2023-2024学年北京育英学校高二（下）期末考试数学试题（无答案）

2023北京育英学校高二（下）期末
数 学
考 1.本试卷共 4 页，共三道大题，21 道小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
生 2.在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名.
须 3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
知 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分 选择题（共 40 分）
一、选择题.（每小题 4 分，共 40 分）
A = x | log2 x 1 已知集合 ， B ={x∣x 1}1. ，则 A B =（ ）
A. (1, 2 B. (1,+ ) C. (1, 2) D. 1,+ )
2. 已知等差数列 an 中， a1 = 3， a2 = 6．若bn = a2n，则数列 bn 的前 5 项和等于（ ）
A. 30 B. 45 C. 90 D. 186
x
x 1
3. 函数 f (x) = 的零点的个数为 （ ）
2 2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cosθ,sinθ )到直线 x my 2 = 0的距离，当 、m 变化时，d 的
最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
5. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ，动点 P 在对角线 BD1上，过点 P 作垂直于 BD1的平面
，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为 y，设 BP = x，则当 x 1,5 时，函数 y = f (x)的
值域为（ ）
A. 2 6,6 6 B.
2 6,18
C.
3 6,18
D.
3 6,6 6

6. 设 an 是公差为d 的等差数列， Sn 为其前 n项和，则“ d 0 ”是“数列 Sn 为递增数列”的（ ）
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A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
7. 已知椭圆 C： + =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2 ，点 P在椭圆 C上，且 PF2 ⊥ F1F2 ，
a2 b2
1
过 P作 F1P 的垂线交 x轴于点 A，若 AF2 = c ，记椭圆的离心率为 e，则e
2 =（ ）
2
3 5 1
A. B. 3 5 C. 2 1 D. 2
2
8. 教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有 3 本相同的论语、6 本互不相同的近代文学名著，现从这 9
本书中选出 3 本，则不同的选法种数为
A. 84 B. 42 C. 41 D. 35
9. 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线 y＝f(x)，一种是平均价格曲线 y＝g(x)(如
f(2)＝3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元；g(2)＝4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平
均价格为 4 元).下面所给出的四个图象中，实线表示 y＝f(x)，虚线表示 y＝g(x)，其中可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点M 在圆C1：(x 1)
2 + (y 1)2 =1上，点 N在圆C2：(x+1)
2 + (y+1)2 =1上，则下列说法错误的
是
A. OM·ON 的取值范围为[ 3 2 2,0]
B. OM +ON 取值范围为[0, 2 2]
C. OM ON 的取值范围为[2 2 2,2 2 + 2]
D. 若OM = ON ，则实数 的取值范围为[ 3 2 2, 3+ 2 2]
第二部分 非选择题（共 110 分）
二、填空题.（每小题 5 分，共 25 分）
a 1
11. 已知 a ,b R ，且 a 3b + 6 = 0，则 2 + 的最小值为_____________.
8b
1 8
12. 二项式 ( 3 x + ) 的展开式的常数项是___________．
2x
x2 2x 3, x a
13. 函数 f (x) = ，当 a = 0 时， f ( x)的值域为______；当 f ( x)有两个不同零点时，
x, x a
实数 a的取值范围为______．
14. 在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 a = 3,sin B = sin 2A．
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b
① 的值为____；
cos A
② 若a c ，则b 的取值范围是____．
15. 已知点 P,Q 分别是抛物线C : y2 = 4x 和直线 x + 6 = 0上的动点，点M 是圆 K : (x 1)2 + y2 =1上的动
点．
① 抛物线C 的焦点坐标为____；
| PQ |2
② 的最小值为____．
| PM |
三、简答题.（共 85 分）
16. 在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且 2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..
(1)求角 A的大小；
(2)若 sinB＋sinC＝ 3 ，试判断△ABC的形状.

17. 如图，已知函数 f ( x) = Asin ( x + )（ A 0, 0, ）在一个周期内的图象经过 B( ,0)，
2 6
2 5
C( ,0) ， D( ,2)三点.
3 12
（1）写出A ， ， 的值；
5 2
（2）若 ( , )，且 f ( ) =1，求 cos 2 的值.
12 3
18. 如图，四边形 ABCD和三角形 ADE所在平面互相垂直， AB / /CD ， AB ⊥ BC ， DAB = 60 ，
AB = AD = 4， AE ⊥ DE ， AE = DE ，平面 ABE 与平面CDE 交于 EF .
（1）求证：CD / /EF ；
（2）若EF = CD ，求二面角 A-BC-F 的余弦值；
（3）在线段 BC 上是否存在点M 使得 AM ⊥ EM ？若存在，求 BM 的长；若不存在，说明理由.
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2
19. 已知关于 x 的函数 g (x) = alnx (x R) , f (x) = x2 + g (x) ，
x
（I）试求函数 g (x)的单调区间；
（II）若 f ( x)在区间 (0,1) 内有极值，试求 a的取值范围；
（III）a 0 时，若 f ( x)有唯一的零点 x0 ，试求 x0 .（注： x0 为取整函数，表示不超过 x0 的最
大整数，如 0.3 = 0, 2.6 = 2, 1.4 = 2, ；以下数据供参考：
(ln2 = 0.6931, ln3 =1.099, ln5 =1.609, ln7 =1.946)
x2 y2
20. 已知椭圆 + =1(a b 0)的右焦点为 F (1,0)，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且 OMF
a2 b2
是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，且使 F 为 PQM 的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若 l
存在，求出直线 l 的方程；若 l 不存在，请说明理由.
2an ,an 18*
21. 已知数列{an}满足： a1 N ,a1 36，且an+1 = (n =1,2, )，记集合
2an 36,an 18
M = an | n N* .
（1）若 a1=6，写出集合 M的所有元素；
（2）如集合M存在一个元素是 3 的倍数，证明：M的所有元素都是 3 的倍数；
（3）求集合M的元素个数的最大值.
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