广东省深圳市龙岗区德琳学校2023-2024学年高二下学期第二次考试（期中考试）数学试卷
1．（2024高二下·龙岗期中）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·龙岗期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．21 D．35
3．（2024高二下·龙岗期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·龙岗期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·龙岗期中）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．144
6．（2024高二下·龙岗期中）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·龙岗期中）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·龙岗期中）组合恒等式 ，可以利用“算两次”的方法证明：分别求 和 的展开式中 的系数.前者 的展开式中 的系数为 ；后者 的展开式 中 的系数为 .因为 ，所以两个展开式中 的系数相等，即 .请用“算两次”的方法化简式子 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·龙岗期中）下列说法正确的有（ ）
A．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3
B．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25
C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D．若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好
10．（2024高二下·龙岗期中）有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
11．（2024高二下·龙岗期中）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为
12．（2024高二下·龙岗期中）小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为 ．
13．（2024高二下·龙岗期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 .
14．（2024高二下·龙岗期中）已知随机变量，则 .注：若，则，.
15．（2024高二下·龙岗期中）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
16．（2024高二下·龙岗期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.
问题：已知，且____（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂项的系数之和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（2024高二下·龙岗期中）为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？
有出游意愿 无出游意愿 合计
青年
中年
合计
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
，其中.
18．（2024高二下·龙岗期中）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱，上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
19．（2024高二下·龙岗期中）共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：
季度序号x 1 2 3 4 5
使用次数y（万次） 1 1.2 1.5 1.8 2.2
（1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由.
（ii）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由.
（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元.经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如下表：
车型\使用寿命 1年 2年 3年 4年 总计
A 10 20 30 40 100
B 10 35 30 25 100
不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据：，.
参考公式：，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，因为对函数求导得：，当时，，
所以函数的单调递增区间是．
故选：C
【分析】求出函数的导数，利用导数正负与函数单调性的关系得到不等式，求解即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项公式为：，
令，得，
所以含的项为，
所以的系数为-35，
故选：B
【分析】利用的通项公式求解.
3．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：因为50件产品中含有3件次品 ， 任取2件，
所以“至少取到1件次品”分两种情况：
取的1件次品的方法数为：种；
取到2件次品的方法数为：种，
根据分类加法计数原理，可得共有种方法数，
故选：D
【分析】分“取的1件次品”和“取到2件次品”两种情况，结合组合数与分类加法计数原理，得解.
4．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：因为为与的交点，为的中点，
所以，
故.
故选：B.
【分析】根据空间向量线性运算法则（三角形法则）计算可得.
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：因为总共5个行政区域， 相邻区域不得使用同一颜色 ， 有四种不同颜色可供选择
所以可以按使用颜色的种类分类，
第一类：使用了3种颜色，则1，3同色且2，5同色，则共种，
第二类：使用了4种颜色，则1，3同色2，5不同色或1，3不同色2，5同色，则共种，
所以不同的着色方案种数为种.
故选：C.
【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解.
6．【答案】B
【知识点】超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【解答】解： 因为一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球 ，
所以至少含有一个黑球的概率是.
故选：B.
【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可.
7．【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”，
则，所以.
故选：D.
【分析】先用字母表示相关事件，再利用古典概型的计算公式计算出相关事件的概率，再结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，
在 中 的系数为 ，
又 ，
这个式子中 的系数可由前一个括号中一项乘以后一个括号中的相应项得出，即 ，
两个式子中 的系数应相等，所以 ．
故答案为：A．
【分析】引入等式 ，分别计算 的系数．
9．【答案】B,C,D
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，
当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少，故选项A错误；
对于选项B，因为，，
所以相对于样本点的残差为，故选项B正确；
对于选项C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故选项C正确；
对于选项D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断选项A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断选项C；根据决定系数的意义即可判断选项D.
10．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼，
由题意得，，，，
则，
由全概率公式得，故A、B正确；
，，故C错误，D正确；
故选：ABD
【分析】先用字母表示相关事件，再根据题意写出相关事件的概率，结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断.
12．【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：因为小明同学每次射击是否中靶相互独立， 射击一次中靶的概率为 ，
所以小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.
故答案为：.
【分析】本题考查n次独立重复试验概率的求解，直接利用n次独立重复试验概率公式运算求解即可.
13．【答案】乙
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强；
故填：乙
【分析】根据选项中的图形进行观察，下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，即可直接求解.
14．【答案】0.1359
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为随机变量， 所以，
而且，，，，结合题意可得
，
所以.
故填：
【分析】根据正态分布的对称性求解概率即可.
15．【答案】（1）解：，则，
由题意可得，解得；
（2）解：由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.
16．【答案】（1）解：选择条件①：
由题得中项为，
中项为，
所以，
即，整理得，
由，解得.
选择条件②：
由，
得，
解得.
选择条件③：
令得，
即，
解得.
（2）解：方法一：由（1）得，
令得，
令得，
两式相减得，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为30.
方法二：由（1）得，
由题得中项为，
中项为，项为，项为，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为30.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1） 选择条件①： 利用二项式定理求得 中项为，从而求出n的值； 选择条件②： 利用二项式系数和的公式求出 ，得， 解出n的值； 选择条件③： 利用赋值法求解出n的值；
（2） 方法一：由（1）得，利用赋值法可求出展开式中的奇数次幂项的系数之和；
方法二：由（1）得， 利用二项式定理可求出展开式中的奇数次幂项的系数和.
17．【答案】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数人，
因为由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，
所以从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0，1，2，.
，，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以随机变量X的期望.
（2）由题知，样本中中年员工占比为，人数人，青年员工人数人，.
结合图3得到如下列联表，
有出游意愿 无出游意愿 合计
青年 30 10 40
中年 40 20 60
合计 70 30 100
.
假设“有出游意愿与年龄段无关”，则
，.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题得样本中“00后”员工8人有出游意愿，2人无出游意愿，再写出X的所有可能取值和对应的概率，即得的分布列和数学期望（随机变量的各个取值乘以对应的概率再相加）；
（2）结合已知完成列联表，再利用独立性检验求解.
18．【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
所以，
又不在同一条直线上，
所以.
（2）解：设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
所以，
设平面的法向量，
则，
令，得，
所以，
所以，
化简可得，，
解得或，
所以或，
所以.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法和向量的夹角公式求二面角，建立方程求出即可得解.
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
19．【答案】（1）（i）根据两款车型使用寿命频数统计表，可得散点图如图所示：
根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，
设回归方程为，则，
由，，可得，
所以y关于x的线性回归方程为.
（ii）开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分.
参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：
①由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；
②由（i）中使用次数y关于季度序号x的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，
因此需要向市场增加投放共享单车.
说明：答出一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分.
参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：
题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定.
（2）设1辆A型单车产生的毛利润为随机变量，
则的所有可能取值为500，920，1260，1520，
用频率估计概率，则1辆A型单车产生毛利润的分布列为
毛利润 500 920 1260 1520
概率
则1辆A型单车毛利润的数学期望，
故1辆A型单车纯利润的数字期望为，.
设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量，
则的所有可能取值为500，900，1200，1400，.
用频率估计概率，则1辆B型单车产生毛利润的分布列为
毛利润 500 900 1200 1400
概率
则1辆B型单车毛利润的数学期望，
故1辆B型单车纯利润的数学期望为，.
因为1辆B型单车纯利润的数学期望大于1辆A型单车的，所以选择B型单车.
【知识点】线性回归方程；回归分析；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】（1）（i）根据两款车型使用寿命频数统计表，得到散点图，根据散点图，用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，设回归方程为，利用公式求得的值，得到y关于x的线性回归方程；
（ii）根据（i）中的回归直线方程，结合统计学作出相应的结论；
（2）根据题意，分别求得1辆A型单车产生的毛利润为随机变量和1辆B型单车产生的毛利润为随机变量的分布列及数学期望（随机变量的各个取值乘以对应的概率再相加），即可得到答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区德琳学校2023-2024学年高二下学期第二次考试（期中考试）数学试卷
1．（2024高二下·龙岗期中）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，因为对函数求导得：，当时，，
所以函数的单调递增区间是．
故选：C
【分析】求出函数的导数，利用导数正负与函数单调性的关系得到不等式，求解即可得出答案．
2．（2024高二下·龙岗期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．21 D．35
【答案】B
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项公式为：，
令，得，
所以含的项为，
所以的系数为-35，
故选：B
【分析】利用的通项公式求解.
3．（2024高二下·龙岗期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：因为50件产品中含有3件次品 ， 任取2件，
所以“至少取到1件次品”分两种情况：
取的1件次品的方法数为：种；
取到2件次品的方法数为：种，
根据分类加法计数原理，可得共有种方法数，
故选：D
【分析】分“取的1件次品”和“取到2件次品”两种情况，结合组合数与分类加法计数原理，得解.
4．（2024高二下·龙岗期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：因为为与的交点，为的中点，
所以，
故.
故选：B.
【分析】根据空间向量线性运算法则（三角形法则）计算可得.
5．（2024高二下·龙岗期中）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．144
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：因为总共5个行政区域， 相邻区域不得使用同一颜色 ， 有四种不同颜色可供选择
所以可以按使用颜色的种类分类，
第一类：使用了3种颜色，则1，3同色且2，5同色，则共种，
第二类：使用了4种颜色，则1，3同色2，5不同色或1，3不同色2，5同色，则共种，
所以不同的着色方案种数为种.
故选：C.
【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解.
6．（2024高二下·龙岗期中）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【解答】解： 因为一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球 ，
所以至少含有一个黑球的概率是.
故选：B.
【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可.
7．（2024高二下·龙岗期中）某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言．若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件为“选取的2人中第一位是女生”，事件为“选取的2人中，1男1女”，
则，所以.
故选：D.
【分析】先用字母表示相关事件，再利用古典概型的计算公式计算出相关事件的概率，再结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解.
8．（2024高二下·龙岗期中）组合恒等式 ，可以利用“算两次”的方法证明：分别求 和 的展开式中 的系数.前者 的展开式中 的系数为 ；后者 的展开式 中 的系数为 .因为 ，所以两个展开式中 的系数相等，即 .请用“算两次”的方法化简式子 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ，
在 中 的系数为 ，
又 ，
这个式子中 的系数可由前一个括号中一项乘以后一个括号中的相应项得出，即 ，
两个式子中 的系数应相等，所以 ．
故答案为：A．
【分析】引入等式 ，分别计算 的系数．
9．（2024高二下·龙岗期中）下列说法正确的有（ ）
A．在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3
B．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25
C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D．若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好
【答案】B,C,D
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，
当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少，故选项A错误；
对于选项B，因为，，
所以相对于样本点的残差为，故选项B正确；
对于选项C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故选项C正确；
对于选项D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断选项A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断选项C；根据决定系数的意义即可判断选项D.
10．（2024高二下·龙岗期中）有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·龙岗期中）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼，
由题意得，，，，
则，
由全概率公式得，故A、B正确；
，，故C错误，D正确；
故选：ABD
【分析】先用字母表示相关事件，再根据题意写出相关事件的概率，结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断.
12．（2024高二下·龙岗期中）小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为 ．
【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】解：因为小明同学每次射击是否中靶相互独立， 射击一次中靶的概率为 ，
所以小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.
故答案为：.
【分析】本题考查n次独立重复试验概率的求解，直接利用n次独立重复试验概率公式运算求解即可.
13．（2024高二下·龙岗期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 .
【答案】乙
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强；
故填：乙
【分析】根据选项中的图形进行观察，下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，即可直接求解.
14．（2024高二下·龙岗期中）已知随机变量，则 .注：若，则，.
【答案】0.1359
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：因为随机变量， 所以，
而且，，，，结合题意可得
，
所以.
故填：
【分析】根据正态分布的对称性求解概率即可.
15．（2024高二下·龙岗期中）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）解：，则，
由题意可得，解得；
（2）解：由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.
16．（2024高二下·龙岗期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.
问题：已知，且____（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂项的系数之和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：选择条件①：
由题得中项为，
中项为，
所以，
即，整理得，
由，解得.
选择条件②：
由，
得，
解得.
选择条件③：
令得，
即，
解得.
（2）解：方法一：由（1）得，
令得，
令得，
两式相减得，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为30.
方法二：由（1）得，
由题得中项为，
中项为，项为，项为，
所以，
所以展开式中的奇数次幂项的系数和为30.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】（1） 选择条件①： 利用二项式定理求得 中项为，从而求出n的值； 选择条件②： 利用二项式系数和的公式求出 ，得， 解出n的值； 选择条件③： 利用赋值法求解出n的值；
（2） 方法一：由（1）得，利用赋值法可求出展开式中的奇数次幂项的系数之和；
方法二：由（1）得， 利用二项式定理可求出展开式中的奇数次幂项的系数和.
17．（2024高二下·龙岗期中）为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？
有出游意愿 无出游意愿 合计
青年
中年
合计
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
，其中.
【答案】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数人，
因为由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，
所以从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0，1，2，.
，，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以随机变量X的期望.
（2）由题知，样本中中年员工占比为，人数人，青年员工人数人，.
结合图3得到如下列联表，
有出游意愿 无出游意愿 合计
青年 30 10 40
中年 40 20 60
合计 70 30 100
.
假设“有出游意愿与年龄段无关”，则
，.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题得样本中“00后”员工8人有出游意愿，2人无出游意愿，再写出X的所有可能取值和对应的概率，即得的分布列和数学期望（随机变量的各个取值乘以对应的概率再相加）；
（2）结合已知完成列联表，再利用独立性检验求解.
18．（2024高二下·龙岗期中）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱，上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
所以，
又不在同一条直线上，
所以.
（2）解：设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
所以，
设平面的法向量，
则，
令，得，
所以，
所以，
化简可得，，
解得或，
所以或，
所以.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法和向量的夹角公式求二面角，建立方程求出即可得解.
（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
19．（2024高二下·龙岗期中）共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：
季度序号x 1 2 3 4 5
使用次数y（万次） 1 1.2 1.5 1.8 2.2
（1）（i）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由.
（ii）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由.
（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元.经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如下表：
车型\使用寿命 1年 2年 3年 4年 总计
A 10 20 30 40 100
B 10 35 30 25 100
不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据：，.
参考公式：，.
【答案】（1）（i）根据两款车型使用寿命频数统计表，可得散点图如图所示：
根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，
设回归方程为，则，
由，，可得，
所以y关于x的线性回归方程为.
（ii）开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分.
参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：
①由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；
②由（i）中使用次数y关于季度序号x的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，
因此需要向市场增加投放共享单车.
说明：答出一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分.
参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：
题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定.
（2）设1辆A型单车产生的毛利润为随机变量，
则的所有可能取值为500，920，1260，1520，
用频率估计概率，则1辆A型单车产生毛利润的分布列为
毛利润 500 920 1260 1520
概率
则1辆A型单车毛利润的数学期望，
故1辆A型单车纯利润的数字期望为，.
设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量，
则的所有可能取值为500，900，1200，1400，.
用频率估计概率，则1辆B型单车产生毛利润的分布列为
毛利润 500 900 1200 1400
概率
则1辆B型单车毛利润的数学期望，
故1辆B型单车纯利润的数学期望为，.
因为1辆B型单车纯利润的数学期望大于1辆A型单车的，所以选择B型单车.
【知识点】线性回归方程；回归分析；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】（1）（i）根据两款车型使用寿命频数统计表，得到散点图，根据散点图，用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，设回归方程为，利用公式求得的值，得到y关于x的线性回归方程；
（ii）根据（i）中的回归直线方程，结合统计学作出相应的结论；
（2）根据题意，分别求得1辆A型单车产生的毛利润为随机变量和1辆B型单车产生的毛利润为随机变量的分布列及数学期望（随机变量的各个取值乘以对应的概率再相加），即可得到答案.
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