(共37张PPT)
第1课时 直线与圆的位置关系
第二章
2.5.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解直线与圆的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
3.能解决有关直线与圆的位置关系的问题.
4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
直线与圆的位置关系的判定方法
大海上初升的红日,在冉冉升起的过程中,展现出迷人的风采,同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.
1.怎样用几何法即用圆心到直线的距离d与
圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置
关系
提示:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r
的大小关系判断直线与圆的位置关系如下:
若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d
2.直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
当方程组无解,直线与圆相离;当方程组有一组解,直线与圆相切;当方程组有两组解,直线与圆相交.
3.直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
4.(1)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不经过圆心
C.直线经过圆心 D.相离
(2)过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,切线方程为 .
∵直线y=x+1不经过圆心(0,0),
∴直线与圆相交但不经过圆心.
(2)∵圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,
∴圆与x轴、y轴都相切.
∴所求切线方程为x=0或y=0.
答案:(1)B (2)x=0或y=0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)判断直线与圆的位置关系,只能用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断.( × )
(2)过圆外一点作圆的切线有两条.( √ )
(3)当直线与圆相离时,可求圆上的点到直线的最大距离和最小距离.( √ )
(4)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与圆的位置关系的判断
【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
分析:直线与圆有两个公共点 直线与圆相交;直线与圆只有一个公共点 直线与圆相切;直线与圆没有公共点 直线与圆相离.
解法一:将直线方程y=mx-m-1代入圆的方程,
化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4).
解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心C(2,1),半径r=2.
反思感悟 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径的大小关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据已知条件选择合适的解题方法.
【变式训练1】 直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
解析:由题意得,直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1).
∵(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7<0,
∴定点(-1,-1)在圆内,
∴直线与圆相交.
答案:B
探究二
直线与圆相切
【例2】 若直线l经过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程.
分析:可以利用几何法和代数法两种思路求切线方程.
解:∵(2-1)2+(3+2)2>1,∴点P在圆外.
(方法一)①若直线l的斜率存在,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.
∵直线l与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2,经验证,符合题意.
因此,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
(方法二)①若直线l的斜率存在,设l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3.
与圆的方程联立消去y,得(x-1)2+[k(x-2)+3+2]2=1,
整理得(k2+1)x2-(4k2-10k+2)x+4k2-20k+25=0.
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2,经验证,符合题意.
因此,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
若本例点P的坐标改为P(2,-2),其他条件不变,求直线l的方程.
解:∵(2-1)2+(-2+2)2=1,
∴点P在圆上,∴过点P的圆的切线有一条.
∵圆心(1,-2),点P(2,-2),
∴过圆心与点P的直线平行于x轴,
∴切线方程为x=2,即直线l的方程为x=2.
反思感悟 圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法:设出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意则直接写出切线方程.一般地,求圆的切线方程或与切线有关的问题常用此方法.
(2)代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出切线的方程.
提醒:过一点求圆的切线方程,一定要判断该点是在圆上还是在圆外,在圆上只有一条切线方程,在圆外有两条切线方程.
【变式训练2】 (1)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b=( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
(2)过点P(2,1)引圆x2+(y-2)2=1的切线,则切线长为 .
解析:(1)易知圆心坐标为(1,1),半径r=1,
∵直线与圆相切,
答案:(1)D (2)2
探究三
直线与圆相交
【例3】 已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,且|AB|=3 ,求直线l的方程.
分析:(1)利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断或利用直线的定点与圆的位置关系判断.
(2)利用半径、弦的一半和弦心距的关系,求出圆心到直线的距离,再由此求m值,即得l的方程.
所以直线l与圆C相交.
(方法二)由题意得,直线mx-y+1-m=0恒过定点(1,1).
∵12+12-2×1-4<0,
∴定点(1,1)在圆内,∴直线l与圆C相交.
(2)设圆心到直线l的距离为d,
解得m=±1,所以所求直线为x-y=0或x+y-2=0.
反思感悟 求直线与圆相交时弦长的两种方法:
【变式训练3】 若过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 ,则直线l的方程为 .
解析:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25,则圆心坐标为(0,-2),半径为5.
若直线l的斜率不存在,则直线方程为x=-3.
圆心到该直线的距离为3,又圆的半径为5,所以弦长为8,不符合题意,舍去.
若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
即x+2y+9=0或2x-y+3=0.
答案:x+2y+9=0或2x-y+3=0
【易错辨析】
忽略直线斜率不存在的情况致误
【典例】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线a的方程.
错解:设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解忽略了直线a的斜率不存在的情况.
正解:①当直线a的斜率存在时,设直线a的方程为y-3=k(x-2),
即kx-y+3-2k=0.
如错解中的图所示,作MC⊥AB交AB于点C,
所以,直线a的方程为3x-4y+6=0.
②当直线a的斜率不存在时,直线方程为x=2,
圆心M(1,1)到此直线的距离也是1,符合题意.
综上,直线a的方程为3x-4y+6=0或x=2.
防范措施 点斜式方程并不能表示直线斜率不存在的情况,故在求直线方程时,若设点斜式方程,根据条件求得斜率后,应注意验证斜率不存在的情况是否满足题意.本题错解就是忽略了直线斜率不存在的情况而出错的.
【变式训练】 已知圆C的方程为x2+y2=4.
(1)求过点P(1,2),且与圆C相切的直线的方程;
(2)若直线l过点P(1,2),与圆C交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线l的方程.
解:(1)画出圆C与点P的大致图象(图略)知切线的斜率存在,
设切线方程为y-2=k(x-1).
故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.
(2)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,
故直线l的方程为3x-4y+5=0.
综上所述,直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.
随堂练习
1.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相交且过圆心 D.相离
解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4.
答案:D
答案:C
3.直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦长等于 .
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
答案:(x-2)2+(y+1)2=4
4.圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-1=0所得的弦长为2 ,则此圆的标准方程为 .
5.当a为何值时,直线2x-y+1=0与圆x2+y2=a2(a>0)相离、相切、相交
解:由圆的方程x2+y2=a2(a>0),知圆心为O(0,0),圆的半径r=a,(共36张PPT)
第2课时 直线与圆的方程的应用
第二章
2.5.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能正确理解直线与圆的方程.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
直线与圆的方程的应用
1.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
2.一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.0米
C.3.6米 D.4.5米
解析:根据题意,画出示意图,如图所示.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)利用坐标法解决几何问题时,可以随意建立坐标系.( × )
(2)在实际问题中,应注意变量的取值范围.( √ )
(3)用坐标法解决几何问题时,把平面几何问题转化为代数问题,直接解决代数问题就是所求的几何问题.( × )
(4)用坐标法解决平面几何问题共有三步:建系、求解、还原.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与圆的方程的实际应用
【例1】 已知台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,求B城市处于危险区内的时间.
分析:将实际应用问题转化为直线与圆相交求弦长问题.
解:以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示.
射线AC为∠xAy的角平分线,则台风中心沿射线AC方向移动.
反思感悟 1.解决直线与圆的方程的实际应用题的步骤:
2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则:
(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.
(3)尽量使更多的已知点位于坐标轴上.
【变式训练1】 有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍.如果A,B两地相距10 km,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点
解:以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,
建立平面直角坐标系如图所示.
设A(-5,0),则B(5,0).
在坐标平面内任取一点P(x,y),
设从A地运货到P地的运费为2a元/km,
则从B地运货到P地的运费为a元/km.
若P地居民去A地购买此商品的总费用较低,即P地居民去A地购买的运费较低,
也就是说,圆C内的居民应选择去A地购物,总费用较低.
同理可推得圆C外的居民应选择去B地购物,总费用较低.
圆C上的居民可任意选择A,B两地之一购物.
探究二
与圆有关的最值问题
【例2】 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1) 的最大值和最小值;
(2)y-x的最大值和最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
分析:本题可将 和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)间的距离的平方,然后结合图形求解.
解:方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,
(2)设y-x=b,则y=x+b表示经过圆上一点(x,y),斜率为1,在y轴上的截距为b的直线.
当直线与圆相切时,b取得最大、最小值.
(3)x2+y2表示圆上一点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处,圆上的点与原点的距离取得最大值和最小值.
若把本例2实数x,y满足的方程改为“(x-3)2+(y-3)2=6”,则 的最大值与最小值分别为 .
解析:设P(x,y),则点P的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6.
反思感悟 求与圆上的点的坐标有关的最值问题时,要根据式子的结构特征,寻找其几何意义,进而转化成与圆的性质有关的问题解决,其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法.
【变式训练2】 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 .
解析:圆的方程化为标准方程是(x-2)2+(y-2)2=18.
探究三
过直线与圆的交点的圆系方程
【例3】 求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.
分析:本题求面积最小的圆即求以两交点间的距离为直径的圆,可由过圆与直线交点的圆系方程求解.
解:设过圆x2+y2+2x-4y+1=0与直线2x+y+4=0的交点的圆系方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,其中λ∈R.
整理得x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.
要使圆的面积最小,只需半径r最小.
反思感悟 解答此类问题一般有如下两种方法:
(1)联立方程组,求出交点坐标,再根据交点坐标求方程.
(2)设圆系方程确定参数,一般地,过直线l:Ax+By+C=0与圆O: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交点的圆系方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,注意系数λ一定要写在直线方程之前.
【变式训练3】 一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是 .
解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,λ∈R,
即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.
故圆的方程为x2+y2+4y-6=0.
答案:x2+y2+4y-6=0
探究四
由直线与圆的位置关系求圆的方程
【例4】 设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且直线x-y+1=0被圆截得的弦长为2 ,求圆的方程.
分析:由对称点在圆上,可得圆心与直线的关系,再由弦长得到方程组,即可求解.
解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意知,直线x+2y=0过圆心,故a+2b=0.①
∵点A在圆上,∴(2-a)2+(3-b)2=r2.②
故所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
反思感悟 圆上的点关于直线的对称点仍在圆上,说明直线一定经过圆心.
【变式训练4】 已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x被圆C截得的弦长为2 ,则圆C的方程为 .
解析:设圆心坐标为(3m,m).
∵圆C和y轴相切,
由半径、弦心距、半弦长的关系,得9m2=7+2m2,解得m=±1.
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
答案:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
【易错辨析】
忽略方程中未知量的取值范围致误
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
本题因忽略方程中未知量的取值范围而致误.
防范措施 有关直线与圆的位置关系问题,要看清运动中的不变量,例如本例中直线的平行关系,并注意方程中变量的取值范围.
【变式训练】 上例中,改为直线l:y=x+b,与曲线C:y= 有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围为 .
解析:由例题图知,当直线与半圆相切时,b= ,符合题意;当直线经过点(1,0)时,b=-1,直线记为l3;当直线在l1与l3之间(包含l3),直线l与半圆有且仅有一个公共点.
因此,-1≤b<1或b= .
随堂练习
1.将直线x+y=1绕点(1,0)沿逆时针方向旋转90°后与圆x2+(y-1)2=r2(r>0)相切,则r的值是( )
解析:将直线x+y=1绕点(1,0)沿逆时针方向旋转90°后,所得直线的方程为x-y=1.圆的圆心坐标为(0,1),
∵旋转后的直线与圆相切,
答案:B
2.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近距离为( )
答案:C
3.已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为 .
故圆C的方程为(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0.
答案:x2+y2-4x=0
5.已知隧道的截面是一个半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道 假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的最大高度为多少
解:以隧道截面半圆的圆心为坐标原点,半圆直径所在直线为x轴,
建立平面直角坐标系如图所示,则半圆方程为x2+y2=16(y≥0).(共37张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
第二章
2.5
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.
2.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.
3.能应用圆与圆的位置关系解决相关问题.
4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
圆与圆的位置关系的判定方法
对于圆与圆的位置关系,是在将两圆放在同一平面内运动状态下,通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种,如图所示.
1.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-a)2+y2=1,
(1)两圆的半径r1,r2分别为多少
提示:r1=2,r2=1.
(2)若a=4,两圆的圆心距为多少 与两半径有何关系 两圆有何位置关系
提示:圆心C1(0,0),C2(4,0),|C1C2|=4,|C1C2|>r1+r2,外离.
(3)若a=3,两圆的圆心距为多少 与半径有何关系 两圆有何位置关系
提示:圆心C1(0,0),C2(3,0),|C1C2|=3,|C1C2|=r1+r2,外切.
(4)若a=2,两圆的圆心距为多少 与半径有何关系 两圆有何位置关系
提示:圆心C1(0,0),C2(2,0),|C1C2|=2,r1-r2<|C1C2|(5)若a=1,两圆的圆心距为多少 与半径有何关系 两圆有何位置关系
提示:圆心C1(0,0),C2(1,0),|C1C2|=1,|C1C2|=r1-r2,内切.
(6)若a=0,两圆的圆心距为多少 与半径有何关系 两圆有何位置关系
提示:圆心C1(0,0),C2(0,0),|C1C2|=0,|C1C2|2.如何利用两圆的半径和圆心距的大小关系即“几何法”来判定圆与圆的位置关系
提示:设圆C1,C2的圆心距为d,两圆的半径分别为r1,r2.
当d>r1+r2时,圆C1与圆C2外离;当d=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;当|r1-r2| 提示:联立两圆的方程,消去y后得到一个关于x的一元二次方程,当判别式Δ>0时,两圆相交;当Δ=0时,两圆外切或内切;当Δ<0时,两圆外离或内含.
4.圆与圆的位置关系的判定
(1)几何法:
5.(1)圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
(2)已知圆x2+y2=1和圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为 .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆有公共点,则两圆相交.( × )
(2)若两圆没有公共点,则两圆相离.( √ )
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.( × )
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
圆与圆的位置关系的判定
【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).求当a为何值时,两圆(1)相切 (2)相交 (3)相离
分析:先将圆的方程配方化成标准方程,再求出圆心距,然后与两半径的和或差比较大小,最后求出a的值.
解:圆C1的方程化成标准方程为(x-a)2+(y-1)2=16,圆C2的方程化成标准方程为(x-2a)2+(y-1)2=1,则圆心C1(a,1),r1=4,圆心C2(2a,1),r2=1,
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=|r1-r2|=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当|r1-r2|<|C1C2|(3)当|C1C2|>r1+r2,即a>5时,两圆外离;
当|C1C2|<|r1-r2|,即0若圆x2+y2=a与圆x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为 .
解析:∵x2+y2=a表示一个圆,∴a>0.
答案:1或121
反思感悟 判断两圆位置关系的方法有两种,一是代数法,看方程组的解的个数,但往往运算比较繁琐;二是几何法,看两圆的圆心距d,当d=r1+r2时,两圆外切;当d=|r1-r2|时,两圆内切;当d>r1+r2时,两圆外离;当d<|r1-r2|时,两圆内含;当|r1-r2| 【变式训练1】 圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:圆C1的半径r1=2,圆心C1(-1,-1),圆C2的半径r2=2,圆心C2(2,1),
两圆的圆心距|C1C2|= .
由于|r1-r2|<|C1C2|答案:B
探究二
两圆相交问题
【例2】 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、半弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
①-②,得x-y+4=0.
∵A,B两点坐标都满足此直线方程,
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).
设所求圆的圆心为(a,b),由于圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.
由圆心到A,B两点的距离相等,
(方法二)由题意可设经过两圆交点的圆的方程为
x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),
若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2 ,则a= .
答案:1
反思感悟 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用两点间的距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半满足勾股定理求解.
【变式训练2】 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0相交于A,B两点,求AB所在直线的方程和公共弦AB的长.
解:由圆C1的方程减去圆C2的方程,得方程3x-4y+6=0,则两圆交点的坐标都满足方程3x-4y+6=0.
故两圆公共弦AB所在直线的方程是3x-4y+6=0.
∵圆C1的方程化成标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,
∴圆心为C1(-1,3),半径r=3.
探究三
两圆相切问题
分析:要求圆的方程,需求出圆心坐标及半径,可利用直线与圆相切、圆与圆外切,建立关于a,b,r的方程组求解.
解:圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0),半径为1.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
反思感悟 1.圆与圆的位置关系主要是通过圆心距与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断.
2.直线与圆相切,即圆心到直线的距离等于半径,另结合圆的性质,圆心与切点的连线与切线垂直,充分利用圆的有关几何性质解题可以化繁为简,提高运算效率.
【变式训练3】 与圆O:x2+y2=25外切于点P(4,3),且半径为1的圆的方程是 .
解析:设所求圆的圆心为C(m,n),则O,P,C三点共线,且|OC|=6.
由题意知,圆心C的坐标位于第一象限,由两直角三角形相似,
【易错辨析】
两圆的位置关系考虑不全面致误
【典例】 求半径为4,与圆(x-2)2+(y-1)2=9相切,且和直线y=0相切的圆的方程.
错解:由题意知,所求圆的圆心为C(a,4),半径为4,故可设所求圆的方程为(x-a)2+(y-4)2=16.
已知圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:两圆相切分为内切和外切,与直线相切圆有两个位置,不要遗漏.
正解:设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).已知圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
由两圆相切,得|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.
①当圆心为C1(a,4)时,|CA|2=(a-2)2+(4-1)2=72或|CA|2=(a-2)2+(4-1)2=12 (无解),
②当圆心为C2(a,-4)时,|CA|2=(a-2)2+(-4-1)2=72或|CA|2=(a-2)2+(-4-1)2=12 (无解),
防范措施 两圆相切包括外切与内切,当两圆外切时,圆心距等于两半径之和;当两圆内切时,圆心距等于两半径差的绝对值.当题目中没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.
【变式训练】 已知圆A、圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为( )
A.6 cm或14 cm B.10 cm
C.14 cm D.无解
解析:设圆B的半径为r cm,
∵圆A与圆B相切包括内切与外切,
∴10=4+r或10=r-4,即r=6或14.
答案:A
随堂练习
1.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
解析:圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,圆x2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2,圆心距为 ,∵2-1< <2+1,∴两圆相交.
答案:C
2.两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+4)2=4外切,则正实数r的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:显然两圆心的距离d=5,∵两圆外切,
∴r+2=5,∴r=3.
答案:C
3.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析:∵半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,
∴动圆圆心到定圆圆心(5,-7)的距离为4+1或4-1,
∴动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.
答案:D
4.以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程是 .
解析:∵圆x2+y2=64的圆心为(0,0),半径r'=8,
设所求圆的半径为r,则|r-r'|=d,即|r-8|=5,解得r=3或r=13.
∴圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169.
答案:(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169
5.已知圆O1:(x-1)2+y2=4和圆O2:x2+(y- )2=9.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求两圆的公共弦长.
解:(1)由题意知两圆相交,将两圆的方程相减,