(共48张PPT)
第一章
1.4.1
第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能用向量语言描述点、直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
4.能用向量方法证明有关直线、平面之间的平行关系,体会向量方法在研究几何问题中的应用.
5.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 空间中点、直线的向量表示
1.我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,阅读教材第26页,回答下列两个问题:
(1)如何用向量表示空间中的一个点
提示:在空间中,取一定点O作为基点,空间中的任意一点P就可以用向量
来表示.
(2)如图,点A是直线l上的一个点,a是直线l的方向向量,
在直线l上取 =a,P是直线l上的任意一点,那么点P在
直线l上的充要条件是什么
3.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
答案:A
二、空间中平面的向量表示
1.如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,这两条直线的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,那么点P在平面α内的充要条件是什么
(2)平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a· =0}.
3.已知平面α内一点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点在平面α内的是( )
答案:B
三、空间中直线、平面的平行
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,且l1 α.试根据直线的方向向量、平面的法向量的定义回答下列问题:
(1)如何用u1,u2表示l1∥l2
提示:l1∥l2 u1∥u2.
(2)如何用u1,n1表示l1∥α
提示:l1∥α u1⊥n1.
(3)如何用n1,n2表示α∥β
提示:α∥β n1∥n2.
2.空间中直线、平面的平行
3.(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( )
(2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l α,则l与α的位置关系是 .
解析:(1)∵l1∥l2,
∴a∥b.
∴存在λ∈R,使得a=λb,
则有2=3λ,4=λx,5=λy,
(2)∵v·n=2-4+2=0,
∴v⊥n.
又l α,∴l∥α.
答案:(1)D (2)l∥α
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)一个平面的法向量都是同向的.( × )
(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ )
(3)直线的方向向量与平面的法向量平行时,直线与平面平行.( × )
(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求平面的法向量
【例1】 如图,已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的空间直角坐标系.求:
(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
分析:先建系,求平面法向量的两种思路:一是找平
面的垂线;二是待定系数法设出法向量,利用法向量
与平面内的两条不共线的向量垂直,计算出平面的
一个法向量.
解:由题意知AD,AB,AS两两垂直.以A为原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,
∴AD⊥平面SAB,
反思感悟 1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.
2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组 有无数多个解,
只需给x,y,z中的一个变量赋予一个值((0,0,0)除外),即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.
【变式训练1】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点.如图,在空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
(2)平面BDEF的一个法向量.
解:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).
(1)连接AC(图略),因为AC⊥平面BDD1B1,
取x=2,则y=-2,z=-1.
所以,n=(2,-2,-1)为平面BDEF的一个法向量.
探究二
利用空间向量证明线线平行
【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
分析:转化为证明直线的方向向量平行.
又F AE,F EC1,所以AE∥FC1,EC1∥AF.
所以四边形AEC1F是平行四边形.
反思感悟 1.两直线平行 两直线的方向向量共线;
2.两直线的方向向量共线 两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必须指出两直线不重合.
【变式训练2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1, A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设DA=a,DC=b,DD1=c,
探究三
利用空间向量证明线面、面面平行
【例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
分析:(1)设向量n1为平面ADE的法向量,要让FC1∥平面ADE,需证明 ⊥n1.
(2)设向量n2为平面B1C1F的法向量,要让平面ADE∥平面B1C1F,需证明n1∥n2.
证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
(2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,
取y2=-1,则z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一个法向量.
因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法
方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示.
方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.
方法三:先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
2.利用空间向量证明面面平行,求出两平面的法向量,若两法向量是共线向量,则可判定两平面平行.
【变式训练3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
【易错辨析】
忽视直线与平面平行的条件致误
【典例】 已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v= (-2,1,-4),则直线l与平面α的位置关系为 .
错解:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,
∴u⊥v.∴l∥α,即直线与平面平行.
答案:l∥α
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题错误在于对直线与平面平行的条件理解不清,混淆了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.
正解:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,
∴u⊥v.∴l∥α或l α,即直线与平面平行或在平面内.
答案:l∥α或l α
防范措施 1.在用向量方法判断直线与平面的平行关系时,必须考虑直线是否在平面内.
2.若向量a与平面α的法向量垂直,则以a为方向向量的直线有可能与平面平行,也有可能在平面内.
【变式训练】 已知 =(-3,1,2),平面α的一个法向量为n=(2,-2,4),点A不在平面α内,则直线AB与平面α的位置关系为( )
A.AB⊥α B.AB α
C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥α
又点A不在平面α内,n为平面α的一个法向量,所以AB∥α,故选D.
答案:D
随堂练习
1.(多选题)如图,已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,建立如下空间直角坐标系,则下列结论正确的是( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
答案:ABC
2.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y2等于( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案:B
3.若平面α,β的法向量分别为(2x,1,3),(1,-2y,9),且α∥β,则x= ,
y= .
解析:∵l∥α,∴l的方向向量与α的法向量垂直.
答案:-8
5.如图,在多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4, EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.
证明:∵EF⊥平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,
∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又AE⊥EB,∴EB,EF,EA两两垂直.
以E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为
x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示.
由已知,得E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),(共48张PPT)
第一章
1.4.1
第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明有关直线、平面之间的垂直关系.
4.体会向量方法在研究直线、平面的位置关系中的应用.
5.提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
空间中直线、平面的垂直
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别为n1,n2.类似空间中直线、平面平行的向量表示,试根据直线的方向向量、平面的法向量的定义回答下列问题:
(1)如何用u1,u2表示l1⊥l2
提示:l1⊥l2 u1⊥u2.
(2)如何用u1,n1表示l1⊥α
提示:l1⊥α u1∥n1
(3)如何用n1,n2表示α⊥β
提示:α⊥β n1⊥n2
2.空间中直线、平面的垂直
3.(1)若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α斜交
(2)若平面α,β的法向量分别为m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,则x的值为( )
解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,
∴n∥a.∴l⊥α.
(2)∵α⊥β,∴它们的法向量互相垂直.
∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故选B.
答案:(1)B (2)B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两条直线的方向向量互相垂直,则这两条直线垂直.( √ )
(2)若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面垂直.( × )
(3)若两个平面垂直,则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( √ )
(4)若两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( × )
(5)若平面α,β的法向量分别为n1=(1,0,1),n2=(0,2,0),则α⊥β.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
利用向量证明线线垂直
【例1】 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN= CC1.求证:AB1⊥MN.
则{a,b,c}构成空间的一个基底.由已知条件和正三棱柱的性质,
得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0.
证法二:设线段AB的中点为O,连接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于点O1.
由题意知,可以以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.
反思感悟 利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤:
(1)基向量法
①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;
②把两条直线的方向向量用基底表示;
③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两条直线垂直.
(2)坐标法
①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;
②根据所求出点的坐标求出两条直线方向向量的坐标;
③计算两条直线方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
【变式训练1】 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N,使MN⊥DC1 并说明理由.
解:存在点N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则D(0,0,0),C1(0,2,3),M. 假设在DD1上存在一点N,使MN⊥DC1.
设N(0,0,h),0≤h≤3,
探究二
利用向量证明线面垂直
【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为棱CC1的中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.
证明:如图,取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
平面ABC⊥平面BCC1B1,
平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,
所以AO⊥平面BCC1B1.
即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
(方法二)设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
本例中增加条件:E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.
证明:建立空间直角坐标系Exyz,如图所示,
所以EF⊥EA,EF⊥ED.
又因为EA∩ED=E,所以EF⊥平面ADE.
反思感悟 1.坐标法证明线面垂直的两种思路
思路一:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
思路二:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)求出平面的法向量;
(4)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用思路二,否则常常选用思路一解决.
【变式训练2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B, DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F.
证明:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.设正方体的棱长为1,
取z=1,则y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一个法向量.
探究三
利用向量证明面面垂直
【例3】 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A= ,AB=AC=2A1C1 =2,D为BC中点.
证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明:建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,
所以BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1.
因为BC 平面BCC1B1,
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
因为n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2.
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思感悟 1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得证面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
【变式训练3】 在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°, ∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
证明:建立空间直角坐标系Bxyz,如图所示.
∵∠BCD=90°,
∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,且CD 平面BCD,
∴AB⊥CD.
又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
设n=(x,y,z)是平面BEF的法向量,
【规范解答】
【典例】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,C1B1的中点,G为CC1上任一点,tan∠ECD=4.
(1)求证:AG⊥EF;
(2)确定点G的位置,使AG⊥平面CEF,并说明理由.
审题策略:(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明;(2)假设存在,设出点G的坐标,利用线面垂直这个条件求解.
规范展示:因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以四边形ABCD是正方形,设其边长为2a.
∠ECD是EC与底面所成的角,而∠ECD=∠CEC1,已知tan∠ECD=4,所以CC1=4EC1=4a.
以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(0,0,0),C(2a,2a,0),C1(2a,2a,4a),E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),
答题模板:第1步:设出正方形的边长,计算棱柱的高
第2步:建立空间直角坐标系
第3步:求相关点的坐标
第4步:求出直线的方向向量的坐标,利用方向向量垂直,证明线线垂直
第5步:根据点G在CC1上,设出点G的坐标
第6步:利用AG⊥CE,对应向量的数量积为0,列出等式,得到点G的坐标
第7步:根据点G的坐标,下结论
反思感悟 通过分析,得出规范解答本题的要点如下:
(1)建系之前,根据已知条件整理好正四棱柱的长、宽、高的长度,长度设得巧妙;
(2)利用中点坐标公式或点共线的关系求出相关点的坐标;
(3)正确计算出向量的坐标和记住数量积的坐标公式;
(4)正确将线线垂直、线面垂直转化为对应向量之间的关系;
(5)正确把握探究性问题的解题思路.
【变式训练】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥DC;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.
(1)证明:由题意知,DA,DC,DP两两垂直.以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
(2)解:G∈平面PAD,设G(x,0,z)满足条件.
随堂练习
1.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是
( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
解析:∵a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b.∴α⊥β.
答案:B
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.
设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
答案:B
3.直线l1与l2的方向向量分别为a1,a2,若a1⊥a2,则l1与l2的位置关系为 .
解析:两直线的方向向量垂直,则这两条直线也垂直.
答案:垂直
4.已知直线l与平面α垂直,直线的一个方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z= .
解析:∵l⊥α,v∥α,∴u⊥v.
∴(1,3,z)·(3,-2,1)=0,即3-6+z=0,解得z=3.
答案:3
5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
取x1=1,则y1=1.所以,n1=(1,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量.
设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
取z2=4,则x2=1,y2=-1.所以n2=(1,-1,4)是平面AEC1的一个法向量.
因为n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0.
所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.(共43张PPT)
第1课时 用空间向量研究距离问题
第一章
1.4.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题.
3.能描述用向量方法解决距离问题的程序,体会向量方法在研究几何距离问题中的作用.
4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 点到直线的距离
(2)设与b方向相同的单位向量为e,那么向量a在向量b上的投影向量等于什么
(3)在上图中,怎样求线段MM1的长度 长度的表达式是什么
提示:在Rt△MOM1中,利用勾股定理可得MM1的长度;
2.点到直线的距离
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .
解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,连接GD1,
则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),
二、点到平面的距离
1.如图,平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,回答下列问题:
(1)点P到平面α的距离是哪一线段的长度
提示:线段PQ.
(2)从向量投影的角度来看,点P到平面α的距离又是什么
(3)根据向量投影的定义,你能得出点P到平面α的距离的表达式吗
2.点到平面的距离
3.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)点到直线的距离实质上就是点与直线上的一点构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的模.( × )
(2)点到平面的距离实质就是从该点出发的斜线段对应的向量在平面的法向量上的投影向量的长度.( √ )
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
点到直线的距离
【例1】 如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1的中点,求点M到直线AD1的距离.
分析:利用点到直线的距离公式求解.
若本例中的“点M是线段DC1的中点”改为“点M是线段DC1上的动点”,其他条件不变,试求点M到直线AD1距离的最小值.
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
第一步:依据图形先求出直线的单位方向向量u.
解:取AC的中点D,以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.
解:(1)建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,
则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
(2)根据题意,知A1D1 BC,
所以四边形A1BCD1为平行四边形.所以A1B∥D1C.
因为A1B 平面B1CD1,D1C 平面B1CD1,
所以A1B∥平面B1CD1.
同理BD∥平面B1CD1.
因为A1B∩BD=B,A1B 平面A1BD,BD 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1.
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.
反思感悟 用向量方法求点面距的步骤
(1)建系:建立适当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
提醒:用向量方法求线面距、面面距时一般要转化为求点面距.
【变式训练2】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合),使得点A1到平面AED的距离为
解:如图,以点C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),
所以,存在点E且当点E为A1B的中点时,点A1到平面AED的距离为 .
【易错辨析】
用向量方法求点到平面的距离时因选错向量致误
【典例】 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2 ,侧棱长为4,E,F分别为AB,BC的中点,则点D1到平面B1EF的距离d= .
错解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
防范措施 1.平面的法向量要计算正确.
2.计算点到平面的距离时,选取的向量是该点与平面内的一点构成的向量.
【变式训练】 如图,已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,N,D分别是AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为 .
解析:建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.
∵N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),
随堂练习
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E是CC1的中点,则点E到A1B的距离为( )
答案:D
解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.连接A1E.
∵A1(4,0,4),B(4,4,0),E(0,4,2),
2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点C1到平面A1BD的距离是( )
答案:D
解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AC1,BC1,如图所示.
3.若直角三角形ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到AB的距离是 .
解析:连接AP,以C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
答案:3
4.已知直线AB∥平面α,平面α的法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为 .
5.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.
解:建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示,
则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),(共55张PPT)
第2课时 用空间向量研究夹角问题
第一章
1.4.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.
3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题.
4.能描述用向量方法解决夹角问题的程序,体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用.
5.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线与直线所成的角
1.根据立体几何知识,我们怎样求两条异面直线a,b的夹角 异面直线所成的角的范围是什么
2.设直线a,b的夹角为θ,方向向量分别为a,b,那么夹角θ与方向向量的夹角
之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
提示:当0°≤≤90°时,θ=;
当90°<≤180°时,θ=180°-.cos θ=|cos|.
3.异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos|
= .
4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1= 2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设AB=1,
答案:D
二、直线与平面所成的角
1.如图,直线AB与平面α斜交,交点为B,怎样求直线AB与
平面α所成的角 直线与平面α所成的角的范围是什么
2.如图,设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成的角为θ,那么θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的三角函数值满足什么等式
提示:=90°-θ或90°+θ.sin θ=|cos|.
3.直线与平面所成的角
直线与平面相交,设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量为u,平面的
法向量为n,则sin θ=|cos|= .
4.已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos= - ,则l与α所成的角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
解析:设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos|= ,即θ=60°.故选B.
答案:B
三、平面与平面所成的角
1.怎样求二面角α-l-β的平面角
提示:在棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α内作OA⊥l,在半平面β内作OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.范围是[0,π].
2.如图,设平面α,β的法向量分别是n1和n2,平面α与平面β的夹角为θ,那么θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
提示:=θ或180°-θ.cos θ=|cos|.
3.平面与平面所成的角
(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
(2)若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos|
= .
4.平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β的夹角为 .
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互补.( √ )
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角.( × )
(3)平面α与平面β的夹角的大小就等于这两个平面形成的二面角α-l-β的大小.( × )
(4)平面α与平面β的夹角为θ,法向量分别为n1,n2,则θ=.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求异面直线所成的角
【例1】 如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC= θ.当θ= 时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.
反思感悟 求异面直线所成角的方法
(1)几何法:
①作图:选择“特殊点”作异面直线的平行线,作出所求角;
②证明:证明所作角符合定义;
③计算:解三角形求解.
(2)坐标法:
①建系:建立空间直角坐标系;
②找坐标:求出两条异面直线的方向向量的坐标;
③求夹角:利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角;
④下结论:结合异面直线所成角的范围,得到异面直线所成的角.
提醒:两条异面直线所成角的取值范围是 .
【变式训练1】 如图,已知A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.
解:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设CB=CA=CC1=1,
探究二
求直线与平面所成的角
【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC, ∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求BD与平面ADMN所成的角.
分析:(1)建系,用向量方法证明垂直.
(2)先计算平面ADMN的法向量与直线BD的方向
向量的夹角,再转化为直线BD与平面ADMN所成的角.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
反思感悟 求直线与平面所成的角的方法与步骤
思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).
思路二:利用向量法求直线与平面所成的角θ的基本步骤
【变式训练2】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2, ∠BAC=90°,E,F分别为C1C,BC的中点.求直线A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解:以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),
探究三
求平面与平面的夹角
【例3】 如图所示,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC, PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角的大小.
分析:有两种思路,思路一:根据二面角的定义找出平面EAC与平面ABCD的夹角,再求其大小;思路二:建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用法向量的夹角与平面间的夹角之间的关系求解.
解法一:以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设PA=AB=a,AC=b,连接BD,与AC的交点为O,连接OE.取AD的中点F,连接OF,EF.
解法二:建系如解法一.∵PA⊥平面ABCD,
反思感悟 利用向量方法求平面与平面的夹角的大小时,多采用法向量法,具体求解步骤如下
(1)建立空间直角坐标系.
(2)分别求出两个平面的法向量n1和n2.
(3)设两平面间的夹角为θ,则cos θ=|cos|.
(4)根据余弦值,确定两平面间的夹角的大小.
【变式训练3】 如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,BC= ,PA=AC=1,求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值.
解法一:以C为原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴,平行于AP的直线为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示,
解法二:以C为原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴,平行于AP的直线为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.
【规范解答】
利用空间向量解决空间几何的综合问题
【典例】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1 =AC=CB= AB.求平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值.
审题策略:建立空间直角坐标系,利用向量方法进行求解.
答题模板:第1步:建立空间直角坐标系
第2步:设点,求出向量坐标
第3步:用待定系数法求法向量坐标
第4步:求两个法向量的夹角的余弦值,进而求得正弦值.
反思感悟 通过分析,得出规范解答本题的要点如下
(1)利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而恰当地建立空间直角坐标系.
(2)利用中点公式正确地求出相关点的坐标.
(3)用待定系数法求出平面的法向量.
(4)利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为两平面夹角的正弦值.
【变式训练】 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求直线DP与平面ABFD所成角的正弦值.
(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF.
因为PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF.
又BF 平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解:作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
建立空间直角坐标系Hxyz,如图所示.
由(1)可得,DE⊥PE.
又DP=2,DE=1,
随堂练习
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为 ,则l1与l2所成的角为( )
解析:l1与l2所成角与其方向向量的夹角相等或互补,且异面直线所成角的
范围为 ,故l1与l2所成的角为 .
故选A.
答案:A
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为( )
答案:B
解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,设正方体的棱长为2,
则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
3.若平面α与平面β相交于直线l,在两个平面内与l垂直的两个向量分别为u=(0,-1,3),v=(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为 .
4.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是BC的中点.则直线A'C与DE所成角的余弦值为 .
解析:建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,
5.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1 =O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA=60°,求平面B1OC1 与平面BDD1B1夹角的余弦值.
(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,
所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,
又CC1∥DD1∥OO1,
所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.
因为AC∩BD=O,
所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解:因为四棱柱的所有棱长都相等,
所以四边形ABCD为菱形,即AC⊥BD,
又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱柱的棱长为2.