(共37张PPT)
2.1.1 倾斜角与斜率
第二章
2.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
4.掌握倾斜角与斜率之间的关系.
5.体会数学抽象和直观想象的过程,加强逻辑思维与数学运算能力的培养.
自主预习 新知导学
一、直线的倾斜角
1.在平面直角坐标系中,经过一点P(2,2)可以作多少条直线 这些直线区别在哪里呢
提示:经过点P(2,2)可以作无数条直线l1,l2,l3,…,如图所示.
区别是它们的方向不同.
2.如何表示题1中这些直线的方向呢
提示:这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
3.直线的倾斜角
4.如图所示,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135°
C.0° D.不存在
解析:由题图可知,直线l的倾斜角为45°+90°=135°.
答案:B
二、直线的斜率
1.我们知道,两点确定一条直线,进而它的倾斜角也就确定了.在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α,请用向量法回答下列问题:
(1)已知直线l经过点O(0,0),P(1,1),则倾斜角α与点O,P的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线l经过点P1(1,0),P2(-1,2),那么倾斜角α与点P1,P2的坐标有什么关系
(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,那么倾斜角α与点P1,P2的坐标有怎样的关系
(2)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.
(4)在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,它们的对应关系如表所示:
3.(1)已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于( )
(2)已知直线l的倾斜角α=60°,则其斜率k= .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应.( √ )
(2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应.( × )
(3)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.( × )
(4)直线的斜率随倾斜角α的增大而增大.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求直线的倾斜角
【例1】 (1)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
(2)已知直线l1过原点,其倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为 .
分析:对于(1),由于α不确定,需分情况讨论;对于(2),画出图象,利用图象求解.
解析:(1)因为0°≤α<180°,所以选项A,B,C未分类讨论,均不全面,故不正确.
根据题意,画出大致图形,如图所示.
当0°≤α<135°时,直线l1的倾斜角为α+45°,如图①所示;
当135°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°,如图②所示.故选D.
(2)设直线l2的倾斜角为α2(示意图如图).
由对顶角相等可得,α2=15°+75°=90°,即直线l2的倾斜角为90°.
答案:(1)D (2)90°
反思感悟 求直线的倾斜角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用.
【变式训练1】 已知y轴正向与直线l向上的方向之间所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 .
解析:有如下两种情况:
如图①,直线l向上的方向与x轴正向
之间所成的角为60°,即直线l的倾斜
角为60°.
如图②,直线l向上的方向与x轴正向
之间所成的角为120°,即直线l的倾
斜角为120°.
答案:60°或120°
探究二
求直线的斜率
【例2】 已知平面直角坐标系中三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.
分析:(1)利用斜率公式求斜率,由斜率与倾斜角的关系求倾斜角;(2)结合图形,根据直线CD斜率的变化情况,确定其范围.
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性,得直线AB的倾斜角为0°;直线BC的倾斜角为60°;直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图,当动点D由点A移动到点B时,
直线CD的斜率k由kAC增大到kBC,
本例条件中,将C点坐标改为C ,D为线段AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.
解:如图,作CE⊥AB,垂足为E.
当动点D由点A向点E移动过程中,直线CD的斜率k>0,且k在增大;当动点D移动到点E时,k不存在;当动点D过点E向点B移动过程中,k<0,且k在增大.
反思感悟 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时,可利用斜率公式求解.应用斜率公式时,应先判定两定点的横坐标是否相等.若相等,则直线垂直于x轴,此时斜率不存在;若不相等,则代入斜率公式求解.
【变式训练2】 (1)若经过A(2,1),B(1,m2)两点的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>-1
C.-11或m<-1
(2)经过A(4,-1),B(2,-3)两点的直线的方向向量为(1,k),则k= .
答案:(1)C (2)1
探究三
斜率与倾斜角的应用
【例3】 已知直线l的倾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)三点在直线l上,求x2,y1的值.
分析:已知直线l的倾斜角可以求出其斜率,且P1,P2,P3三点在直线l上,故直线P1P2,P2P3的斜率均等于直线l的斜率,从而可以解出x2,y1的值.
解:∵α=45°,∴直线l的斜率k=tan 45°=1.
∵点P1,P2,P3都在直线l上,
反思感悟 斜率反映倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度,直线上任意两点所确定的直线的方向不变,即在同一条直线上任意不同的两点所确定的斜率相等,这正是可以利用斜率证明三点共线的原因.
【变式训练3】 如果A(2,1),B(-2,m),C(6,8)三点在同一条直线上,那么m的值为 .
答案:-6
【易错辨析】
因忽略两点斜率公式的条件而致误
【典例】 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.
所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:忽略了斜率不存在,即m=1的情况.未考虑斜率公式运用的条件.
正解:当m=1时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角α=90°.
防范措施 1.斜率公式k= 的适用前提条件为x1≠x2,因此若点的坐标中含有未知数,在计算直线的斜率时,要保证斜率公式有意义.
2.直线的倾斜角α的范围是[0,π),根据斜率求倾斜角时,注意结合正切函数在区间[0,π)上的图象求解.
【变式训练】 已知直线l经过点P(4,2),Q(2m,1),求直线l的斜率.
随堂练习
1.下图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
A.① B.①②
C.①③ D.②④
解析:结合直线倾斜角的概念可知选A.
答案:A
2.在平面直角坐标系中,一条直线的斜率为 ,则此直线的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:由题意知tan α= .
∵0°≤α<180°,
∴α=60°.
答案:B
答案:A
4.若过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的倾斜角是45°,则y= .
解析:直线的倾斜角为45°,则其斜率k=tan 45°=1.
答案:-1
5.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求此直线的斜率及a,b的值.(共34张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
第二章
2.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解两条直线平行或垂直的充要条件.
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题.
4.提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、两条直线平行与斜率之间的关系
1.如图,设两条不重合的直线l1与l2,其倾斜角分别为α1
与α2,斜率分别为k1,k2.若l1∥l2,则α1与α2之间有什么关系
k1与k2之间有什么关系
提示:α1与α2之间的关系为α1=α2.对于k1与k2之间的关系,
当α1=α2≠90°时,因为α1=α2,所以tan α1=tan α2,即k1=k2;当α1=α2=90°时, k1,k2不存在.
2.对于两条不重合的直线l1与l2,若k1=k2,是否一定有l1∥l2 为什么
提示:一定有l1∥l2.因为k1=k2 tan α1=tan α2 α1=α2 l1∥l2.
3.两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,当斜率都存在时,分别为k1,k2,则对应关系如下表所示.
4.已知直线l1经过(-1,-2),(-1,4)两点,直线l2经过(2,1),(x,6)两点,若l1∥l2,则x= .
解析:由题意知l1⊥x轴.
因为l1∥l2,所以l2⊥x轴.
所以x=2.
答案:2
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
1.设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,方向向量分别为a,b,请用k1,k2写出向量a,b的坐标.
提示:a=(1,k1),b=(1,k2).
2.如果l1⊥l2,那么方向向量a,b有什么关系 你会得出怎样的关系式
提示:a⊥b.l1⊥l2 a⊥b a·b=0 1×1+k1k2=0,即k1k2=-1.
3.当直线l1或l2的倾斜角为0°时,若l1⊥l2,则另一条
直线的倾斜角是多少
提示:如图,当直线l1的倾斜角为0°时,若l1⊥l2,
则l2的倾斜角为90°,故当一条直线的倾斜角为0°时,
另一条直线的倾斜角为90°.
4.两条直线垂直与斜率的关系
5.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1⊥l2,则k2= .
解析:∵l1⊥l2,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两条直线平行,则斜率一定相等.( × )
(2)斜率相等的两条直线(不重合)一定平行.( √ )
(3)只有斜率之积为-1的两条直线才垂直.( × )
(4)若两条直线垂直,则斜率乘积为-1.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
两条直线平行
【例1】 (1)下列各对直线互相平行的是( )
A.经过A(0,1),B(1,0)两点的直线l1与经过M(-1,3),N(2,0)两点的直线l2
B.经过A(-1,-2),B(1,2)两点的直线l1与经过M(-2,-1),N(0,-2)两点的直线l2
C.经过A(1,2),B(1,3)两点的直线l1与经过C(1,-1),D(1,4)两点的直线l2
D.经过A(3,2),B(3,-1)两点的直线l1与经过M(1,-1),N(3,2)两点的直线l2
(2)已知 ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 .
分析:对于(1),判断两条直线是否平行,若斜率存在,看直线的斜率是否相等,若斜率不存在,结合图形判断;对于(2),利用两条直线平行,当斜率存在时,斜率相等,列出方程组,求出点D的坐标.
(2)设顶点D的坐标为(x,y),则x≠4,x≠0.
∴点D的坐标为(3,4).
答案:(1)A (2)(3,4)
反思感悟 1.判断两条直线是否平行,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下).
2.已知两条直线平行,求某参数值时,也应分斜率存在与不存在两种情况求解.
【变式训练1】 直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2经过点(-1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为( )
A.(3,0) B.(-3,0)
C.(0,-3) D.(0,3)
解析:∵k1=2,且l1∥l2,∴k2=2.
答案:D
探究二
两条直线垂直
【例2】 (1)(多选题)下列选项中直线l1与l2垂直的是( )
A.l1经过点A(-3,-4),B(1,3),l2经过点M(-4,-3),N(3,1)
B.l1的斜率为-10,l2的方向向量为a=(10,1)
C.l1经过点A(1,4),B(1,1),l2经过点M(-1,4),N(1,4)
D.l1的倾斜角为135°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6)
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
分析:当两条直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若其中一条直线的斜率不存在,则由另一条直线的斜率为0求解.
答案:BC
(2)解:由题意,知l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.
当l1的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,符合题意.
综上所述,a的值为0或5.
反思感悟 两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提是两条直线的斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.
【变式训练2】 已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a= .
解析:由题意知直线l2的斜率存在,则3a≠0,即a≠0.
答案:1或3
探究三
直线平行与垂直关系的综合应用
【例3】 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.
分析:先由图形判断四边形各边的关系,猜测四边形的形状,再由斜率之间的关系完成证明.
解:A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示,
∵kAB=kCD,且由图知AB与CD不重合,
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC,知AD与BC不平行.
又kABkAD= ×(-3)=-1,
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则点D的坐标为 .
解析:设点D的坐标为(x,y).
∴点D(2,3).
答案:(2,3)
方法总结 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
【变式训练3】 已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则点D的坐标为( )
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
解析:设D(x,y).因为直线AB的斜率不为0,直线CB的斜率存在,所以直线CD,AD的斜率存在.
答案:D
【易错辨析】
求参数时因忽视斜率不存在的情况致误
【典例】 已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2)四点,若直线AB⊥CD,求m的值.
∴m的值为1.
以上解答过程中错误出现的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题出错的原因正是忽视了斜率公式应用的前提,这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论.
正解:∵A,B两点纵坐标不相等,
∴AB与x轴不平行.∵AB⊥CD,
∴CD与x轴不垂直,∴-m≠3,即m≠-3.
①当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.
∵当m=-1时,点C,D的纵坐标均为-1.
∴CD∥x轴,此时AB⊥CD,符合题意.
②当AB与x轴不垂直时,m≠-1,
综上,m的值为-1或1.
防范措施 两条直线垂直 k1k2=-1的前提条件是k1,k2均存在,且不为零.当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.
【变式训练】 已知A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1)三点,若AB⊥BC,则m的值为 .
综上,若AB⊥BC,则m=2或m=-3.
答案:2或-3
随堂练习
1.已知经过点A(-2,m),B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )
A.0 B.-8
C.2 D.10
解析:由题意得经过A,B两点的直线的斜率存在,则m≠-2.
答案:B
2.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(1,-2),C(-2,4),则BC边上的高所在直线的斜率为( )
答案:C
3.以点A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以点A为直角顶点的直角三角形
D.以点B为直角顶点的直角三角形
∵kABkAC=-1,∴AB⊥AC,即∠A为直角.
答案:C
4.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x= ,y= .
解析:∵l1⊥l2,且l1的斜率为2,
答案:-1 7
