九年级数学上点拨与精练第22章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax^2+ bx+ c的图像和性质（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
学习目标：
1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
老师告诉你
利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像信息判断各项系数符号的方法
a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”
C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0”
a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0”
特殊值的意义，x=1时，函数值a+b+c,x=-1时，函数值a-b+c等
一、知识点拨
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
对称轴是直线
【新知导学】
例1-1．将二次函数y＝2x2+4x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2﹣1
【对应导练】
1．已知二次函数y＝x2﹣x+4回答下列问题：
（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
2．把二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
3．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）直接把y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并直接写出图象与x、y轴的交点坐标及顶点坐标；
（3）当0＜x＜4时，直接写出y的取值范围．
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时y最小值= 当时y最大值=
【新知导学】
例2-1．关于二次函数y=x2-4x+5，下列结论中正确的是（　　）
A. 图象的对称轴过点（2，0）
B. 当x＞-2时，y随x的增大而增大
C. 图象与x轴有两个公共点
D. 函数的最小值为5
【对应导练】
1．关于二次函数y=x2+2x-8，下列说法正确的是（　　）
A. 图象的对称轴在y轴的右侧
B. 图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C. 图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D. 函数的最小值为-9
2．已知抛物线y=ax2-2ax+c（a,c为常数，且a＞0），关于抛物线的下列说法中，不正确的是（　　）
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 若c＜0，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧
C. 若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2
D. 若点（m,n）在抛物线上，则n≤c-a
3．已知二次函数y=x2-bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表格所示：
x … -2 0 2 4 …
y … 17 5 1 5 …
（1）该二次函数的解析式为 _____；
（2）若A（n-1，y1），B（n,y2）两点都在该函数的图象上，当n＜2时，y1_____y2（选填“＞”“＜”或“=”）．
4．已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n-1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 _____．
知识点3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与系数a、b、c的关系
a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”
C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0”
a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0”
【新知导学】
例3-1．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【对应导练】
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、题型训练
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质在说明抛物线特征的应用
1．已知二次函数经过点（-1，0），（3，0），且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … -2 0 2 4 6 …
y=ax2+bx+c … 0 6 m n 0 …
（1）该二次函数解析式为 _____，m=_____，n=_____；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；
（3）根据图象直接写出下列问题：
①当x=_____时，y有最 _____值（填“大”或“小”）是 _____．
②若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）满足2＜x1＜x2，则y1_____y2（从符号＜，≤，≥，＞，=中选择一个填空）
③当ax2+bx+c＞n时，x的取值范围是 _____．
④当-2＜x＜4时，则y的取值范围是 _____．
3．已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质在求字母取值范围的应用
4 .在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当-2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=（2-m）x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b,且a＜3＜b,求m的取值范围．
5 .如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m,n）在该二次函数图象上．
①当m=-1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
6．已知抛物线y=ax2+2ax+3a2-4（a≠0）．
（1）若a=1，此时抛物线的对称轴为 _____；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m,y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
三、牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＞0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
2．在二次函数y=x2-2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）
A. x＜-1 B. x＞-1 C. x＜1 D. x＞1
3．函数y=ax+b与y=ax2+b（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
4．关于二次函数y=x2-4x+5，下列结论中正确的是（　　）
A. 图象的对称轴过点（2，0）
B. 当x＞-2时，y随x的增大而增大
C. 图象与x轴有两个公共点
D. 函数的最小值为5
5．已知二次函数y=-x2-2x-5，下列说法正确的是（　　）
A. 该函数图象开口向上
B. 若点（-6，y1）和（-2，y2）都在该函数图象上，则y1＞y2
C. 该函数图象与x轴一定有交点
D. x＞0时，y随x的增大而减小
6．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②；③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在和10之间；④P1（t-1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ②③
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a2-ab+ac＜0，其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．如图， 已知二 次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）与B（3，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A. 4 B.
C. D.
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是 _____．
10．请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 _____．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）
11．已知二次函数y=x2+bx+c.当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x=m,则m的取值范围是 _____．
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），对称轴为直线x=1，抛物线的顶点在直线y=1上方，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③4a+b2＜4ac；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m（m≥0）的解为整数，则m的值有3个，其中正确的是 _____．（填写序号）
13．已知二次函数y=x2-bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表格所示：
x … -2 0 2 4 …
y … 17 5 1 5 …
（1）该二次函数的解析式为 _____；
（2）若A（n-1，y1），B（n,y2）两点都在该函数的图象上，当n＜2时，y1_____y2（选填“＞”“＜”或“=”）．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点（1，-2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
15．已知二次函数经过点（-1，0），（3，0），且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
16．（8分）如图，二次函数的图象经过点（0，-1），顶点坐标为（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）y随x的增大而增大时，x的范围为 _____；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围为 _____．
17．（8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）通过计算判断点P（-2，5）是否为抛物线上一点．
18．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由．
（1）abc＞0；
（2）b＜a+c；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）a+b＞0．
19．（8分）已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质（解析版）
学习目标：
1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
老师告诉你
利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像信息判断各项系数符号的方法
a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”
C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0”
a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0”
特殊值的意义，x=1时，函数值a+b+c,x=-1时，函数值a-b+c等
一、知识点拨
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
对称轴是直线
【新知导学】
例1-1．将二次函数y＝2x2+4x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2﹣1
【分析】把含x的项提取二次项的系数2，再整理成完全平方式，进而整理成和原来的式子相等的式子即可．
【解答】解：y＝2x2+4x﹣3
＝2（x2+2x+1）﹣5
＝2（x+1）2﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查和二次函数的三种形式相关的问题．用到的知识点为：把二次函数的一般形式整理成顶点式，应先把含x的项提取二次项的系数；整理成完全平方形式的时候，常数应该是一次项系数一半的平方．要注意得到的式子应该和原来的式子相等．
【对应导练】
1．已知二次函数y＝x2﹣x+4回答下列问题：
（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
（3）结合对称轴及开口方向可确定抛物线的增减性和最值．
【解答】解：（1）y＝x2﹣x+4＝（x﹣1）2+；
（2）由（1）可得顶点为（1，）；对称轴为直线x＝1；
（3）图象开口向上，x＜1时，y随x增大而减小；
当x＞1时，y随x增大而增大；
抛物线有最小值．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，难度不大，关键掌握对称轴方程和判断函数的增减性．
2．把二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【分析】依据题意可得，进而可以判断抛物线的开口向上，顶点坐标为：，对称轴为：直线x＝3，从而得解．
【解答】解：由题意，∵，
∴．
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为：，对称轴为：直线x＝3．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）直接把y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并直接写出图象与x、y轴的交点坐标及顶点坐标；
（3）当0＜x＜4时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）直接利用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）利用（1）中所求进而画出函数图象，进而求得图象与x、y轴的交点坐标及顶点坐标；
（3）直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出y的取值范围．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6
＝2（x2﹣2x+1）﹣8
＝2（x﹣1）2﹣8；
（2）如图所示：
图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），图象与y轴的交点坐标为（0，﹣6），顶点坐标为：（1，﹣8）．
（3）当0＜x＜4时，
当x＝1，y＝﹣8，当x＝4，y＝10，
则y的取值范围为：﹣8≤y＜10．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标，正确画出函数图象是解题关键．
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时y最小值= 当时y最大值=
【新知导学】
例2-1．关于二次函数y=x2-4x+5，下列结论中正确的是（　　）
A. 图象的对称轴过点（2，0）
B. 当x＞-2时，y随x的增大而增大
C. 图象与x轴有两个公共点
D. 函数的最小值为5
【答案】A
【解析】根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
解：y=x2-4x+5=（x-2）2+1．
A、对称轴是直线x=2，则图象的对称轴过点（2，0），故本选项符合题意；
B、a=1＞0，抛物线的开口向上，对称轴是直线x=2，则当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、y=（x-2）2+1的最小值是y=1，开口向上，则抛物线与x轴没有交点，故本选项不符合题意；
D、y=（x-2）2+1的最小值是y=1，故本选项不符合题意；
故选：A．
【对应导练】
1．关于二次函数y=x2+2x-8，下列说法正确的是（　　）
A. 图象的对称轴在y轴的右侧
B. 图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C. 图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D. 函数的最小值为-9
【答案】D
【解析】将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答．
解：A、∵二次函数y=x2+2x-8=（x+1）2-9，∴图象的对称轴x=-1，故A不正确，不符合题意；
B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，-8），∴B不正确，不符合题意；
C、∵y=x2+2x-8=（x+4）（x-2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（-4，0），故C不正确，不符合题意；
D、∵二次函数y=x2+2x-8=（x+1）2-9，顶点坐标为（-1，-9），a=1＞0，∴函数值有最小值为-9，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．已知抛物线y=ax2-2ax+c（a,c为常数，且a＞0），关于抛物线的下列说法中，不正确的是（　　）
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 若c＜0，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧
C. 若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2
D. 若点（m,n）在抛物线上，则n≤c-a
【答案】D
【解析】根据函数解析式求出对称轴即可判断A；设x1，x2是方程ax2-2ax+c=0的两个根，由根与系数的关系得出x1 x2=，根据a＞0，c＜0，可以得出两根异号，从而判断B；根据x1＜x2，x1+x2＞2和函数性质可以判断C；根据抛物线对称轴和抛物线开口方向可以得出n≤a+b+c,再根据b=-2a可以判断D．
解：∵y=ax2-2ax+c,
∴对称轴为直线x=-=-=1，
故A正确，不符合题意；
令y=0，则ax2-2ax+c=0，
设x1，x2是方程ax2-2ax+c=0的两个根，
∴x1 x2=，
∵a＞0，c＜0，
∴x1 x2＜0，
∴x1与x2异号，
∴方程ax2-2ax+c=0有两个异号的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧，
故B正确，不符合题意；
∵点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，且x1＜x2，x1+x2＞2，
∴点（x1，y1）到对称轴的距离小于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，
故C正确，不符合题意；
若点（m,n）在抛物线上，则am2+bm+c=n,
∵抛物线对称轴为x=1，
∴a+b+c≤n,且b=-2a,
∴n≥c-a,
故D错误，符合题意，
故选：D．
3．已知二次函数y=x2-bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表格所示：
x … -2 0 2 4 …
y … 17 5 1 5 …
（1）该二次函数的解析式为 _____；
（2）若A（n-1，y1），B（n,y2）两点都在该函数的图象上，当n＜2时，y1_____y2（选填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】(1)y=x2-4x+5;(2)＞;
【解析】（1）从表格中取出2组解，利用待定系数法求解析式；
（2）根据（1）中解析式，求出抛物线的对称轴为x=2，根据二次函数的增减性即可判断y1与y2的大小．
解：（1）把x=0，y=5和x=2，y=1代入y=x2-bx+c得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+5，
故答案为：y=x2-4x+5；
（2）由（1）知，y=x2-4x+5=（x-2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵n-1＜n＜2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
4．已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n-1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 _____．
【答案】-1＜n＜0
【解析】由题意可知：抛物线的对称轴为x=1，开口向上，再分点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧和点B在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=1的右侧两种情况求解即可．
解：抛物线的对称轴为：x=-=1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴x=1的右侧，
由题意可得：，
解得：-1＜n＜0，
∴n的取值范围为：-1＜n＜0．
故答案为：-1＜n＜0．
知识点3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与系数a、b、c的关系
a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”
C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0”
a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0”
【新知导学】
例3-1．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x＝﹣＞0，则b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
【对应导练】
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：开口向下，a＜0；
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，
∴abc＜0，
所以①正确，符合题意；
当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，
所以②不正确，不符合题意；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，
则y＝4a+2b+c＞0，
所以③正确，符合题意；
，则，而a﹣b+c＜0，
则，2c＜3b，
所以④正确，符合题意；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；
当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
则a+b+c＞am2+bm+c，
即a+b＞m（am+b）（m≠1），
所以⑤错误，不符合题意．
故①③④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2﹣b2＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为实数）．
其中结论正确的为（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，利用（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0
∴abc＞0，故①正确．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确．
∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），
且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方程、抛物线的对称轴以及当x＝0时的y值，即可得出a、b、c的正负，进而即可得出①错误；由x＝﹣1时，y＜0，即可得出a﹣b+c＜0，进而即可得出②错误；由抛物线的对称轴为x＝1结合x＝0时y＞0，即可得出当x＝2时y＞0，进而得出4a+2b+c＝c＞0，③成立；由二次函数图象与x轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，④成立．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0．
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，②错误；
③∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2时与x＝0时，y值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴4a+2b+c＝c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．
综上可知：成立的结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据给定二次函数的图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　）
①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可．
【解答】解：①如图所示，图象开口向上，
∴a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴下方
∴c＜0，
∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；
③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③正确；
④由图可得，﹣＞﹣1，
∵a＞0，
∴2a＞b，
∴2a﹣b＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，a+b+c＝2，
∴a+c＝2﹣b，
∵a﹣b+c＜0，
∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1，
∴2﹣b＜1，
∴a+c＜1，故⑤正确；
综上所述，共有4个是正确的；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象与各系数之间的关系，解题关键：掌握二次函数的图象与基本性质．
二、题型训练
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质在说明抛物线特征的应用
1．已知二次函数经过点（-1，0），（3，0），且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【解析】（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），再由最大值为3求出a的值，即可确定出抛物线解析式．
（2）根据解析式列表，描点连线即可；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,
由最大值为4，得到-4a=4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-x2+2x+3．
（2）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线，
函数图象如图所示；
；
（3）∵x=1时，y=4，x=4时，y=-5，
∴由图象可知，当1＜x＜4时，y的取值范围是-5＜y＜4．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … -2 0 2 4 6 …
y=ax2+bx+c … 0 6 m n 0 …
（1）该二次函数解析式为 _____，m=_____，n=_____；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；
（3）根据图象直接写出下列问题：
①当x=_____时，y有最 _____值（填“大”或“小”）是 _____．
②若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）满足2＜x1＜x2，则y1_____y2（从符号＜，≤，≥，＞，=中选择一个填空）
③当ax2+bx+c＞n时，x的取值范围是 _____．
④当-2＜x＜4时，则y的取值范围是 _____．
【答案】(1)y=-x2+2x+6;(2)8;(3)6;(4)2;(5)大;(6)8;(7)＞;(8)0＜x＜4;(9)0＜y≤8;
【解析】（1）利用待定系数法即可求解函数的解析式，进而利用解析式即可求得m、n的值；
（3）利用五点画出函数的图象即可；
（3）根据图象即可得出结论．
解：（1）把点（-2，0），（0，6），（6，0）代入y=ax2+bx+c得，
解得，
∴该二次函数解析式为y=-x2+2x+6，
把（2，m）代入得，m=-×4+2×2+6=8，
把（4，n）代入得，n=-×16+2×4+6=6，
故答案为：y=-x2+2x+6，8，6；
（2）描点、连线画出函数图象如图：
（3）观察函数的图象，
①当x=2时，y有最大值是8；
②若该二次函数图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）满足2＜x1＜x2，则y1＞y2；
③当ax2+bx+c＞n时，x的取值范围是0＜x＜4．
④当-2＜x＜4时，则y的取值范围是0＜y≤8．
故答案为：①2，大，8；②＞；③0＜x＜4；④0＜y≤8．
3．已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
【解析】（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入解析式，由待定系数法即可求解；
（2）根据函数的性质即可求解；
（3）根据对称轴在0～3之间，求出对应的y的值，结合函数图象即可求解．
解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得，
解得，
所以抛物线解析式为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点的坐标为（1，-4）；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=-1时，ymin=-4，
当x=0时，y=-3；
当x=3时，y=0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围是-4≤y＜0．
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质在求字母取值范围的应用
4 .在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当-2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y=（2-m）x+2-m的图象与二次函数y=x2+px+q图象交点的横坐标分别是a和b,且a＜3＜b,求m的取值范围．
【解析】（1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（3，0）两点，利用交点式即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=6，函数有最大值21；当x=1时函数有最小值-4，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2-2x-3=（2-m）x+2-m,整理得x2+（m-4）x+m-5=0，解方程求得x1=-1，x2=5-m,根据题意得到5-m＞3，解得m＜2．
解：（1）由二次函数y=x2+px+q的图象过点（-1，0），（3，0）．
∴y=（x+1）（x-3），
∴此二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x==1，
∴在-2≤x≤6范围内，当x=6，函数有最大值为：y=36-2×6-3=21；当x=1时函数有最小值：y=1-2×1-3=-4，
∴y的最大值与最小值的差为：21-（-4）=25；
（3）y=（2-m）x+2-m与二次函数y=x2-2x-3图象交点的横坐标为a和b,
∴x2-2x-3=（2-m）x+2-m,整理得x2+（m-4）x+m-5=0，
解得：x1=-1，x2=5-m,
∵a＜3＜b,
∴a=-1，b=5-m＞3，
解得m＜2，即m的取值范围是m＜2．
5 .如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m,n）在该二次函数图象上．
①当m=-1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
【解析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①把x=-1代入（1）中求得的解析式求得函数y的值，即可求得n的值；
②把y=1代入抛物线解析式求得对应的x的值，然后根据图象即可求得m的取值范围．
解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
∴，解得，
∴该二次函数为y=-x2+2x+4，
∵y=-（x-1）2+5，
∴顶点为（1，5）；
（2）∵点C（m,n）在该二次函数图象上，
①当m=-1时，则C（-1，n），
把C（-1，n）代入y=-x2+2x+4得，n=1；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
把y=1代入y=-x2+2x+4得1=-x2+2x+4，解得x1=3，x2=-1，
∴m的取值范围是-1≤m≤1．
6．已知抛物线y=ax2+2ax+3a2-4（a≠0）．
（1）若a=1，此时抛物线的对称轴为 _____；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m,y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【答案】x=-1
【解析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（-1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x=-1的对称点为N′（-4，y2），进而可得m的取值范围．
解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+3a2-4．
∴对称轴为直线x==-1，
故答案为：直线x=-1；
（2）y=ax2+2ax+3a2-4
=a（x+1）2+3a2-a-4，
∵抛物线顶点在x轴上，
即当x=-1时，y=0，
∴3a2-a-4=0，
解得．
∴抛物线解析式为y=-x2-2x-1或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴N（2，y2）关于直线x=-1的对称点为N’（-4，y2）．
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜-4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则-4＜m＜2．
三、牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＞0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由a＞0，b＜0，c＞0，推出-＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
解：∵a＞0，b＜0，c＞0，
∴-＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于正半轴，
故选：D．
2．在二次函数y=x2-2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）
A. x＜-1 B. x＞-1 C. x＜1 D. x＞1
【答案】D
【解析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
解：∵y=x2-2x+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-=1，
∴x＞1时，y随x增大而增大．
故选：D．
3．函数y=ax+b与y=ax2+b（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，可以判断各个选项中函数y=ax+b中的a、b的正负情况和二次函数y=ax2+b中a、b的正负情况，从而可以判断哪个选项符合题意．
解：选项A中，函数y=ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y=ax2+b中a＞0，b＞0，故选项A符合题意；
选项B中，函数y=ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y=ax2+b中a＞0，b＞0，故选项B不符合题意；
选项C中，函数y=ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y=ax2+b中a＜0，b＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，函数y=ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y=ax2+b中a＜0，b＞0，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．关于二次函数y=x2-4x+5，下列结论中正确的是（　　）
A. 图象的对称轴过点（2，0）
B. 当x＞-2时，y随x的增大而增大
C. 图象与x轴有两个公共点
D. 函数的最小值为5
【答案】A
【解析】根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
解：y=x2-4x+5=（x-2）2+1．
A、对称轴是直线x=2，则图象的对称轴过点（2，0），故本选项符合题意；
B、a=1＞0，抛物线的开口向上，对称轴是直线x=2，则当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、y=（x-2）2+1的最小值是y=1，开口向上，则抛物线与x轴没有交点，故本选项不符合题意；
D、y=（x-2）2+1的最小值是y=1，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．已知二次函数y=-x2-2x-5，下列说法正确的是（　　）
A. 该函数图象开口向上
B. 若点（-6，y1）和（-2，y2）都在该函数图象上，则y1＞y2
C. 该函数图象与x轴一定有交点
D. x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】依据题意，y=-x2-2x-5=-（x+1）2-4，进而由二次函数的图象与性质可以判断得解．
解：由题意，∵y=-x2-2x-5=-（x+1）2-4，
∴该二次函数的图象的开口方向向下；对称轴为x=-1，当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小；令y=0，对应方程无解，故与x轴没有交点．
又当x=-6时，y1=-29；担当x=-2时，y2=-5，
∴y1＞y2．
综上，A、B、C均错误，D正确．
故选D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②；③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在和10之间；④P1（t-1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数时，y1＞y2．其中正确的结论是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ②③
【答案】D
【解析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
解：将（0，2），（1，2）代入y=ax2+bx+c得：，解得，
∴二次函数解析式为：y=ax2-ax+2，
∵当x=时，对应的函数值y＜0，
∴，
∴，
∴，即b，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x=-1时，y=m,x=2时，y=n,
∴m=a+a+2=2a+2，n=4a-2a+2=2a+2，
∴m+n=4a+4，
∵，
∴m+n＜-，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线的对称轴为x=，
又∵当x=时，y＜0，
∴根据对称性：当x=-时，对应的函数值y＜0，而x=0时，y=2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点的横坐标在-和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在和10之间，故③正确；
∵P1（t-1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1=a（t-1）2-a（t-1）+2，y2=a（t+1）2-a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t-1）2-a（t-1）+2＞a（t+1）2-a（t+1）+2，
即a（t-1）2-a（t-1）＞a（t+1）2-a（t+1），
∵a＜0，
∴（t-1）2-（t-1）＜（t+1）2-（t+1），
解得t，故④不正确．
故选：D．
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2-4ac＞0；③ab＜0；④a2-ab+ac＜0，其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】利用抛物线的对称性可确定A点坐标为（-3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b=2a＞0，则可对③进行判断；利用x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0和a＞0可对④进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，点B的坐标为（1，0），
∴A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a-b+c）＜0，所以④正确．
故选：C．
8．如图， 已知二 次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）与B（3，0）两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则PA+PC的最小值为（　　）
A. 4 B.
C. D.
【答案】C
【解析】先求出二次函数的解析式，然后求出C的坐标，根据对称性将AP+PC转化为PB+PC，因为PB+PC≥BC，
所以得出PB+PC的最小值为BC，求出BC即可．
解：∵y=x2+bx+c过（-1，0），（3，0），
∴，
解得：，
∴y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∵AP=BP，
∴PA+PC=BP+PC≥BC，
当P，B，C三点共线时，
PA+PC=BC，
∴（PA+PC）min=BC==3，
故选：C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是 _____．
【答案】y=3（x-1）2+4
【解析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即a的值一样，设出解析式y=3（x-h）2+k,根据顶点为（1，4），即可得到答案．
解：∵二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同、开口方向相同，
∴a=3，
设二次函数的解析式为y=3（x-h）2+k,
∵顶点为（1，4），
∴h=1，k=4，
∴这个函数的解析式是y=3（x-1）2+4，
故答案为：y=3（x-1）2+4．
10．请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 _____．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）
【答案】y=（x-3）2+2（答案不唯一）
【解析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x=3，开口向上即可．
解：满足题意的抛物线解析式为：y=（x-3）2+2．
本题答案不唯一．
故答案为：y=（x-3）2+2（答案不唯一）．
11．已知二次函数y=x2+bx+c.当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x=m,则m的取值范围是 _____．
【答案】1-≤m≤-1
【解析】分别求解当y=x2+bx+c过点（1，1）时，当y=x2+bx+c过点（-1，1）时的m的值，即可得到结论．
解：二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-，
当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，如图，
当抛物线y=x2+bx+c过点（1，1）时，则1+b+c=1，
此时-1≤-＜0，即0＜b≤2，
解得：c=-b,
∴抛物线为：y=x2+bx-b=（x+）2-b-，
此时函数的最小值必为-1，
∴-b-=-1，
解得：b1=-2+2，b2=-2-2（舍去），
此时m=-=1-，
同理，当抛物线y=x2+bx+c过点（-1，1）时，则1-b+c=1，
此时0＜-≤1，即-2≤b＜0，
解得：c=b,
∴抛物线为：y=x2+bx+b=（x+）2+b-，
此时函数的最小值必为-1，
∴b-=-1，
解得：b1=2-2，b2=2+2（舍去），
此时m=-=-1，
∴1-≤m≤-1，
故答案为：1-≤m≤-1．
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（-1，0），对称轴为直线x=1，抛物线的顶点在直线y=1上方，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③4a+b2＜4ac；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m（m≥0）的解为整数，则m的值有3个，其中正确的是 _____．（填写序号）
【答案】①④
【解析】①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴在y轴右侧，可判断出b与0的关系，进而判断①．
②由抛物线与x轴交点情况进行推理抛物线过点（3，0），再利用对称轴，进而对所得结论进行判断．
③根据抛物线的顶点在直线y=1上方，可建立关于a、b、c的关系式，判断③．
④根据抛物线与x轴的交点、对称轴建立等式；再把x的一元二次方程ax2+bx+c=m（m≥0）的解看成两个图象交点的横坐标的值，进而得到答案．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a,b异号，
∴b＞0，故①正确；
②由对称轴可知：-=1，
∴b=-2a,
∵抛物线过点（3，0），
∴0=9a+3b+c,
∴9a-6a+c=0，
∴3a+c=0，故②错误；
③因为抛物线的顶点在直线y=1上方，
所以，
所以4ac-b2＜4a,
所以4a+b2＞4ac,故③错误；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），
把（3，0）代入y=ax2+bx+c得，0=9a+3b+c,
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a,
∴9a-6a+c=0，
解得，c=-3a.
∴y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a（a＜0），
∴顶点坐标为（1，-4a），
由图象得当0≤y≤-4a时，-1≤x≤3，其中x为整数时，x=-1，0，1，2，3，
又∵x=0与x=2关于直线x=1轴对称；
x=-1与x=3时，m=0；
当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
∴m值有3个．故④正确；
故答案为：①④．
13．已知二次函数y=x2-bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表格所示：
x … -2 0 2 4 …
y … 17 5 1 5 …
（1）该二次函数的解析式为 _____；
（2）若A（n-1，y1），B（n,y2）两点都在该函数的图象上，当n＜2时，y1_____y2（选填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】(1)y=x2-4x+5;(2)＞;
【解析】（1）从表格中取出2组解，利用待定系数法求解析式；
（2）根据（1）中解析式，求出抛物线的对称轴为x=2，根据二次函数的增减性即可判断y1与y2的大小．
解：（1）把x=0，y=5和x=2，y=1代入y=x2-bx+c得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+5，
故答案为：y=x2-4x+5；
（2）由（1）知，y=x2-4x+5=（x-2）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵n-1＜n＜2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点（1，-2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【解析】（1）把点（1，-2）代入函数关系式进行计算即可；
（2）根据对称轴公式进行计算即可．
解：（1）∵二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点（1，-2），
∴-2=1-2m+5m,
解得m=-1．
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5；
（2）∵a=1，b=2，
∴==-1，
∴二次函数图象的对称轴直线为：x=-1．
15．已知二次函数经过点（-1，0），（3，0），且最大值为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【解析】（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），再由最大值为3求出a的值，即可确定出抛物线解析式．
（2）根据解析式列表，描点连线即可；
（3）根据图象求得即可．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,
由最大值为4，得到-4a=4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-x2+2x+3．
（2）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线，
函数图象如图所示；
；
（3）∵x=1时，y=4，x=4时，y=-5，
∴由图象可知，当1＜x＜4时，y的取值范围是-5＜y＜4．
16．（8分）如图，二次函数的图象经过点（0，-1），顶点坐标为（2，3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）y随x的增大而增大时，x的范围为 _____；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围为 _____．
【答案】(1)x＜2;(2)-1≤y≤3;
【解析】（1）依据题意，先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点（0，-1）求得函数的解析式；
（2）依据题意，由抛物线开口向下，对称轴是直线x=2，可以得解；
（3）依据题意，先求得x=3、x=0和x=2时的函数值，然后结合函数的增减性得到y的取值范围．
解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y=a（x-2） 2+3，
将（0，-1）代入，得4a-4=0，
解得：a=-1，
∴y=-（x-2）2+3=-x2+4x-1．
（2）由题意，由抛物线开口向下，对称轴是直线x=2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜2．
（3）当x=3时，y=2；当y=0时，y=-1；x=2时，y取最大值=3，
∴-1≤y≤3．
故答案为：-1≤y≤3．
17．（8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）通过计算判断点P（-2，5）是否为抛物线上一点．
【解析】（1）根据题意得，进行计算即可求出b,c的值，即可得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得；
（2）把x=-2代入y=x2-2x-3中，进行计算即可得．
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3，
将y=x2-2x-3化为顶点式：y=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为：（1，-4）；
（2）把x=-2代入y=x2-2x-3中，得y=（-2）2-2×（-2）-3=5，
∴点P（-2，5）是抛物线上一点．
18．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由．
（1）abc＞0；
（2）b＜a+c；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）a+b＞0．
【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
解：（1）由图象可知a＜0，c＞0，
∵＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故（1）错误．
（2）令x=-1，则y＜0，
∴a-b+c＜0，
∴b＞a+c,故（2）错误．
（3）由于（0，y）关于x=1对称的点坐标为（2，y），
令x=2，则y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故（3）正确．
（4）由图象可知：，
∴b=-2a,
∴a+b=a-2a=-a＞0，故（4）正确．
19．（8分）已知抛物线y=-x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t,-t2+2t+3），则G（t,t+1），，然后根据二次函数的性质可求解
1）解：将A（-1，0），C（2，3）两点代入y=-x2+bx+c,
∴，
解得，
∴y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）解：设AC的直线解析式为y=kx+b,
∴，
解得，
∴y=x+1，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，如图所示：
设P（t,-t2+2t+3），则G（t,t+1），
∴PG=-t2+t+2，
∴，
∴当时，△PAC的面积最大值为，
此时．
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