射洪中学高2023级高二上期入学考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.小强希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）
A.100 B.105 C.110 D.120
4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（ ）
A.6 B.6π C.3π D.6π
5.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.若向量，，则（ ）
A. B.
C.在上的投影向量为 D. 与的夹角为
10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则.
B.若，，则三角形有一解.
C.若，则一定为等腰直角三角形.
D.若面积为，，则.
11.如图，在矩形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCDE，若点M为线段PC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线平面PDE
B.
C.点C到平面PDE的距离为
D.PC与平面BCDE所成角的正切值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数为纯虚数，则实数 .
13. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人
14. 在梯形中，，则该梯形周长的最大值为____________
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知向量.
(1)已知且，求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角
▲
16.（15分）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求.
▲
17.（15分）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
▲
18.（17分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
▲
19.（17分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
(1)求证：平面MAC；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
▲射洪中学高2023级高二上期入学考试
数学参考答案
单选题 1 D 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 C
多选题 9 B C 10 A B D 11 A C D
三．填空题. 12 __5__ 13 __9__ 14 ____
四．解答题.
15.【详解】（1）已知向量，又，设，
又，则，解得，所以或；
（2）由题知，，，，所以，，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以向量与向量的夹角为．
16.【详解】（1）由，，得，
，于是.
（2）由，得，又，
，
由得：
．
17.【详解】（1）由函数的部分图象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
可得，；
18.【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，
，
．
（2）成绩落在，内的频率为，
落在，内的频率为，
设第75百分位数为，
由，得，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在，的市民人数为，
成绩在，的市民人数为，
故．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
19.【详解】（1）设，交于点，连接，则为中点.
在中，，分别为，中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，，平面.
所以平面.
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角.
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为.
（3）存在点，当时，平面平面.
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，所以平面.
因为平面，所以.
因为底面是正方形，所以.
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面.
