北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·顺义期中）二项式的展开式中常数项为（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为（），
令，解得，所以二项式的展开式中常数项为第项.
故答案为：C
【分析】
利用二项式的展开通项公式，得到常数项对应的值，从而代入数据得解.
2．（2024高二下·顺义期中）已知在等差数列中，，，则公差等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
所以，即
所以
故答案为：A
【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式直接求解即可。
3．（2024高二下·顺义期中）某校运动会负责播出稿件的志愿者有2人，负责给运动员引领的志愿者有5人，现要从这7人中选出3人组成慰问团，要求每项志愿服务都要有人参与，则不同的选法共有（ ）
A．16种 B．20种 C．25种 D．28种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意慰问团可能有一名负责播出稿件的志愿者、两名负责给运动员引领的志愿者，
或有两名负责播出稿件的志愿者、一名负责给运动员引领的志愿者，
则不同的选法共有种．
故答案为：C．
【分析】
利用分类加法计数原理，分类讨论志愿者的参与情况，利用组合数的相关知识与分步乘法计数原理即可得解.
4．（2024高二下·顺义期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数不同，两次的点数之和小于6，则在发生条件下发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：依题意，投掷一枚质地均匀的骰子两次，有36个不同结果，其中两次点数相同的有6个，
因此事件A含有的基本事件数为30，
事件含有，共8个结果，
所以在发生条件下发生的概率为.
故答案为：B.
【分析】
利用乘法计数原理求得总的基本事件，再利用列举法求得事件A与事件的基本事件数，从而利用条件概率公式即可得解.
5．（2024高二下·顺义期中）判断函数在下面哪个区间内是增函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：
，
对A，当时，，，函数单调递减，故A错误，
对B，当时，，，函数单调递减，故B错误；
对C，当时，，，函数单调递增，故C正确；
对D，当时，，，函数单调递减，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用导数与函数单调性关系，结合三角函数的性质即可得解.
6．（2024高二下·顺义期中）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是极大值点
C．的图象在点处的切线的斜率等于0
D．在区间内一定有2个极值点
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A，由函数的图象，可得当时，，
所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误；
B，由A知，函数在区间为单调递增函数，
因为，所以不是函数的极值点，所以B错误；
C，由函数的图象，可得，
所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C错误；
D，由函数的图象，当时，；当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】
利用导函数的图象，分析导数的正负情况判断A；利用函数极值的定义判断BD；利用导数的几何意义判断C；从而得解.
7．（2024高二下·顺义期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．不充分也不必要
【答案】C
【知识点】充要条件；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，，
若，则，
当 时，由 得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
当时，由，得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
反之，若是递增数列，则，
所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．
故答案为：C．
【分析】
利用数列的单调性与等比数列的通项公式，结合充分必要条件的判定方法即可判断.
8．（2024高二下·顺义期中）已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据：
1 2 3 4 5 6 …
1 61
那么数列的第4项等于（ ）
A． B． C．或27 D．或81
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，而，又，，
因此，又，则，解得，
所以数列的第4项.
故答案为：A
【分析】
利用题干中表格，结合等比数列的通项公式求得基本量，进而利用等比数列求和公式即可得解.
9．（2024高二下·顺义期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】答：依题意，李先生从选择、、路线的概率均为，
又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，
所以堵车的概率.
故答案为：B
【分析】
根据题意得到选择各路线的概率与对应路线堵车的概率，再利用全概率公式即可得解.
10．（2024高二下·顺义期中）函数（其中）．关于函数有四个结论：
①，函数在内单调递增；
②，函数在内有最小值；
③，使得函数在内存在两个零点；
④，使函数在内存在2个极值点．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域，，
①当时，恒成立，所以函数在内单调递增，故①正确；
②当时，令，解得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以当，函数在内没有最小值，故②错误；
③当时，在上单调递增，上单调递减，
当时，，当时，，
取时，，，
此时函数在内存在两个零点，故③正确；
④由以上分析可知和时，函数在内都不存在个极值点，
当时，在上单调递增，不存在极值点，
故不存在，使函数在内存在个极值点，故④错误．
故答案为：B．
【分析】
求出函数的导函数，利用导数与函数单调性的关系判断 ① ，利用导数与函数最值的关系判断②，利用导数研究函数的零点和极值点判断③④，从而得解．
11．（2024高二下·顺义期中）和的等比中项是 ．
【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设和的等比中项为，则，解得.
故答案为：.
【分析】
利用等比中项公式即可得解.
12．（2024高二下·顺义期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差 ．
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：依题意，抛掷一枚骰子一次，正面点数不大于2的概率，
因此，所以.
故答案为：
【分析】
先判断得，再利用二项分布的方差公式即可得解.
13．（2024高二下·顺义期中）将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是 ．
【答案】37
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先不考虑甲部门是否有人，总数为种；
甲部门没有人的种数为种；
所以甲部门有人的安排方法种数为种；
故答案为：37.
【分析】
利用分步乘法计数原理，结合间接法即可得解.
14．（2024高二下·顺义期中）已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若对于任意的，，使得恒成立，
则当时，，
对于函数，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
对于函数，，图象开口向上，对称轴为，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
将问题转化为，再利用导数与二次函数的性质分别求得与的最值，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
15．（2024高二下·顺义期中）已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则． ； ．
【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为是线段的中点，，
所以，
因为，，所以，
，
所以，
因为，，
所以
，
即，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
所以
，
故答案为：；.
【分析】
利用中点坐标公式，结合数列的递推式依次得到，，再利用构造法，结合等比数列的通项公式与前项和公式即可得解.
16．（2024高二下·顺义期中）已知二项式，且满足．
（1）求值，并求二项式系数最大的项；
（2）求二项展开式中含项的系数；
（3）请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）
【答案】（1）解：因为，即，整理得，
解得或（舍去），故．
所以展开式的通项为（且），
则，故二项式系数的最大项为第项，为．
（2）解：令，解得，
所以，
所以二项展开式中含项的系数为；
（3）解：对于，令可得，
所以展开式中所有项的系数的和为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）利用组合数公式求得，再利用二项展开式的通项公式，结合二项式系数的性质即可得解；
（2）利用（1）中结论，求得对应的值，从而得解；
（3）利用赋值法即可得解.
（1）因为，即，整理得，
解得或（舍去），故．
所以展开式的通项为（且），
则，故二项式系数的最大项为第项，为．
（2）令，解得，
所以，
所以二项展开式中含项的系数为；
（3）对于，令可得，
所以展开式中所有项的系数的和为.
17．（2024高二下·顺义期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值；
（3）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，
且，，即，
所以公差，则，所以，
又因为，，即，
所以公比，所以；
（2）解：数列的前项和，
所以或时，取得最小值，且，没有最大值；
（3）解：由（1）可得，
所以的前项和．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质求得，进而利用通项公式求得公差，从而求得其通项公式；利用等比数列的通项公式依次求得，，从而求得其通项公式；
（2）利用等差数列的前项和公式，结合配方法即可得解；
（3）根据题意求得，再利用由等比数列的前项和公式即可得解.
（1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，
且，，即，
所以公差，则，所以，
又因为，，即，
所以公比，所以；
（2）数列的前项和，
所以或时，取得最小值，且，没有最大值；
（3）由（1）可得，
所以的前项和．
18．（2024高二下·顺义期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．
（1）从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；
（2）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．
（3）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）
【答案】（1）解：依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件，
则，又．
（2）解：由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，
其他为未收看者人，
所以的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故；
（3）解：依题意可得，，
所以．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；超几何分布的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）先根据题意分析得服从二项分布，再利用二项分布概率公式与期望公式即可得解；
（2）先分析得的可能取值，再利用超几何分布的概率公式即可得解；
（3）根据题意，利用独立事件的概率公式求得与，从而得解．
（1）依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件，
则，又．
（2）由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，其他为未收看者人，
所以的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故；
（3）依题意可得，，
所以．
19．（2024高二下·顺义期中）已知为实数，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（2）当时，求函数的极小值点；
（3）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）解：当时，函数，求导得，
则，而，于是切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线的方程.
（2）解：当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且仅有一个极小值点.
（3）解：函数的零点个数为2，理由如下：
①当时，，而，
求导得，
因此函数在区间上单调递减，，
即函数在区间上有且仅有一个零点；
②当时，，求导得，
由，得，函数在上单调递增，
，于是，即恒成立，函数在区间上单调递增，
又，
因此函数在区间上有且仅有一个零点．
综上，函数的零点个数为2．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）代入，去掉绝对值，利用导数的运算与几何意义求出切线方程，从而得解；
（2）代入，去掉绝对值，利用导数与函数极值点的关系即可得解；
（3）分类讨论去掉绝对值，利用导数研究函数图象性质，结合零点存在定理即可得解.
（1）当时，函数，求导得，
则，而，于是切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线的方程.
（2）当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且仅有一个极小值点.
（3）函数的零点个数为2，理由如下：
①当时，，而，
求导得，
因此函数在区间上单调递减，，
即函数在区间上有且仅有一个零点；
②当时，，求导得，
由，得，函数在上单调递增，
，于是，即恒成立，函数在区间上单调递增，
又，
因此函数在区间上有且仅有一个零点．
综上，函数的零点个数为2．
20．（2024高二下·顺义期中）已知函数．
（1）求曲线过点的切线方程；
（2）当时，求证：存在实数，使得．
【答案】（1）解：当时，，则过点的切线不存在；
当时，据题意，函数，则，
设切点，则，
所以过点的切线方程为，
代入得，
所以，
所以曲线过点的切线方程为，
即，
综上可得当时切线不存在，当时切线方程为．
（2）证明：当时，显然有，
即存在实数使，
当，时，若，则，解可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数有极小值，
设，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
即有极大值，
则当时，故，
综上，若，存在实数使．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）分类计论与两种情况，利用导数的几何意义即可得解；
（2）分类讨论与，两种情况，利用指数函数的性质与导数研究函数的图象性质，求得函数的极小值，再构造函数，利用导数求得极小值的最大值，从而得解．
（1）当时，则过点的切线不存在；
当时，据题意，函数，则，
设切点，则，
所以过点的切线方程为，
代入得，
所以，
所以曲线过点的切线方程为，
即，
综上可得当时切线不存在，当时切线方程为．
（2）当时，显然有，
即存在实数使，
当，时，若，则，解可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数有极小值，
设，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
即有极大值，
则当时，故，
综上，若，存在实数使．
21．（2024高二下·顺义期中）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
（1）已知，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证
【答案】（1）解：已知，，且，
所以的所有情形有：、、、；
（2）解：设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）证明：记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
【知识点】元素与集合的关系；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）读懂题干中的新定义，列举出所有满足要求的集合，从而得解；
（2）根据题意，利用绝对值三角不等式求得，分类讨论、两种情况，从而求得其最大值，由此得解；
（3）构造新集合，结合定义证得，同时分析得中任意两元素不相等，从而可知中元素的个数情况，进而得证．
（1）已知，，且，
所以的所有情形有：、、、；
（2）设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
1 / 1北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·顺义期中）二项式的展开式中常数项为（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
2．（2024高二下·顺义期中）已知在等差数列中，，，则公差等于( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·顺义期中）某校运动会负责播出稿件的志愿者有2人，负责给运动员引领的志愿者有5人，现要从这7人中选出3人组成慰问团，要求每项志愿服务都要有人参与，则不同的选法共有（ ）
A．16种 B．20种 C．25种 D．28种
4．（2024高二下·顺义期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数不同，两次的点数之和小于6，则在发生条件下发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·顺义期中）判断函数在下面哪个区间内是增函数（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·顺义期中）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是极大值点
C．的图象在点处的切线的斜率等于0
D．在区间内一定有2个极值点
7．（2024高二下·顺义期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．不充分也不必要
8．（2024高二下·顺义期中）已知等比数列的前项和为，下表给出了的部分数据：
1 2 3 4 5 6 …
1 61
那么数列的第4项等于（ ）
A． B． C．或27 D．或81
9．（2024高二下·顺义期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9
10．（2024高二下·顺义期中）函数（其中）．关于函数有四个结论：
①，函数在内单调递增；
②，函数在内有最小值；
③，使得函数在内存在两个零点；
④，使函数在内存在2个极值点．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024高二下·顺义期中）和的等比中项是 ．
12．（2024高二下·顺义期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差 ．
13．（2024高二下·顺义期中）将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是 ．
14．（2024高二下·顺义期中）已知函数，，若对于任意的，使得恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．（2024高二下·顺义期中）已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则． ； ．
16．（2024高二下·顺义期中）已知二项式，且满足．
（1）求值，并求二项式系数最大的项；
（2）求二项展开式中含项的系数；
（3）请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）
17．（2024高二下·顺义期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值；
（3）设，求数列的前项和．
18．（2024高二下·顺义期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占，通过手机收看的占，其他为未收看者．
（1）从该地区被调查对象中随机选取4人，用表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及；
（2）采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和．
（3）从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为；若3人全都是用电视收看的概率为．试比较与的大小．（直接写出结论）
19．（2024高二下·顺义期中）已知为实数，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（2）当时，求函数的极小值点；
（3）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．
20．（2024高二下·顺义期中）已知函数．
（1）求曲线过点的切线方程；
（2）当时，求证：存在实数，使得．
21．（2024高二下·顺义期中）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
（1）已知，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为（），
令，解得，所以二项式的展开式中常数项为第项.
故答案为：C
【分析】
利用二项式的展开通项公式，得到常数项对应的值，从而代入数据得解.
2．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
所以，即
所以
故答案为：A
【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式直接求解即可。
3．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意慰问团可能有一名负责播出稿件的志愿者、两名负责给运动员引领的志愿者，
或有两名负责播出稿件的志愿者、一名负责给运动员引领的志愿者，
则不同的选法共有种．
故答案为：C．
【分析】
利用分类加法计数原理，分类讨论志愿者的参与情况，利用组合数的相关知识与分步乘法计数原理即可得解.
4．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：依题意，投掷一枚质地均匀的骰子两次，有36个不同结果，其中两次点数相同的有6个，
因此事件A含有的基本事件数为30，
事件含有，共8个结果，
所以在发生条件下发生的概率为.
故答案为：B.
【分析】
利用乘法计数原理求得总的基本事件，再利用列举法求得事件A与事件的基本事件数，从而利用条件概率公式即可得解.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：
，
对A，当时，，，函数单调递减，故A错误，
对B，当时，，，函数单调递减，故B错误；
对C，当时，，，函数单调递增，故C正确；
对D，当时，，，函数单调递减，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用导数与函数单调性关系，结合三角函数的性质即可得解.
6．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A，由函数的图象，可得当时，，
所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误；
B，由A知，函数在区间为单调递增函数，
因为，所以不是函数的极值点，所以B错误；
C，由函数的图象，可得，
所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C错误；
D，由函数的图象，当时，；当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】
利用导函数的图象，分析导数的正负情况判断A；利用函数极值的定义判断BD；利用导数的几何意义判断C；从而得解.
7．【答案】C
【知识点】充要条件；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，，
若，则，
当 时，由 得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
当时，由，得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
反之，若是递增数列，则，
所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．
故答案为：C．
【分析】
利用数列的单调性与等比数列的通项公式，结合充分必要条件的判定方法即可判断.
8．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，而，又，，
因此，又，则，解得，
所以数列的第4项.
故答案为：A
【分析】
利用题干中表格，结合等比数列的通项公式求得基本量，进而利用等比数列求和公式即可得解.
9．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】答：依题意，李先生从选择、、路线的概率均为，
又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，
所以堵车的概率.
故答案为：B
【分析】
根据题意得到选择各路线的概率与对应路线堵车的概率，再利用全概率公式即可得解.
10．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域，，
①当时，恒成立，所以函数在内单调递增，故①正确；
②当时，令，解得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以当，函数在内没有最小值，故②错误；
③当时，在上单调递增，上单调递减，
当时，，当时，，
取时，，，
此时函数在内存在两个零点，故③正确；
④由以上分析可知和时，函数在内都不存在个极值点，
当时，在上单调递增，不存在极值点，
故不存在，使函数在内存在个极值点，故④错误．
故答案为：B．
【分析】
求出函数的导函数，利用导数与函数单调性的关系判断 ① ，利用导数与函数最值的关系判断②，利用导数研究函数的零点和极值点判断③④，从而得解．
11．【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：设和的等比中项为，则，解得.
故答案为：.
【分析】
利用等比中项公式即可得解.
12．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：依题意，抛掷一枚骰子一次，正面点数不大于2的概率，
因此，所以.
故答案为：
【分析】
先判断得，再利用二项分布的方差公式即可得解.
13．【答案】37
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先不考虑甲部门是否有人，总数为种；
甲部门没有人的种数为种；
所以甲部门有人的安排方法种数为种；
故答案为：37.
【分析】
利用分步乘法计数原理，结合间接法即可得解.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若对于任意的，，使得恒成立，
则当时，，
对于函数，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
对于函数，，图象开口向上，对称轴为，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
将问题转化为，再利用导数与二次函数的性质分别求得与的最值，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
15．【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为是线段的中点，，
所以，
因为，，所以，
，
所以，
因为，，
所以
，
即，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
所以
，
故答案为：；.
【分析】
利用中点坐标公式，结合数列的递推式依次得到，，再利用构造法，结合等比数列的通项公式与前项和公式即可得解.
16．【答案】（1）解：因为，即，整理得，
解得或（舍去），故．
所以展开式的通项为（且），
则，故二项式系数的最大项为第项，为．
（2）解：令，解得，
所以，
所以二项展开式中含项的系数为；
（3）解：对于，令可得，
所以展开式中所有项的系数的和为.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）利用组合数公式求得，再利用二项展开式的通项公式，结合二项式系数的性质即可得解；
（2）利用（1）中结论，求得对应的值，从而得解；
（3）利用赋值法即可得解.
（1）因为，即，整理得，
解得或（舍去），故．
所以展开式的通项为（且），
则，故二项式系数的最大项为第项，为．
（2）令，解得，
所以，
所以二项展开式中含项的系数为；
（3）对于，令可得，
所以展开式中所有项的系数的和为.
17．【答案】（1）解：因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，
且，，即，
所以公差，则，所以，
又因为，，即，
所以公比，所以；
（2）解：数列的前项和，
所以或时，取得最小值，且，没有最大值；
（3）解：由（1）可得，
所以的前项和．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质求得，进而利用通项公式求得公差，从而求得其通项公式；利用等比数列的通项公式依次求得，，从而求得其通项公式；
（2）利用等差数列的前项和公式，结合配方法即可得解；
（3）根据题意求得，再利用由等比数列的前项和公式即可得解.
（1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，
且，，即，
所以公差，则，所以，
又因为，，即，
所以公比，所以；
（2）数列的前项和，
所以或时，取得最小值，且，没有最大值；
（3）由（1）可得，
所以的前项和．
18．【答案】（1）解：依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件，
则，又．
（2）解：由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，
其他为未收看者人，
所以的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故；
（3）解：依题意可得，，
所以．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；超几何分布的应用；二项分布
【解析】【分析】（1）先根据题意分析得服从二项分布，再利用二项分布概率公式与期望公式即可得解；
（2）先分析得的可能取值，再利用超几何分布的概率公式即可得解；
（3）根据题意，利用独立事件的概率公式求得与，从而得解．
（1）依题意，记“人中恰有人是通过电视收看”为事件，
则，又．
（2）由题可知人中，通过电视收看的人，通过手机收看的人，其他为未收看者人，
所以的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故；
（3）依题意可得，，
所以．
19．【答案】（1）解：当时，函数，求导得，
则，而，于是切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线的方程.
（2）解：当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且仅有一个极小值点.
（3）解：函数的零点个数为2，理由如下：
①当时，，而，
求导得，
因此函数在区间上单调递减，，
即函数在区间上有且仅有一个零点；
②当时，，求导得，
由，得，函数在上单调递增，
，于是，即恒成立，函数在区间上单调递增，
又，
因此函数在区间上有且仅有一个零点．
综上，函数的零点个数为2．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）代入，去掉绝对值，利用导数的运算与几何意义求出切线方程，从而得解；
（2）代入，去掉绝对值，利用导数与函数极值点的关系即可得解；
（3）分类讨论去掉绝对值，利用导数研究函数图象性质，结合零点存在定理即可得解.
（1）当时，函数，求导得，
则，而，于是切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线的方程.
（2）当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且仅有一个极小值点.
（3）函数的零点个数为2，理由如下：
①当时，，而，
求导得，
因此函数在区间上单调递减，，
即函数在区间上有且仅有一个零点；
②当时，，求导得，
由，得，函数在上单调递增，
，于是，即恒成立，函数在区间上单调递增，
又，
因此函数在区间上有且仅有一个零点．
综上，函数的零点个数为2．
20．【答案】（1）解：当时，，则过点的切线不存在；
当时，据题意，函数，则，
设切点，则，
所以过点的切线方程为，
代入得，
所以，
所以曲线过点的切线方程为，
即，
综上可得当时切线不存在，当时切线方程为．
（2）证明：当时，显然有，
即存在实数使，
当，时，若，则，解可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数有极小值，
设，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
即有极大值，
则当时，故，
综上，若，存在实数使．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）分类计论与两种情况，利用导数的几何意义即可得解；
（2）分类讨论与，两种情况，利用指数函数的性质与导数研究函数的图象性质，求得函数的极小值，再构造函数，利用导数求得极小值的最大值，从而得解．
（1）当时，则过点的切线不存在；
当时，据题意，函数，则，
设切点，则，
所以过点的切线方程为，
代入得，
所以，
所以曲线过点的切线方程为，
即，
综上可得当时切线不存在，当时切线方程为．
（2）当时，显然有，
即存在实数使，
当，时，若，则，解可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数有极小值，
设，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
即有极大值，
则当时，故，
综上，若，存在实数使．
21．【答案】（1）解：已知，，且，
所以的所有情形有：、、、；
（2）解：设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）证明：记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
【知识点】元素与集合的关系；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）读懂题干中的新定义，列举出所有满足要求的集合，从而得解；
（2）根据题意，利用绝对值三角不等式求得，分类讨论、两种情况，从而求得其最大值，由此得解；
（3）构造新集合，结合定义证得，同时分析得中任意两元素不相等，从而可知中元素的个数情况，进而得证．
（1）已知，，且，
所以的所有情形有：、、、；
（2）设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
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