(共50张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
第一章
1.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算及其运算律.
3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用.
4.提升数学抽象、直观想象与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、空间向量的概念
1.刘力同学放学后回家,先从学校大门口出发向北行走600米,再向东行走500米,最后乘电梯上行45米到达住处.据此回答下列问题:
(1)刘力同学放学回家的三个位移在同一平面内吗
提示:不在同一平面内.
(2)你能用示意图表示一下刘力同学放学回家的总位移吗
提示:
2.(1)空间向量
①定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
②长度或模:空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(2)几类常见的空间向量
3.下列说法错误的是( )
A.零向量没有确定的方向
B.互为相反向量的两个向量必共线
C.若向量a与向量b的模相等,则a,b的方向相同或相反
D.任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内
解析:已知|a|=|b|,不能确定向量a,b的方向,故C错误;ABD正确.
答案:C
二、空间向量的线性运算
1.如图,观察正方体中过同一个顶点A的三条棱所表示的向量 ,回答下列问题:
(1)三条棱所表示的向量在同一平面内吗 这三个向量是相等向量吗
提示:不在同一平面内.这三个向量不是相等向量.
提示:能运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,故任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.可类比平面向量的运算法则,借助平行四边形法则或三角形法则求解.
2.(1)空间向量的加法、减法以及数乘运算.
由图①知
(2)与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(λ,μ∈R):
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)= (λμ)a;
分配律:(λ+μ)a= λa+μa,λ(a+b)= λa+λb.
(3)一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
答案:C
三、共线向量与共面向量
1.根据平面向量知识,回答下列两个问题:
(1)在平面向量中,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是什么 对于空间向量是否也成立呢
提示:在平面向量中,a∥b(b≠0)的充要条件是存在实数λ,使a=λb.对于空间向量仍然成立.
(2)已知平面内任意两个不共线向量a,b,对于这个平面内任意一个向量p能否用向量a,b表示 怎样表示
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
(3)与直线、平面平行的向量:如图,如果表示
向量a的有向线段 所在的直线OA 与直线l
平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果
直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称
向量a平行于平面α.
(4)共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
(5)三个空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p= xa+yb.
3.对于空间中任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面向量
解析:当向量a,b不共线时,由向量共面的充要条件知这三个向量a,b,2a-b共面;当向量a,b共线时,这三个向量a,b,2a-b既共线,又共面,所以它们一定是共面向量.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任意一个空间向量都可以进行平移.( √ )
(2)任意两个非零空间向量相加时,一定可以用平行四边形法则运算.( × )
(3)若表示两个空间向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这两个向量不是共面向量.( × )
(5)若p=xa+yb(其中x,y∈R),则p与a,b共面.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
空间向量的有关概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A.若|a|<|b|,则a
B.若a,b互为相反向量,则a+b=0
C.空间中两平行向量相等
分析:根据相等向量、相反向量的概念判断.
解析:(1)向量的模有大小,但向量不能比较大小,故A错;相反向量的和为0,不是0,故B错;相等向量满足模相等,方向相同两个条件,平行向量不一定具备,故C错;D正确.
反思感悟 1.空间向量关于零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念与平面向量相对应的概念完全相同.
2.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决.
3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线.
【变式训练1】 (1)(多选题)下列说法错误的是( )
A.若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同
解析:(1)A错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关.
B错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
探究二
空间向量的线性运算
解:(1)因为P是C1D1的中点,
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意以下方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律;
(2)要注意数形结合思想的运用,提升直观想象素养.
【变式训练2】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
探究三
向量共线问题
证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点,
又点F不在直线EH上,
∴四边形EFGH是梯形.
反思感悟 1.本题利用空间向量共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
2.判断或证明两空间向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
求证:E,F,B三点共线.
探究四
空间向量共面问题
证明:A,E,C1,F四点共面.
分析:要证明四点共面,可以让其中一点为起点,其余点为终点得到三个向量,证明其中一个向量可以用另外两个向量线性表示.
反思感悟 1.证明三个空间向量共面,常用如下方法:
(1)证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a=xb+yc(x,y∈R),则向量a,b,c共面.
(2)寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.
2.对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
【易错辨析】
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
因用错三角形减法法则致误
提示:对向量的减法法则理解、记忆错误,进而对向量的差推断运算错误.
2.熟知向量加减运算法则的代数运算和几何运算形式,是解决这类问题的关键.
随堂练习
1.下列说法正确的是( )
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共线,故C错误;由于向量的模是一个实数,故可以比较大小,故D正确.
答案:D
答案:B
4.已知非零向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的实数k= .
解析:若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,
则2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],其中λ∈R.
因为非零向量e1,e2不共线,
5.已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O,判断在下列条件下,点P是否与点A,B,M共面.
∴点P与点A,B,M共面.
(2)∵4+(-1)+(-1)=2≠1,
∴点P与点A,B,M不共面.(共48张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
第一章
1.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握空间向量的夹角的概念.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.
5.加强数学抽象和直观想象素养的培养,进一步提升逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、空间向量的夹角
1.平面内的两个向量a,b,它们的夹角是如何定义的 范围多少 这个定义适用于空间向量吗
提示:定义:两个非零向量a,b,O是平面内的任意一点,作 ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.范围:θ∈[0,π].这个定义也适用于空间向量.
2.空间两个向量的夹角
(1)定义:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,
作 ,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作.
(2)范围:∈[0,π].如果=0,那么向量a,b同向
共线;如果=π,那么向量a,b反向共线,所以若a∥b,
则=0或π;如果= ,那么向量a,b互相垂直,
记作a⊥b.
3.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,下列各对向量的夹角为135°的是
( )
B
二、空间向量的数量积及其性质
1.平面内的两个非零向量a,b,它们的数量积a·b是如何定义的 这个定义适用于空间向量吗
提示:定义:两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.这个定义也适用于空间向量.
2.空间向量的数量积及其性质
3.(1)下列式子正确的是( )
A.|a|a=a2 B.(a·b)2=a2b2
C.a(a·b)=b·a2 D.|a·b|≤|a||b|
(2)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=( )
解析:(1)根据数量积的定义,知A,B,C均不正确.
|a·b|=|a||b||cos|≤|a||b|,故D正确.
答案:(1)D (2)D
三、向量的投影
1.已知两个非零平面向量a,b,怎样作向量a向向量b的投影 得到的投影向量是怎么定义的
2.(1)如图①,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影,如图②所示.
3.已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是 .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)=.( √ )
(3)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件.( × )
(4)对于向量a,b,c,若a·b=a·c,则b=c.( × )
(5)对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c).( × )
(6)向量a向向量b投影,得到的是与向量b同向的向量.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
空间向量的数量积的计算
【例1】 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:
分析:求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,根据数量积的定义进行计算.
反思感悟 1.在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和向量的模表示后再进行运算.在解题过程中要注意两向量的夹角,正确运用两向量夹角的定义.
(1)与向量的数乘运算区分开,向量的数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为数量.
(2)书写规范:不能写成a×b,也不能写成ab.
解:(1)∵∠BAA1=60°,
∴a·b=|a||b|cos=2×2×cos 60°=2.
探究二
利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.
同理可证,EF⊥B1C.
∵AB1∩B1C=B1,且AB1,B1C 平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
反思感悟 当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.
【变式训练2】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'.
所以AC'⊥B'C.
同理可证,AC'⊥B'D'.
又B'C,B'D' 平面B'CD',
且B'C∩B'D'=B',
所以AC'⊥平面B'CD'.
探究三
利用数量积求向量的夹角
反思感悟 求两个非零向量夹角的途径
(1)转化为求平面角:把所求向量平移到同一个起点上,转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
(2)利用数量积的定义求向量夹角的余弦值,进而确定向量夹角的大小.
【变式训练3】 如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, ∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量 的夹角的余弦值.
探究四
利用数量积求距离(即线段长度)
反思感悟 求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示.
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.
(3)利用|a|= ,通过计算求出|a|,即得所求距离.
【变式训练4】 如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,求点E,F间的距离.
【易错辨析】
将向量的运算性质与实数的运算性质混淆而致误
【典例】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角.
两式相减,得46a·b-23b2=0,即b·(2a-b)=0,
则b=0(不合题意,舍去)或2a-b=0.
由2a-b=0,知a与b共线,且a与b方向相同.
因此a与b的夹角为0°.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题误用实数的运算性质,即对于实数a,b,若ab=0,则必有a=0或b=0.但对于向量a与b,若满足a·b=0,则不一定有a=0或b=0.
两式相减,得46a·b-23b2=0,
即b2=2a·b,代入7a2+16a·b-15b2=0,
得a2=b2=2a·b.
因此向量a与b的夹角为60°.
防范措施 在实数的乘法运算中,若ab=ac(a≠0),则b=c;若ab=0,则a=0或b=0.这些在向量的运算中都不成立,如果混淆就会导致一些错误的出现,解题时要格外注意.
【变式训练】 (多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们不共线,则下列结论中正确的是( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
C.a2b=b2a
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析:由于数量积不满足结合律,故A不正确;由数量积的性质,知B正确;C中,由题意知a2b=b2a一定不成立;D中,运算正确.
答案:BD
随堂练习
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
解析:由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1.
由a·b=0,即(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,
得2k-12=0,解得k=6.
答案:B
答案:D
答案:0
5.如图,在 ABCD中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.