2024-2025学年河南省周口市恒大中学高二（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年河南省周口市恒大中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.设向量，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.设复数是虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若直线平面，平面，直线，则( )
A. 或与异面 B. C. 与异面 D. 与相交
6.年月日月日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区现从“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
8.设的内角，，所对的边长分别为，，，且，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，则( )
A.
B. 平面截正方体所得的截面可能为三角形
C. 当位于中点时三棱锥的外接球半径最大
D. 线段的长度随线段的长度增大而增大
10.如图，边长为的正方形中，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，如图，使，，三点重合，重合后的点记为，则有( )
A. 平面平面
B. 四面体的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 四面体的外接球的体积为
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点已知，，的平分线与相交于点，则( )
A. 边上的中线长为 B. 内切圆的面积为
C. 与面积之比为： D. 到的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是______填入条件的序号即可
；；；．
13.如图所示的四边形中，设，则用表示 ______．
14.如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简下列各式：
；
；
；
16.本小题分
如图，有一块三棱锥形木块，其中面内有一点．
若要在面内过点画一条线段，其中点在线段上，点在线段上，且满足与垂直，该如何求作？请在图中画出线段并说明画法，不必证明．
经测量，，，，，若恰为三角形的重心，为中所求线段，求三棱锥的体积．
17.本小题分
如图，公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．
设，，求用表示的函数关系式；
如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又应在哪里？请予证明．
18.本小题分
已知平面向量，，．
若，求；
若与的夹角为锐角，求的取值范围．
19.本小题分
某校组织反间谍法知识竞赛，将所有学生的成绩单位：分按照，，，分成七组，得到如图所示的频率分布直方图．
求这次竞赛成绩平均数的估计值；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
从竞赛成绩不低于分的学生中用分层随机抽样的方法抽取人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选人做主题演讲，求至少有名第七组的学生做主题演讲的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：；
；
．
16.解：在上任取一点，
过点在平面内作的垂线，交于点，
过点在平面内作的垂线，交于点，
连接，
若过点，则就是所求线段，
若不过点，则过点作的平行线，与，相交，即可得到线段．
如图所示：
取的中点，连接，，
因为点为的重心，则点在上，且，
由题意可得，，，，
所以平面，
因为平面，
则，
又且，共面，
则，
所以，
故三棱锥的体积为三棱锥体积的，
因为，，
所以为等边三角形，
则，
所以，
在中，由余弦定理可得，，
整理可得，
解得或，
当时，此时为等腰三角形，，，符合题意；
当时，则，所以为钝角，不符合题意．
同理可得，
故，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
所以，
故，
所以
17.解在中，，
又
代入得，
；
如果是水管，
当且仅当，即时“”成立，故DE，且．
如果是参观线路，记，
可知函数在上递减，在上递增，
故．
即为中线或中线时，最长．
18.解：，
，解得：或，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述：或
若共线，则，解得：或，
当时，，，此时同向；
当时，，，此时反向；
若与的夹角为锐角，
则，解得：且，
故的取值范围为．
19.解：由频率分布直方图得：
，
解得，
这次竞赛成绩平均数的估计值为：
．
从竞赛成绩不低于分的学生中用分层随机抽样的方法抽取人，
从，，内抽取的人数分别为：
人，人，人，
再从第六组和第七组被抽到的学生中任选人做主题演讲，
基本事件总数，
至少有名第七组的学生做主题演讲包含的基本事件个数，
至少有名第七组的学生做主题演讲的概率为．
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