2022-2023学年北京育英学校高二（上）期末数学试题（PDF版，无答案）

2022北京育英学校高二（上）期末
数 学（普通班）
考生须知：
1. 本试卷共 8 页，共三道大题，24 道小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2. 在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名.
3. 试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
4. 考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分 选择题（共 40 分）
一、选择题.（每小题 4 分，共 40 分）
A = (x, y) | y = x +1,0 x 1 B = (x, y) | y = 2x,0 x 10
1. 已知集合 ，集合 ，则集合 A B =
A. 1, 2 B. x 0 x 1 C. (1, 2) D.
ln x,0 x a
a
2. 已知函数 f (x) = e ，若函数 f ( x)的图象与直线 y = 只有一个公共点，则 a的取值范围
, x a e
x
为（ ）
A. ( , 0 B. ( , 0) C. 0,e) D. (0,e
3. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，平面 PCD ⊥平面 ABCD， AB = 2 ， BC =1，
PC = PD = 2 ， E 为 PB 的中点，则三棱锥 E ABC 的体积为（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 12 3 9
4. 如图，已知 ABC ，D 是 AB 的中点，沿直线CD 将 ACD折成 A CD，所成二面角 A CD B 的
平面角为 ，则
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A. A DB B. A DB C. A CB D. A CB
5. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ，动点 P 在对角线 BD1上，过点 P 作垂直于 BD1的平面
，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为 y，设 BP = x，则当 x 1,5 时，函数 y = f (x)的
值域为（ ）
A. 2 6,6 6 B. 2 6,18 C. 3 6,18 3 6,6 6 D.
x2 y2
6. 已知椭圆 C： + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2 ，点 P在椭圆 C上，且 PF2 2 2
⊥ F1F2 ，
a b
1
过 P作 F1P 的垂线交 x轴于点 A，若 AF2 = c ，记椭圆的离心率为 e，则e
2 =（ ）
2
3 5 1
A. B. 3 5 C. 2 1 D. 2
2
*
7. 对数列 a ，记前 nn 项和为 Sn (n N ) .下列四个结论中一定成立的是（ ）
A. 若 Sn = an
2 +bn + c （ a、b 、 c是常数），则 an 是等差数列
*
B. 若 an+1 = an (n N )，则 an 既是等差数列又是等比数列
n
C. 若 Sn =1 ( 1) ，则 an 是等比数列
D. 若 an 是等比数列，则 Sm ， S2m Sm ， S3m S2m (m N
* )也成等比数列
3
8. 已知 x =1是函数 f (x) = ax 3x的一个极值点，其中 a为实数，则 f ( x)在区间[ 2,2]上的最大值为
（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m项，其中 m项为 0，m项为 1，且对任意 k ≤ 2m，
a1,a2 , ,ak ,中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有
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A. 18 个 B. 16 个
C. 14 个 D. 12 个
10. 如图，已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD是边长为 2 的菱形， PA ⊥底面 ABCD， ED∥PA，且
PA = 2ED = 2 .若直线 PC 与平面 ABCD所成的角为 45 ，则二面角 P CE D 的余弦值为（ ）
6 6 6 6
A. B. C. D.
4 4 6 6
第二部分 非选择题（共 110 分）
二、填空题.（每小题 4 分，共 20 分）
1
11. 二项式 ( 3 x + )
8
的展开式的常数项是___________．
2x
2 2 xy 2 1 2
12. 设正实数 x，y，z满足 x 3xy + 4y z = 0 ，则当 取得最大值时， + 的最大值为
z x y z
_________．
13. 某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定
当日损坏的元件 A在次日早上 8:30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件 A的维修
工作.每个工人独立维修 A元件需要的时间相同.维修处记录了某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A的个数，
具体数据如下表：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日
元件 A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12
日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日
元件 A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24
目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件 A的个数的数学期望不超过 4 个，
则至少需要增加______名维修工人.
2 2
14. 已知圆 C的方程为 x + ( y 4) = 4，点 O是坐标原点.直线 l： y = kx 与圆 C交于M，N两点.设
2 1 1
Q (m,n)是线段 MN上的点，且 = +2 2 2 .可将 n表示为 m的函数为______.
OQ OM ON
x x
15. 已知函数 f (x) = e e ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）
① f (x) 是奇函数；
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② f (x) 在 R 上是单调递增函数；
③方程 f (x) = x2 + 2x有且仅有 1 个实数根；
④如果对任意 x (0，+ ) ，都有 f (x) kx ，那么 k 的最大值为 2.
三、简答题.（共 90 分）
16. 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是矩形， PA ⊥平面 ABCD， PA = AD = 2， BD = 2 2 .
（1）求证：BD⊥平面 PAC ；
（2）求二面角 P CD B 余弦值的大小；
（3）求点C 到平面 PBD 的距离．
2
17. 在等差数列{an}中， a2 = 4 ，其前 n项和 Sn 满足 Sn = n + n( R) .
（1）求实数 的值，并求数列{an}的通项公式；
1
（2）若数列 +bn 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n项和Tn .
Sn
18. 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和
用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在 15 个城市中对刚毕业的
大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示.
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（1）若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的
城市的概率；
（2）现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业，且 2 人的选择相互独立，记 X为选
中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求 X的分布列和数学期望 E（X）；
2 2 2 2
（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 s1 ，月平均期望薪资对应数据的方差为 s2 ，判断 s1 与 s2 的
大小（只需写出结论）
19. 在△ABC中，∠A＝90°，点 D在 BC边上．在平面 ABC内，过 D作 DF⊥BC且 DF＝AC．
（1）若 D为 BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
（2）若 ABC=45 ，且 BD＝3CD，求 cos∠CFB．

20. 如图，已知函数 f ( x) = Asin ( x + )（ A 0, 0, ）在一个周期内的图象经过 B( ,0)，
2 6
2 5
C( ,0) ， D( ,2)三点.
3 12
（1）写出A ， ， 的值；
5 2
（2）若 ( , )，且 f ( ) =1，求 cos 2 的值.
12 3
1
x,0 x a a
21. 设函数 f (x) = ， a为常数且 a (0,1)
1 (1 x),a x 1
1 a
1 1
（1）当a = 时，求 f ( f ( ))；
2 3
（2）若 x0 满足 f ( f (x0 )) = x0，但 f (x0 ) x x f (x)0 ，则称 0 为 的二阶周期点.证明函数 f (x) 有且仅有两个
二阶周期点，并求二阶周期点 x1, x2 ；
2
（3）对于（2）中的 x1, x2 ，设 A(x1, f ( f (x1))), B(x2 , f ( f (x2 ))),C(a ,0)，记 ABC 的面积为 S(a) ，求
1 1
S(a) 在区间 , 上的最大值和最小值．
3 2
x2
22. 椭圆 + y2 =1的左焦点为 F，过点M ( 2,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 A,B
2
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（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若点 B 关于 x轴的对称点为 B’，求 AB ' 的取值范围.
23.
从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布
直方图：
（I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 s
2 （同一组的数据用该组区间的中点值作代
表）；
2
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N ( , )，其中 近似为样本平均数
x ，
2 近似为样本方差 s2 .
（i）利用该正态分布，求 P (187.8 Z 212.2)；
（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间
(187.8,212.2)的产品件数.利用（i）的结果，求 EX .
附： 150 12.2
2
若 Z ~ N ( , )则 P ( Z + ) = 0.6826， P ( 2 Z + 2 ) = 0.9544．
x 2
24. 已知函数 f (x) = xe + ax + 2ax(a R) ．
（Ⅰ）若曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为3x + y = 0 ，求a的值；
1
（Ⅱ）当 a 0 时，讨论函数 f ( x)的零点个数．
2
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