(共41张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
第三章
3.1
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程.
3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.
4.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、椭圆的定义
1.给你两枚图钉,一条无弹性定长的细绳,一张图板,一支铅笔.若将绳的两端系在同一枚图钉上,用笔尖挣紧细绳画图,则所得的图形是什么
提示:圆.
2.如图,若将细绳的两端分别固定在两枚图钉F1,F2上,两枚图钉分开一定距离(小于绳长),用笔尖挣紧细绳画图,则画出的图形又是什么 此时笔尖所在动点P与两枚图钉所在定点F1,F2满足的条件是什么
提示:画出的图形是一个椭圆,
动点P与定点F1,F2满足的条件是
|PF1|+|PF2|=绳长(定值).
3.椭圆的定义
4.下列说法正确的是( )
A.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D.到F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析:A中,|F1F2|=8,故到F1,F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2;B中,到F1,F2两点的距离之和6小于|F1F2|,故这样的轨迹不存在;C中,根据椭圆的定义,知轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
答案:C
二、椭圆的标准方程
1.我们知道,直线和圆都有方程,那么根据椭圆的特征,我们怎样建立平面直角坐标系,才能使椭圆的方程形式简单呢
提示:(以焦点在x轴上为例)椭圆具有对称性,过两个焦点的直线是它的对称轴,故我们以经过椭圆两个焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.
2.设M(x,y)是椭圆上任意一点,左右两个焦点分别为F1,F2,椭圆的焦距为2c(c>0),点M到焦点F1,F2的距离之和等于2a,那么点M满足的几何条件是什么 点F1,F2的坐标分别是什么
提示:{M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},F1(-c,0),F2(c,0).
3.用坐标表示上述几何条件,会得到怎样的表达式 化简这个表达式会得到什么样的式子
提示:|MF1|=|MF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,|MO|=b.
5.椭圆的标准方程
6.已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆.( × )
(2)在椭圆定义中,若将“大于|F1F2|”改为“等于F1F2”,其他条件不变,则点的轨迹为线段.( √ )
(3)到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆.( × )
(5)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.( √ )
(6)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax2+By2=1(其中A>0,B>0, A≠B).( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
分析:求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a,b的值,若不能确定焦点位置,则要讨论焦点在x轴上还是在y轴上.
解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
(3)(方法一)①当椭圆的焦点在x轴上时,
②当椭圆的焦点在y轴上时,
反思感悟 1.利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤:
(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算.
【变式训练1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,0)和(0,1);
解:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,
(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,
(3)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,
(方法二)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
探究二
椭圆的定义及其应用
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,
将等式两边进行完全平方,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,
∴|PF1|·|PF2|=25,
反思感悟 1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2.椭圆中的焦点三角形,椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
由余弦定理知,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 30°=|F1F2|2=(2c)2=4.②
①式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20.③
③-②,得(2+)|PF1|·|PF2|=16,
探究三
与椭圆有关的轨迹方程
【例3】 如图,一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
分析:根据两圆内切的特点,得出|MA|+|MB|=6>|AB|=4,故点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,进而求出a2,b2即可得点M的轨迹方程.
解:设|MA|=r,圆B的方程化为(x+2)2+y2=36,
则B(-2,0).
∵圆M与圆B内切,∴|MB|=6-r,
即|MB|+|MA|=6>|AB|=4.
∴点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.
∴2a=6,2c=4.∴b2=a2-c2=9-4=5.
解析:设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y.
反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
【变式训练3】 已知动圆与圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.
解:由已知,两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设有|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,
∴|MO1|+|MO2|=10(10>|O1O2|),
∴M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
【易错辨析】
忽略椭圆标准方程中的条件a>b而致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b这个条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.
防范措施 椭圆标准方程中,分母都大于零且不相等,在解题时,不仅要注意分母都大于零,还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程.
随堂练习
A.4 B.5 C.8 D.10
解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.
答案:D
A.(±4,0) B.(0,±4)
C.(±3,0) D.(0,±3)
解析:椭圆的焦点在y轴上,且c=3,故焦点坐标为(0,±3).
答案:D
3.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2 ,则此椭圆的标准方程为 .
答案:a>0,且a≠1
5.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长为18,建立适当的平面直角坐标系,求这个三角形顶点A的轨迹方程.
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.
由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|BC|+|AC|=18,
得|AB|+|AC|=10>|BC|=8.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=9.(共45张PPT)
第1课时 椭圆的简单几何性质
第三章
3.1.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握椭圆的简单几何性质.
2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.
3.掌握椭圆标准方程中的a,b以及c,e的几何意义,a,b,c,e之间的相互关系.
4.提升直观想象、数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、椭圆的简单几何性质
(1)通过观察图象,你发现椭圆C1和椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的
提示:椭圆C1上的点:-5≤x≤5,-4≤y≤4.椭圆C2上的点:-4≤x≤4,-5≤y≤5.
(2)在椭圆C1和椭圆C2的标准方程中,以-y代y,方程有什么变化 以-x代x,方程又有什么变化 以-x代x,以-y代y,方程又有什么变化 这说明椭圆有什么性质
提示:以-y代y,方程不变;以-x代x,方程也不变;以-x代x,以-y代y,方程也不变.说明椭圆关于x轴、y轴对称,也关于原点对称.
(3)观察图①②,椭圆C1和椭圆C2与x轴和y轴分别有几个交点 交点坐标分别是什么
提示:椭圆C1与x轴有2个交点,坐标为(-5,0)和(5,0),与y轴有2个交点,坐标为(0,-4),(0,4);椭圆C2与x轴有2个交点,坐标为(-4,0)和(4,0),与y轴有2个交点,坐标为(0,-5),(0,5).
2.椭圆的几何性质
3.(1)椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( )
(2)因为a=5,所以-5≤m≤5.
答案:(1)D (2)[-5,5]
二、离心率
3.离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率.
(2)性质:
①
②形象记忆:04.若直线x+2y-2=0经过椭圆 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率e= .
解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,在x+2y-2=0中,令y=0得x=2,从而得c=2;
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.( √ )
(3)椭圆的离心率e越小,椭圆越扁平.( × )
(4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上,则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
由椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 设椭圆mx2+4y2=4m(m>4)的离心率为 ,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
分析:先将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e= 求出m的值,然后求2a,2b、焦点坐标、顶点坐标.
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤:
(1)将椭圆方程化为标准形式;
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论);
(3)求出a,b,c;
(4)写出椭圆的几何性质.
其中长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.
【变式训练1】 已知椭圆x2+my2=1的离心率为 ,求m的值及椭圆的长轴长.
探究二
由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
(2)离心率e= ,焦距为12.
分析:焦点位置不确定,分两种情况利用待定系数法求解.
反思感悟 根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤
(1)基本方法:待定系数法.
(2)一般步骤:
【变式训练2】 已知椭圆以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的标准方程.
探究三
求椭圆的离心率
【例3】 (1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过点F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率是 .
解析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.
本例(1)中将条件“过点F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点,且AF1的中点B恰好在椭圆上,若△AF1F2为正三角形”,则椭圆的离心率是 .
解析:连接BF2(图略).
因为△AF1F2为正三角形, 且B为线段AF1的中点,
所以F2B⊥BF1.
反思感悟 求椭圆离心率的值(或取值范围)的两种方法
(2)方程(不等式)法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
【变式训练3】 (1)已知椭圆 (a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是( )
(2)已知F是椭圆的左焦点,A,B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点,P是椭圆上的一点,且PF⊥x轴,OP∥AB,则椭圆的离心率是 .
【易错辨析】
忽视椭圆焦点的位置致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:忽视对焦点所在位置的讨论,即漏掉了两种情况中的一种情况,从而导致答案不全.
正解:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=k+4,b2=4,
防范措施 当不清楚椭圆的焦点位置时,必须分情况讨论焦点位置.
【变式训练】 已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e= ,且过点P(2,3),求此椭圆的标准方程.
随堂练习
A.a2=15,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9
D.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
答案:C
A.8 B.7
C.5 D.4
解析:由题意得m-2>10-m,且10-m>0,于是6答案:A
3.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
解析:不妨设椭圆方程为 (a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.
∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,
D(共48张PPT)
第2课时 椭圆简单几何性质的应用
第三章
3.1.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.进一步掌握椭圆的方程及其简单几何性质的应用.
2.会判断直线与椭圆的位置关系.
3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.
4.提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、点与椭圆的位置关系
1.类比点与圆的位置关系,你能得出点P(x0,y0)与椭圆 (a>b>0)的位置关系有哪些
提示:点P在椭圆上,点P在椭圆内部,点P在椭圆外部.
二、直线与椭圆的位置关系
1.类比直线与圆的位置关系,思考直线与椭圆有几种位置关系 怎样判断其位置关系
提示:直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程,转化为关于x(或y)的一元二次方程,利用判别式Δ判断.
2.直线与椭圆的位置关系
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
Δ=22+12=16>0,
故直线与椭圆相交.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2) 在判断直线与椭圆的位置关系,联立直线方程与椭圆方程时,只能消去y得到关于x的一元二次方程.( × )
(3)过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.( × )
(6)直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
生活中的椭圆
【例1】 某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A,B所在直线为x轴,AB的垂直
平分线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪
发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
分析:(1)根据椭圆的定义求解;(2)利用点P既在椭圆上,又满足到点B的距离为3求解.
解:(1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆,
(2)由于A,B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3,
所以此时距A,B两岛的距离比为5∶3,即鱼群分别距A,B两岛的距离为5海里和3海里.
所以x=2,y=±3,所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3).
反思感悟 解决和椭圆有关的实际问题的思路
(1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题.
(2)确定椭圆的位置及要素,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.
(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
【变式训练1】 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状(如图所示),最大拱高h为6米,路面设计是双向车道,车道总宽为8 米,如果限制通行车辆的高度不超过4.5米,那么隧道设计的拱宽d至少应是 米.
∵车辆高度不超过4.5米,
∴a≥16,d=2a≥32,故拱宽至少为32米.
答案:32
探究二
直线与椭圆的位置关系
【例2】 已知直线y=x+m与椭圆 ,当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m的取值范围.
分析:将直线方程与椭圆方程联立,利用判别式Δ判断.
故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).
当Δ>0,即-5当Δ=0,即m=±5时,直线和椭圆相切;
当Δ<0,即m>5或m<-5时,直线和椭圆相离.
综上所述,当m>5或m<-5时直线与椭圆相离;
当m=±5时,直线与椭圆相切;
当-5反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系时,联立直线方程与椭圆方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,利用判别式Δ与0的大小比较来判断.
当Δ>0时,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,直线与椭圆相离.
提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.
【变式训练2】 若直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,求m的取值范围.
Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0对任意k∈R都成立.
∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴0解法二:∵直线y=kx+1过定点M(0,1),
∴要使直线与该椭圆总有公共点,
则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,
探究三
弦长问题
【例3】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
分析:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数解析式,通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
(2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.
反思感悟 求直线被椭圆截得的弦长的两种方法:
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求解;
(2)用弦长公式 求解,其中k为直线AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).
提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
【变式训练3】 (1)已知椭圆4x2+5y2=20的左焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,求弦长|AB|.
(2)椭圆有两个顶点A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,若|CD|= ,求直线l的方程.
当直线l垂直于x轴时,与题意不符,
设直线l的方程为y=kx+1,将其代入椭圆方程,化简,得(k2+2)x2+2kx-1=0.
探究四
中点弦问题
【例4】 过椭圆 内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A,B两点,使线段AB被点P平分,求此直线的方程.
分析:由于弦所在直线过定点P(2,1),所以可设出弦所在直线的方程为y-1 =k(x-2),与椭圆方程联立,通过中点为P,得出k的值,也可以通过设而不求的思想求直线的斜率.
解法一:如图,易知线段AB所在的直线斜率存在,
设所求直线的方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
解法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
本例条件不变,求弦长|AB|.
解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
反思感悟 关于中点弦问题,一般采用两种方法解决
(1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不求,从而简化运算.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系,从而使问题得以解决.
【变式训练4】 (1)已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,则直线l的方程为 .
(2)已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为 .
解析:(1)由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
设直线l与椭圆的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
(2)设椭圆方程为 (a>b>0),直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),
【思想方法】
椭圆中的最值问题
【典例】 如图,点A,B分别是椭圆 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离
等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
审题视角:(1)设出点P的坐标,根据点P在椭圆上
以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.
方法点睛 解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.
随堂练习
答案:C
答案:C
∵直线与椭圆有两个公共点,
∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m>0,解得m>1或m<0.
又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.
答案:(1,3)∪(3,+∞)
