(共36张PPT)
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
第二章
2.3
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式,并能灵活应用.
4.了解坐标法的解题步骤.
5.提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、两条直线的交点坐标
1.直线l上的点的坐标与其方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么样的关系
提示:直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直线l上的点的坐标.
2.已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点坐标
提示:两条直线的方程组成方程组,方程组的解就是这两条直线的交点坐标.
3.由两条直线的方程组成的方程组,若方程组有唯一解,说明两条直线是什么位置关系 若无解或有无数组解呢
提示:若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数组解,则两条直线重合.
4.直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示.
5.直线x-2y+3=0与直线2x-y+3=0的交点坐标为( )
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(-1,-1)
答案:A
二、两点间的距离公式
②当P1P2∥x轴,即y1=y2时,|P1P2|=|x2-x1|.
③当P1P2∥y轴,即x1=x2时,|P1P2|=|y2-y1|.
4.已知点M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于( )
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若由两条直线的方程组成的方程组有解,则两条直线相交.( × )
(2)若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交.( √ )
(3)若两条直线的斜率一个存在,另一个不存在,则两条直线相交.( √ )
(5)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),当P1P2⊥x轴时,|P1P2|=|x2-x1|.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
两直线的交点问题
【例1】 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:
(1)l1:2x-y=7, l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0, l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0, l2:y=-2x+3.
分析:通过联立方程,解方程组确定解的个数,判定直线的位置关系.
反思感悟 方程组有唯一解,说明两条直线相交;方程组无解,说明两条直线平行;方程组有无数组解,说明两条直线重合.
【变式训练1】 若三条直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0相交于一点,则k的值是( )
答案:B
探究二
直线系方程
【例2】 (1)求经过点P(1,0)和两条直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0的交点的直线方程;
(2)求证:不论m取何实数,直线(3m+1)x-(2m-1)y+3m-1=0都经过一个定点,并求这个定点的坐标.
分析:(1)法一:求出交点坐标,应用两点式写出直线方程;法二:设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)法一:对m取特殊值,得到两条直线的方程,定点即为两条直线的交点;法二:将方程整理为关于m的方程,由方程的解为全体实数,求出定点.
故直线经过点P(1,0),(0,1),由两点式可得所求直线的方程为x+y-1=0.
解法二:∵直线l2不经过点P,
∴设所求的直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,λ∈R.
(2)证法一:令m=0,得x+y-1=0,①
令m=1,得4x-y+2=0,②
证法二:方程可化为(x+y-1)+m(3x-2y+3)=0.
反思感悟 经过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,λ∈R(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
【变式训练2】 (1)经过直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点,且与直线x+2y=0垂直的直线方程为 .
(2)不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点,则此定点坐标为 .
由点斜式得y+2=2(x+1),即2x-y=0.
(方法二)由题意可设所求的直线方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,λ∈R,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0.
由题意得2+λ+2(3-λ)=0,解得λ=8.
故所求的直线方程为10x-5y=0,即2x-y=0.
(2)直线l的方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5可化为m(x+2y-1)-x-y+5=0.
则此定点坐标为(9,-4).
答案:(1)2x-y=0 (2)(9,-4)
探究三
两点间距离公式的应用
【例3】 在直线l:3x-y+1=0上求一点P,使点P到A(1,-1),B(2,0)两点的距离相等.
分析:解答本题有两种方法:(1)设点P坐标(x,y),由点P在直线上和|PA|=|PB|,根据两点间距离公式建立关于x,y的方程,解方程组得点P的坐标.(2)由|PA|=|PB|知点P在线段AB的垂直平分线上,再解由两条直线的方程组成的方程组得交点P的坐标.
解法一:设点P的坐标为(x,y).
由点P在直线l上和点P到A,B两点的距离相等建立方程组
解法二:设点P的坐标为(x,y).
A(1,-1),B(2,0)两点连线所得线段的垂直平分线方程为x+y-1=0,①
已知3x-y+1=0,②
所以点P的坐标为(0,1).
反思感悟 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.
【变式训练3】 已知点A(4,12),P为x轴上的一点,且点P与点A的距离等于13,则点P的坐标为 .
解得x=-1或x=9.
所以点P的坐标为(-1,0)或(9,0).
答案:(-1,0)或(9,0)
【思想方法】
【典例】 如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是边BC上异于点B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
审题视角:建立适当的平面直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:以边BC的中点为原点O,边BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系如图所示.
设A(0,a),C(b,0),D(m,0)(-b由题意知,B(-b,0).
由两点间的距离公式,得|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2.
∵|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
方法点睛 1.用“坐标法”解决平面几何问题时,关键要结合图形的特征,建立适当的平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算.
(2)若条件中有互相垂直的两条直线,则考虑将它们作为两坐标轴;若图形为中心对称图形,则考虑将中心作为原点;若图形为轴对称图形,则考虑将对称轴作为坐标轴.
2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤
第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量.
第二步:进行有关代数运算.
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
【变式训练】 已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.
求证:|AC|=|BD|.
证明:以点A为坐标原点,边OB所在直线为x轴,
建立平面直角坐标系如图所示.
设B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).
随堂练习
1.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是( )
A.(2,2) B.(2,-2)
C.(-2,2) D.(-2,-2)
所以交点坐标为(-2,2).
答案:C
2.经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且经过原点的直线的方程为( )
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.19x-3y=0 D.3x+19y=0
答案:D
3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则实数a的值为( )
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
答案:C
4.不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐标为 .
解析:直线l的方程可化为a(x-y+1)+2x-y-2=0.
答案:(3,4)
5.已知△ABC三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
解法一:由两点间的距离公式,得
∵|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴|AC|=|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形.(共36张PPT)
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
第二章
2.3
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.
2.掌握两条平行直线间的距离公式.
3.会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离.
4.提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、点到直线的距离公式
1.如图,平面上点P到直线l的距离是指什么
提示:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.
2.如图,设点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,取直线l的方向向量a=(B,-A),如何利用向量垂直求垂足Q的坐标 如何求
3.点到直线的距离
(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
4.在平面直角坐标系中,原点(0,0)到直线x+2y-5=0的距离为( )
答案:D
二、两条平行直线间的距离
1.两条平行直线间的距离是指什么
提示:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
2.直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y-2=0与直线l1平行,那么点A,B,C到直线l2的距离分别是多少 有什么规律吗
3.已知直线l1:Ax+By+C1=0(A,B不同时为0),直线l2:Ax+By+C2=0(C2≠C1),如何推导出l1与l2间的距离公式呢
提示:在直线l1:Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到直线l2:Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离,
4.两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
5.两条平行直线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0间的距离为( )
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)当A=0或B=0或点P在直线l上时,点P到直线l:Ax+By+C=0的距离公式仍然适用.( √ )
(2)当两条直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.( √ )
(3)在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线方程中x,y的系数对应成比例即可.( × )
(4)点P(x0,y0)到x轴的距离是d=y0.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
分析:对于(1)可用点到直线的距离公式求解,对于(2)(3)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解.
解:(1)由点到直线的距离公式,
(方法二)直线x=2与y轴平行,
由图①知d=|-1-2|=3.
(方法二)直线y-1=0与x轴平行,
由图②知d=|2-1|=1.
若点M(-2,1)到直线x+2y+C=0的距离为1,则C的值为 .
反思感悟 1.在应用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解.
2.在已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可.
【变式训练1】 已知直线l经过点A(-1,2),且原点到l的距离等于 ,求直线l的方程.
解:因为原点到直线x=-1的距离为1,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x+1),则化成一般式为kx-y+2+k=0.
故直线l的方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0或7x+y+5=0.
探究二
两条平行直线间的距离
【例2】 求两条平行直线l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0间的距离.
分析:思路一:直接应用两条平行直线间的距离公式d= ;思路二:先在直线l1上任取一点A(2,1),再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离.
所以直线l1与l2间的距离为1.
解法二:在直线l1上任取一点A(2,1),
解法一:应用两条平行直线间的距离公式求解.
所以直线l1与l2间的距离为1.
反思感悟 求两条平行直线间的距离有两种思路
(1)直接利用两条平行直线间的距离公式d= ,但必须注意两个直线方程中x,y的系数对应相等.
(2)利用“化归”法将求两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
【变式训练2】 已知直线l与直线3x+4y-1=0平行,且两条直线间的距离为4,则直线l的方程为 .
解析:设直线l的方程为3x+4y+C=0,
所以直线l的方程为3x+4y+19=0或3x+4y-21=0.
答案:3x+4y+19=0或3x+4y-21=0
探究三
距离公式的综合应用
【例3】 已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截的线段中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.
分析:可先设出点M的坐标,利用点M到两条平行直线的距离相等,求出点M的坐标,再用两点式写出直线l的方程,也可先求出与l1,l2平行且等距离的直线方程,再与方程x+y-3=0联立求出点M的坐标,最后由两点式写出直线l的方程.
解法一:∵点M在直线x+y-3=0上,
∴可设点M坐标为(t,3-t).
解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.
反思感悟 应用距离公式解答有关问题时,要注意以下几点
(1)直线的方程是一般式,在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线方程中x,y的系数对应相等.
(2)要结合图形,帮助解答.
(3)求直线方程时,要特别注意斜率不存在的情况.
【变式训练3】 求经过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线l的方程.
解法一:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,与A,B两点距离不相等,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.
解法二:由平面几何知识知,l∥AB或l经过线段AB的中点.
若l经过线段AB的中点N(1,1),则直线l的方程为y=1.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.
【思想方法】
巧用数形结合思想求两条平行直线间距离的最值问题
【典例】 两条互相平行的直线分别经过点A(6,2)和B(-3,-1),如果两条平行直线间的距离为d,求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,求两条直线的方程.
审题视角:解答本题可以利用运动变化的观点,让两条直线分别绕定点转动,观察它们之间距离的变化情况,从而得到d的变化范围.
故所求的两条直线的方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0,3x+y+10=0.
方法点睛 数形结合和运动变化是数学中常用的思想方法.当图形中的元素运动变化时,我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围.类似地,当直线l经过定点A时,点B到直线l的距离d也是当l⊥AB时最大,最大值为|AB|;当l经过点B时最小,最小值为零.
【变式训练】 设x+2y=1,则x2+y2的最小值是 .
随堂练习
1.点(4,3)到直线x=7的距离为( )
A.-3 B.3 C.11 D.4
答案:B
2.若点A(a,1)到直线3x-4y=1的距离d为1,则a的值为( )
答案:C
3.已知两条直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
答案:D
4.已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两条直线间的距离为 ,则a= .
解得a=-3或a=1.
答案:-3或1
5.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面积S.
解:由两点间的距离公式,
