(共38张PPT)
3.2.1 双曲线及其标准方程
第三章
3.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解双曲线的定义.
2.了解双曲线的几何图形和标准方程.
3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程.
4.提升数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、双曲线的定义
1.取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2处,把笔尖放于点M处,拉开闭拢的拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什么条件
提示:如题图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数(小于|F1F2|);如果改变一下位置,使|MF2|-|MF1|=常数(小于|F1F2|),可得到另一条曲线.
2.双曲线的定义
3.若动点P(x,y)到点A(-3,0),B(3,0)的距离之差为4,则点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条直线
D.一条射线
解析:由题意知,|PA|-|PB|=4<|AB|,故点P的轨迹是双曲线的一支.
答案:B
二、双曲线的标准方程
1.能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程 怎样推导
提示:能.
(1)建系:以经过两焦点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).
(2)设点:设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么双曲线的焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).
(3)列式:由|MF1|-|MF2|=±2a(0
2.类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 如何通过方程区分焦点所在的坐标轴
提示:焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 (a>0,b>0).双曲线的标准方程中,x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴:当x2的系数为正时,焦点在x轴上;当y2的系数为正时,焦点在y轴上,而与分母的大小无关.
3.双曲线的标准方程
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在双曲线的标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.( × )
(2)已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线.( × )
(5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线为双曲线. ( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求双曲线的标准方程
分析:先设出双曲线的标准方程,构造关于a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方程.注意对平方关系c2=a2+b2的运用.
反思感悟 1.求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程.
(2)求出a2,b2的值.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
【变式训练1】 (1)已知双曲线过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程;
解:(1)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0).
∵双曲线过点M(1,1),N(-2,5),
探究二
双曲线的定义及其应用
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积S.
分析:(1)直接利用定义求解.
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.即点M到另一个焦点的距离为10或22.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,
∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64,
反思感悟 求双曲线中的焦点三角形(△PF1F2)面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方、整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S= ×|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2求得面积.
(2)利用公式S= ×|F1F2|×|yP|求得面积.
【变式训练2】 (1)已知双曲线的方程是 ,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,点N是PF1的中点,O为坐标原点,则|ON|= .
解析:(1)因为ON是△PF1F2的中位线,
探究三
与双曲线有关的轨迹方程
【例3】 如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头,向B,C两地转运货物.经测算,修建公路的费用是a万元/千米,求修建这两条公路的最低总费用.
分析:建立平面直角坐标系→写出曲线PQ的轨迹方程→写出修建公路的总费用→利用双曲线的定义转化|MB|→结合图象得出答案
解:以AB所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略).
反思感悟 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系,化简得到方程.
(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
提醒:①确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
【变式训练3】 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件,得|MC1|=|AC1|+|MA|,|MC2|=|BC2|+|MB|.
∵|MA|=|MB|,
∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2<| C1C2|.
根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支,
则2a=2,a=1,c=3,∴b2=c2-a2=8.
【易错辨析】
对双曲线的概念理解不清致误
【典例】 设F1,F2是双曲线 的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.
错解:错解一:双曲线的实轴长为8,由|PF1|-|PF2|=8,
即9-|PF2|=8,得|PF2|=1.
错解二:双曲线的实轴长为8,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,
所以|9-|PF2||=8,所以|PF2|=1或17.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够,是概念性的错误.错解二没有验证两解是否符合题意,忽略了|PF2|≥c-a这一条件,而得出错误的结论|PF2|=1或17.
正解:双曲线的实轴长为8,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,
所以|9-|PF2||=8,所以|PF2|=1或17.
因为|F1F2|=12,当|PF2|=1时,|PF1|+|PF2|=10<|F1F2|,
不符合公理“两点之间线段最短”,应舍去.
所以|PF2|=17.
防范措施 1.双曲线的定义是到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|).
2.注意双曲线的一个隐含条件:双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a,到一个焦点的距离是c-a,到另一个焦点的距离是a+c,故本题还得满足|PF2|≥c-a这一条件.
【变式训练】 已知P是双曲线 上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|= .
由P是双曲线上的一点,得||PF1|-|PF2||=16,
解得|PF2|=1或|PF2|=33.
又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=33.
答案:33
随堂练习
1.若动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
解析:由已知|PM|-|PN|=2=|MN|,故点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.
答案:D
2.若双曲线E: =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11 B.9
C.5 D.3
解析:由题意知||PF2|-3|=6,即|PF2|-3=±6,解得|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去).
答案:B
答案:C
解析:由题意知,(1+k)(1-k)>0,即-1答案:(-1,1)
5.已知定点A(3,0)和定圆C:(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过点A,求动圆圆心P的轨迹方程.
解:设动圆半径为r,则由已知|PA|=r,|PC|=r+4,
∴|PC|=|PA|+4,即|PC|-|PA|=4.
∵C(-3,0),A(3,0),
∴|AC|=6,∴4<|AC|.
∴点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支.
∵a=2,c=3,∴b2=c2-a2=5.(共45张PPT)
第1课时 双曲线的简单几何性质
第三章
3.2.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.
3.提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、双曲线的简单几何性质
1.类比椭圆的几何性质,你认为应该研究双曲线 (a>0,b>0)的哪些几何性质
提示:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
提示:点M的横坐标xM越来越大,d越来越小,但d始终不等于0.
3.在椭圆中,离心率刻画了椭圆的扁平程度,在双曲线中,离心率刻画双曲线的什么几何特征
提示:双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,离心率越大,双曲线的“张口”越大.
4.双曲线的几何性质
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
解析:(1)由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,
因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).
二、等轴双曲线
1.实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么
提示:实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y=±x,离心率是 .
2.(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线具有以下性质:
①方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);
②渐近线方程为 y=±x ,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;
③离心率e= .
3.双曲线y2-x2=2的渐近线方程是( )
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)双曲线与椭圆一样,有四个顶点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
由双曲线的方程研究其几何性质
【例1】 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
分析:将所给形式化为标准方程形式→求出a,b,c→得双曲线的几何性质.
反思感悟 由双曲线方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.
(2)已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m= .
探究二
由双曲线的几何性质求其标准方程
【例2】 已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
分析:先设出双曲线方程的统一形式,依据题设建立关于待定参数的方程或方程组求解.
反思感悟 1.由双曲线的几何性质求双曲线方程的常用方法:
一是先确定基本量a,b,c,从而求出双曲线方程;二是采用待定系数法.先依据焦点的位置设出标准方程的形式,再由题目条件确定参数的值.当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,防止漏解.为了避免讨论,也可设方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求解.
2.常见双曲线方程的设法
【变式训练2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2);
解:(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32.
探究三
求双曲线的离心率
(2)不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
则在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得
(2a)2=(4a)2+(2c)2-2·4a·2c·cos 30°,
将本例(2)条件“|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°”改为“PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°”,则双曲线C的离心率为 .
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
(2)如图,F1和F2分别是双曲线 (a>0,b>0)的两个
焦点,A和B是以坐标原点O为圆心,以|OF1|的长为半径的圆与该双曲线
左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( )
(2)连接AF1(图略).
∵|F1F2|=2c,且△AF2B为等边三角形,
又|OF1|=|OA|=|OF2|,
答案:(1)D (2)D
【易错辨析】
忽略焦点的位置致误
【典例】 已知双曲线2x2-y2=k(k≠0)的焦距为6,求实数k的值.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:因为k的符号不确定,所以化成标准形式后,双曲线焦点所在的坐标轴也不确定,错解忽略了讨论k的符号.
综上可知,k=-6或6.
防范措施 当方程中带有参数,化为标准方程时不清楚双曲线的焦点位置时,需根据焦点位置对参数分类讨论.
【变式训练】 已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则该双曲线的离心率为 .
随堂练习
∴a2+3=4a2,∴a2=1,∴a=1.
答案:D
2.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为( )
A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36
C.3y2-x2=36 D.3x2-y2=36
故所求双曲线的方程为y2-3x2=36.
答案:A
3.设F1,F2分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P,使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )
解析:根据双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.因为(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,
所以4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0,又a+b≠0,所以b=4a,
答案:D
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,
所以a=1,c= ,于是b2=c2-a2=1,
所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.
答案:x2-y2=1 y=±x
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设点P是双曲线C上任意一点,且|PF1|=10,求|PF2|.
(2)因为a+c=8,|PF1|=10>8,
所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上.
①若点P在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=6,故|PF2|=|PF1|+6=16;
②若点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=6,故|PF2|=|PF1|-6=4.
综上,|PF2|=16或4.(共49张PPT)
第2课时 双曲线简单几何性质的应用
第三章
3.2.2
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.进一步掌握双曲线的方程及其简单几何性质的应用.
2.会判断直线与双曲线的位置关系.
3.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.
4.提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线与双曲线的位置关系
1.类比直线与椭圆的位置关系,思考直线与双曲线有几种位置关系 怎样判断其位置关系
提示:直线与双曲线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与双曲线方程,转化为关于x(或y)的方程,利用方程的解来判断.
2.设直线l:y=kx+m(m≠0),双曲线C: (a>0,b>0),两方程联立消去y,会得到一个什么样的方程 怎样判断这个方程的解的个数
提示:两方程联立消去y,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0时,方程有一解;当b2-a2k2≠0时,Δ>0 方程有两解;Δ=0 方程有一解;Δ<0 方程无解.
提示:一个公共点,此时直线与双曲线相交.
4.直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0),①
Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;
Δ=0 直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切;
Δ<0 直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:直线过定点 且平行于双曲线的一条渐近线,故与双曲线有且只有1个交点.
答案:B
二、直线与双曲线相交的弦长公式
1.直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 (a>b>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,回想弦长|AB|的表达式是什么 若直线与双曲线相交于两点,这个弦长公式还适用吗
这个弦长公式对于双曲线仍然适用.
3.直线 x-y+ =0被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长为 .
解析:联立直线与双曲线方程,得x2+3x+2=0,
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
答案:2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线和双曲线只有一个公共点 直线与双曲线相切.( × )
(4)直线和双曲线有两个公共点 直线与双曲线相交.( × )
(5)过双曲线焦点的直线一定与双曲线有两个交点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
生活中的双曲线
【例1】 飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向角.
分析:先判断点P的运动轨迹,再建系求出点P满足的两个轨迹方程,联立求解.
解:由题意知|PC|=|PB|,所以P的运动轨迹在线段BC的垂直平分线上.
又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
所以P在以A,B为焦点的双曲线的靠近A的一支上.
以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,
AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
如图所示.
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.
(2)建立适当的直角坐标系,求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程或几何性质解决实际应用问题.
解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴.
因为双曲线经过点C,D,且以A,B为焦点,由双曲线的对称性知C,D关于y轴对称,
探究二
直线与双曲线的位置关系
【例2】 已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,当k为何值时,A,B在双曲线的同一支上 当k为何值时,A,B分别在双曲线的两支上
分析:直线与双曲线有两交点的条件是联立后的方程有两组解,也就是消元后获得的一元二次方程有两解.两交点在同一支上,则说明两个交点的横坐标同号,即一元二次方程有两个同号的实数根,两交点分别在两支上,则说明两个交点的横坐标异号,即一元二次方程有两个异号的实数根.
解:把y=kx+1代入3x2-y2=1,整理,得(3-k2)x2-2kx-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),要使直线与双曲线有两个交点,
反思感悟 直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.
①当Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
②当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
③当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,直线与双曲线的渐近线平行(不包含重合的情形),直线与双曲线有一个公共点.
(2)数形结合思想的应用,
①当直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②当直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
【变式训练2】 已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C只有一个交点,求实数k的取值范围;
(3)若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,求k的取值范围.
(2)此时等价于(*)式方程只有一解.
当1-k2=0,即k=±1时,(*)式方程只有一解;
当1-k2≠0时,应满足Δ=4k2+20(1-k2)=0,
探究三
直线与双曲线的相交弦问题
【例3】 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2- =1于A,B两点,且M为AB的中点.
(1)求直线l的方程.
(2)求线段AB的长.
分析:先用点差法求l的斜率,再用弦长公式求|AB|.
反思感悟 1.弦长的求法:
求直线与双曲线相交所得弦长,主要利用弦长公式,要注意方程思想以及根与系数关系的应用.
2.弦中点问题的解决方法:
对于弦中点问题,通常使用点差法解决,以减小运算量,提高运算速度.
另外,对于相交弦问题还要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决.
【变式训练3】 已知双曲线 -y2=1,求过点A(3,-1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为y+1=k(x-3),
即y=kx-3k-1,
解法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),
∵M,N均在双曲线上,
探究四
直线与双曲线的综合问题
【例4】 已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x= .不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N.
(1)求E的方程;
(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
分析:(1)利用点P满足的关系式,代入坐标化简即可;
②当直线BC与x轴垂直时,其方程为x=2,
则B(2,3),C(2,-3),AB的方程为y=x+1,
故以线段MN为直径的圆过点F.
反思感悟 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上,直线方程与双曲线方程联立后,要注意二次项系数为零的情况.另外,设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法,在解题时,应有意识地运用这些方法,达到熟练掌握的程度.
【变式训练4】 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 ,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2.
当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=kx+m,代入W的方程,消去y整理得
(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
【易错辨析】
直线与双曲线相交忽视特殊情况致误
【典例】 已知过点P(1,1),斜率为k的直线l,与双曲线x2- =1只有一个公共点,试探究直线l的斜率k的值.
错解:由题意得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程消去y,
整理得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.
由题意得Δ=(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点.
正解:由题意得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程消去y,
整理得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.
若4-k2=0,即k=±2,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点;
防范措施 解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程,并且消元后得到的方程是否为一元一次方程,即二次项系数是否为0,因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况.
【变式训练】 已知双曲线C:x2- =1,过点P(1,2)的
直线l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直
线l共有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:如图,过点P(1,2)与双曲线x2- =1有且只有一个公共点有两种情况,分别是垂直于x轴和与渐近线y=-2x平行.
答案:B
随堂练习
1.若直线y=mx+1与双曲线x2-y2=1总有公共点,则m的取值范围是( )
答案:D
2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )
解析:将y=kx+2代入x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.
答案:D
答案:3
4.已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 .
答案:[2,+∞)
解:直线y=kx-1过(0,-1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点,必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.