =(-y-2x)( -y +2x) =(-y)2- (2x) 2 = y 2 -4x 2 你还有其他解法吗 (4) (-2x -y)(2x -y) =-(2x+y)(2x-y ) =- [(2x) 2- y2] = -(4x 2-y 2 ) = y 2 -4x 2 变式 计算： (1)(3x+2y)(2y-3x)； (2)(-2m-3n)(2m-3n)； (3)(a2+b2)(a2-b2)； 解：(1)(3x+2y)(2y-3x) =(2y+3x)(2y-3x)， =4y2-9x2； (2)(-2m-3n)(2m-3n) =(-3n-2m)(-3n+2m)， =9n2-4m2； (3)(a2+b2)(a2-b2) =a4-b4 例2 计算 : 1998×2002. 解 1998x2002 =(2000-2)×(2000+2) = 20002-22 = 4000000-4 =3999996. 写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便! 例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2 米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积. 解 (a+2)(a-2)=a2-4. 答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米. 变式 如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长。 解：设原正方形的边长为a， 根据题意得：a2-(a-6)2=84， 即6(2a-6)=84， 解得：a=10， 则原正方形的边长为10． 平方差公式 （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2 条件：(1)二项式×二项式 (2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。 结论: (1) 两项的平方差; (完全相同项)2 -(互为相反项)2 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A．(2a + b)(–2a + b) B．(a + 2)(2 + a) C．(–a + b)(a – b) D．(a + b2)(a2 – b) 2.下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。 ( ) (y+x)(-x+y) ( ) (-y-x)(x-y) ( ) (x-y)(-x+y) ( ) (x+y)(-x-y) 3.计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)； (2)(2a－3b)·(－2a－3b)． 选做题： 4.已知x＝998，求x2＋1的值 【综合拓展类作业】 5.利用平方差公式计算： (1)5.9×6.1； (2)1005×995. （3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如下面左图)，把余下的部分拼成一个矩形(如下面右图)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( ) 选做题： 2. 下列式子能用平方差公式计算吗 如果能，请写出. （1）(–3x + 2)(3x–2)；（2）(–x + 2y)(–x–2y)； （3）(–3a + 4b)(–4b–3a)；（4）(–a +b)(a–b). 【综合拓展类作业】 3.计算:20222－2021×2023.
教学反思
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级上册第12章
课标要求 1.探索并了解正整数幂的运算法则(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法)，并会运用它们进行计算。 2.了解整数指数幂的意义和基本性质:会用科学计数法表示数(包括在计算机上表示)。 3.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的整式加法和减法运算:能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)和除法运算(仅限单项式除以单项式，多项式除以单项式且商为整式) ．4.能推导乘法公式: (a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2-a2+2ab+b2,(a-b)2 =a2+2ab+b2,了解公式的几何背景，并能利用公式进行计算和推理．5.会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解．了解因式分解的一般步骤．6.在因式分解中，经历观察、探索和作出推断的过程，提高分析能力和解决问题的能力．
内容分析 本章是在学生学习了有理数的运算、整式的加减等知识的基础上安排的．主要内容包括:幂的运算性质，整式的乘法、乘法公式、整式的除法、因式分解。幂的运算是整式乘除的基础，本部分依次研究同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法的运算法则，通过设置自主探索题目，让学生体验了从特殊到一般的过程，让学生在自己的实践中总结运算法则．整式的乘除同整式的加减法一样，是整式运算的重要内容，是继续学生分解因式、分式、根式以及一元二次方程等内容的基础。本部分教材仍注意从学生已有的知识结构出发，让学生实践探索与讨论,在对知识获得一定的感性认识基础上，逐渐将新知识纳入原有的知识体系，有利于使学生的知识体系得到很好的更新．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式．乘法公式是多项式乘多项式的直接应用，今后遇到适合乘法公式条件的乘式，可以直接用乘法公式写出乘积，不必再按多项式乘多项式的法则来做．乘法公式是本章的重点内容，教材通过让学生用式子表示图形的面积，加深了学生对公式的理解，教材突出了学生的自主探索过程，提高了学生自主探索的能力，增强了学生分析问题解决问题的能力． 因式分解是一种常用的代数式恒等变形。因式分解是多项式乘法及乘法公式的逆向变形，它是将一个多项式变形为整式的乘积。教材从提公因式法和公式两个方面进行讲解，通过设置的题目让学生进一步感受因式分解与整式乘法的关系，教材设计给学生留出了一定的独立思考与自主活动的空间;让学生通过例题自己探索因式分解的方法．
学情分析 六年级学生已经其备一定的观祭、归纳、猜想和推理能力，他们在六年级上学期已经学习过整式的有关概念，对同类项进行过简单的辨析与学习， 对合并同类项的学习以及应用具备一定的基础，只是解决问题的意识和能力还不够．因此: 知识上，《整式的乘除》是在学生学过用字母表示数和有理数以及整式的加减等知识的基础上对“数与代数”的进一步研究．能力上，六年级学生正处在“从数到式”的过渡阶段，这一阶段由具体到抽象，从特殊到一般，对学生的认知水平和思维能力是一个巨大的挑战，所以教学中要尽可能多的与前面相关内容衔接，结合实际问题展开教学，进一步发展学生的符号感．心理上，六年级学生逐步从感性认识向理性认识过渡，因此一方面通过实例吸引学生的注意力；另一方面积极创造机会加大学生探索的空间，发挥学生的主动性，增强学生的合作意识 ．
单元目标 教学目标1.理解并会进行同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂除法．2.了解并记住零指数幂、负指数幂的意义．3.理解整式乘法法则(包括乘法公式)，能熟练进行整式的乘法． 4.以整式乘法法则为基础理解整式除法法则，并会进行整式除法运算． 6、会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解．（二）教学重点、难点教学重点： (1)幂的运算法则，整式的乘法、除法法则; (2)乘法公式的意义、公式的由来和正确运用; (3)用提公园式法和公式法进行团式分解．教学难点：(1)多项式乘以多项式; (2)多项式除以单项式; (3)因式分解与整式乘法的关系．
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）教学策略建议1.根据教材内容的特点和学生年龄特征我认为再本章的教学中宜采用“师导生探，当堂训练”的教学模式。教学方法上采用以问题的形式，引导学生进行思考、探索、再通过讨论、交流、发现性质，并在教学过程中，分层次地渗透归纳、演绎、数形结合的数学思想方法，以培养学生养成良好的思维习惯，从而培养学生学会自主学习，学会思考，学会合作，学会与他人交流．六年级学生已经具备一定的数学活动能力和经验型的抽象逻辑能力，以“学生为本”的思相嗤品指导，主要采用引导探究法，让学生独立思考，再与伴交流自己的发现，然后归纳其中哦规律，获得新的认识，同时也体验规律的探索过程．从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式与因式分解的基本方法。学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成新的知识结构，提高数学思维能力。教学中切不可随意添加繁难内容，加重学生的记忆负担与训练量．2.引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习．引导学生写小论文，写复习提纲，使知识来源于学生的构造． 3.引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态． 4.运用新课程标准的理念导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果． 5.培养学生良好的学习习惯，陶行知说:教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足．
课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1.1 同底数幂的乘法112.1.2 幂的乘方112.1.3积的乘方112.1.4 同底数幂的除法112.2.1 单项式与单项式相乘112.2.3 多项式与多项式相乘112.3.1 两数和乘以这两数的差112.3.2.1 两数和（差）的平方112.3.2.2 两数和（差）的平方112.4.1单项式除以单项式112.4.2 多项式除以单项式112.5 因式分解1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1.1 同底数幂的乘法1、能说出同底数幂相乘的法则，并会用法则解决简单的实际问题.2、通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括能力.1.能说出同底数幂相乘的法则，并会用法则解决简单的实际问题．2.体会探究过程，激发学生的探索创新的精神．活动一：完成探究问题和做一做．活动二：例题和练习，培养学生观察，归纳的能力．12.1.2 幂的乘方1、了解幂的乘方的运算法则 ；2、会用法则解决简单的实际问题；1.了解幂的乘方的运算法则，会用法则解决简单的实际问题．2.通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括能力．活动一：完成探究问题．活动二：通过例题会运用相关概念解决问题．活动三：体会幂的乘方的运算法则的应用．12.1.3 积的乘方1、了解积的乘方的运算法则 ；2、会用法则解决简单的实际问题；3、通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括能力．1.了解积的乘方的运算法则，会用法则解决简单的实际问题．2.运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，能准确运算．活动一：了解积的乘方的运算法则 ．活动二：完成探究问题，合作学习．活动三：解答例题和针对练习．体会乘方的运算法则的应用. 12.1.4 同底数幂的除法1、准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．2、根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．1. 熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．2.通过法则的探究过程，培养学生的归纳概括能力活动一：完成探究问题，合作学习．活动二：解答例题和针对练习．体会同底数幂的除法的应用. 12.2.1 单项式与单项式相乘1、经历探索单项式乘以单项式法则的过程，能进行单项式乘以单项式的运算．2、计算含有“积的乘方”和“单项式乘以单项式”的混合运算．1.经历探索单项式乘以单项式法则的过程，能进行单项式乘以单项式的运算．2.会进行单项式的乘法运算．活动一：经历探索单项式乘以单项式法则的过程．活动二：进行单项式乘以单项式的运算．活动三：解答例题和针对练习. 12.2.2 单项式与多项式相乘1.经历探索乘法运算法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.2.体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考和语言表达能力. 1.单项式与多项式的乘法运算.2.推测整式乘法的运算法则.活动一：完成探究问题，合作学习．活动二：解答例题和针对练习．体会单项式与多项式的乘法运算的应用. 12.2.3 多项式与多项式相乘1、经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行简单的多项式与多项式相乘运算.2、理解多项式与多项式相乘运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想.1.理解多项式与多项式相乘运算的算理.2.体会乘法分配律的作用和转化的思想.活动一：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程．活动二：完成探究问题，合作学习．理解多项式与多项式相乘运算的算理．活动三：解答例题和针对练习. 12.3.1 两数和乘以这两数的差1、掌握两数和乘以这两数的差的结构特征; .2、正确理解两数和乘以这两数的差的公式.意义.1.掌握两数和乘以这两数的差的结构特征; .2.正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.活动一：完成探究问题，合作学习．活动二：解答例题和针对练习．正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义. 12.3.2.1 两数和（差）的平方1、通过合作学习探索得到两数和的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.2、通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.3、初步学会运用两数和的平方公式进行计算.1.理解两数和的平方公式，运用公式进行计算.2.理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的和的平方.活动一：通过合作学习探索得到两数和的平方公式．活动二：解答例题和针对练习．学会运用两数和的平方公式进行计算. 12.3.2.2 两数和（差）的平方1、通过合作学习探索得到两数差的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.2、通过观察发现两数差的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.3、初步学会运用两数差的平方公式进行计算.1.理解两数差的平方公式，运用公式进行计算.2.理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的差的平方.活动一：通过合作学习探索得到两数差的平方公式．活动二：解答例题和针对练习．学会运用两数差的平方公式进行计算. 12.4.1单项式除以单项式1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算. 2.通过总结法则，培养概括能力、训练综合解题能力和计算能力. 1.掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算.2.通过总结法则，培养概括能力.活动一：理解和掌握单项式除以单项式的运算法则．活动二：解答例题和针对练习．运用运算法则熟练、准确地进行计算.. 12.4.2 多项式除以单项式1.探索多项式除以单项式的方法，培养学生的创新精神.2.使学生掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练地进行多项式除以单项式的计算.3.通过学习将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式渗透转化思想.1.多项式除以单项式的法则.2.培养学生的抽象能力、概括能力，以及运算能力.活动一：经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程．活动二：完成探究问题，合作学习．理并能熟练地进行多项式除以单项式的计算．活动三：解答例题和针对练习. 12.5 因式分解1、了解因式分解的意义;2、理解因式分解与整式乘法的相互关系.1.运用提取公因式法和公式法分解因式.2.培养学生的抽象能力、概括能力，以及运算能力.活动一：了解因式分解的意义．活动二：完成探究问题，合作学习．理解因式分解与整式乘法的相互关系．活动三：解答例题和针对练习.
《第12章 整式的乘除》单元教学设计教学设计
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 12.3.1两数和乘以这两数的差
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1、通过合作学习探索得到两数和的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力. 2、通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义. 3、初步学会运用两数和的平方公式进行计算．
课前学习任务
复习引入 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长为x米的正方形的土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 聪明的同学们，你觉得这个买卖公平吗？
课上学习任务
【学习任务一】 回顾：多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加. 即(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。 思考：两项乘两项的结果 一定是四项吗？ 算一算：计算下列各题: (a+2)(a-2)=_____________ (3-x)(3+x)=_____________ (a+b)(a-b )=_____________ (4) (2m+n)(2m-n)=__________ 议一议：比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点 你发现了什么规律？ 【学习任务二】 探究： 用多项式乘法法则计算: (a+b)(a-b). 这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁： 两数和与这两数的差的乘法公式 （平方差公式） （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2 两数和与这两数的差的积等于这两数的平方差． 观察图12. 3.1，用等式表示下图中图形面积的运算: 【学习任务三】 例1 计算: (1) (a+3)(a-3) ; (2) (2a+3b)(2a-3b) ; (3) (1+2c)(1-2c); (4) (-2x-y)(2x-y). 例2 计算 : 1998×2002. 探究三： 例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2 米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积. 平方差公式： （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2 条件： 二项式×二项式 (2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。 结论: (1) 两项的平方差; (2) (完全相同项)2 -(互为相反项)2 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A．(2a + b)(–2a + b) B．(a + 2)(2 + a) C．(–a + b)(a – b) D．(a + b2)(a2 – b) 2.下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。 ( ) (y+x)(-x+y) ( ) (-y-x)(x-y) ( ) (x-y)(-x+y) ( ) (x+y)(-x-y) 3.计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)； (2)(2a－3b)·(－2a－3b)． 选做题： 4.已知x＝998，求x2＋1的值 【综合拓展类作业】 5.利用平方差公式计算： (1)5.9×6.1； (2)1005×995. （3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1 【知识技能类作业】 必做题： 1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如下面左图)，把余下的部分拼成一个矩形(如下面右图)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( ) 选做题： 1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如下面左图)，把余下的部分拼成一个矩形(如下面右图)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( ) 【综合拓展类作业】 3.计算:20222－2021×2023.
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（华师大版）八年级
上
12.3.1两数和乘以这两数的差
整式的乘除
第12章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1. 理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点）
2. 理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点）
新知讲解
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长为x米的正方形的土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 聪明的同学们，你觉得这个买卖公平吗？
情境导入
新知讲解
任务一
5米
5米
x 米
(X-5)米
(X+5)米
相等吗？
原来
现在
面积变了吗？
x2
(x+5)(x-5)
新知讲解
回顾：多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
=
ab
1
2
3
4
+am
+nb
+mn
1
2
3
4
(a+n)(b+m)
思考：两项乘两项的结果
一定是四项吗？
新知讲解
任务二
算一算：计算下列各题:
(a+2)(a-2)=_____________
(3-x)(3+x)=_____________
(a+b)(a-b )=_____________
(4) (2m+n)(2m-n)=__________
议一议：比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点 你发现了什么规律？
新知讲解
用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b).
( a + b ) ( a – b )
=a·a
+a·b
-a·b
-b·b
=a2-b2
做一做
新知讲解
平方差公式
概括
(a+b)(a-b)=a2-b2
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
这两个多项式相乘，得到的结果特别简洁：
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
新知讲解
提炼概念
平方差公式
（a+b）（a–b）=a2 – b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
（a+b）（a–b）=a2 – b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
相同项
符号相反项
新知讲解
试一试
观察图12.3.1，用等式表示下图中图形面积的运算:
=
_
b
a
b
a
___________ = ____ - _____
(a+b)(a-b)
a2
b2
图12.3.1
b
典例精析
例1 计算:(1) (a+3)(a-3) ;(2)(2a+3b)(2a-3b) ;
(3) (1+2c)(1-2c); (4) (-2x-y)(2x-y).
新知讲解
解:
(1)(a +3)(a -3)
=a2-32
= a2 -9.
(2) (2a + 3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
(3) (1+2c)(1-2c)
= 12-(2c)2
=1-4c2.
(4) (-2x -y)(2x -y)
=(-y-2x)( -y +2x)
=(-y)2- (2x) 2
= y 2 -4x 2
你还有其他
解法吗
新知讲解
(4) (-2x -y)(2x -y)
=-(2x+y)(2x-y )
=- [(2x) 2- y2]
= -(4x 2-y 2 )
= y 2 -4x 2
新知讲解
例2 计算 : 1998×2002.
解 1998×2002
=(2000-2)×(2000+2)
= 20002-22
= 4000000-4
=3999996.
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便!
新知讲解
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2 米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
解 (a+2)(a-2)=a2-4.
答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
新知讲解
平方差公式
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
条件：(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论: (1) 两项的平方差;
(2) (完全相同项)2 -(互为相反项)2
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A．(2a + b)(–2a + b)
B．(a + 2)(2 + a)
C．(–a + b)(a – b)
D．(a + b2)(a2 – b)
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
( ) (y+x)(-x+y)
( ) (-y-x)(x-y)
( ) (x-y)(-x+y)
( ) (x+y)(-x-y)
2.下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
=y -x
=y -x
不可以
可以
可以
不可以
=(y+x)( y-x)
=(-y-x)(-y+x)
( ) (y+x)(-x+y)
( ) (-y-x)(x-y)
( ) (x-y)(-x+y)
( ) (x+y)(-x-y)
下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)；
(2)(2a－3b)·(－2a－3b)．
解：(1)原式＝(－3a)2－(2b)2
＝9a2－4b2.
(2)原式＝(－3b＋2a)(－3b－2a)
＝(－3b)2－(2a)2
＝9b2－4a2.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.已知x＝998，求x2＋1的值.
解:x2＋1＝9982＋1＝9982－22＋22＋1＝(998＋2)(998－2)
＋5＝1000×996＋5＝996005.
【综合拓展类作业】
课堂练习
5.利用平方差公式计算：
(1)5.9×6.1；
(2)1005×995.
（3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：(1)5.9×6.1＝(6-0.1)(6＋0.1)＝62-(0.1)2＝35.99.
(2)1005×995＝(1000＋5)(1000-5)＝10002-52＝999975.
原式＝(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)（28+1）+1
＝(22-1)(22+1)(24+1)（28+1）+1
＝(24-1)(24+1)（28+1）+1＝（28+1）（28-1）+1=216-1+1=216.
课堂总结
平方差公式
内容
注意事项
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算
找出相同的项和相反的项，再应用公式相同为a，相反为b
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
a、b可以是单项式或多项式
符号表示
（a+b）（a–b）=a2 – b2
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)(如下面左图)，把余下的部分拼成一个矩形(如下面右图)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( C )
C
A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D.(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2. 下列式子能用平方差公式计算吗 如果能，请写出.
（1）(–3x + 2)(3x–2)；
（2）(–x + 2y)(–x–2y)；
（3）(–3a+4b)(–4b–3a)；
（4）(–a +b)(a–b).
不能
能，原式=（–x）2 –（2y）2=x2 –4y2
能，原式=（–3a）2 –（4b）2=9a2 –16b2
不能
作业布置
【综合拓展类作业】
3.计算:20222－2021×2023.
解:20222－2021×2023
＝20222－(2022－1)×(2022＋1)
＝20222－(20222－1)
＝20222－20222＋1
＝1.
