【培优版】北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程 章节测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2017九上·上蔡期末）用配方法解方程 ，下列配方结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2015九上·句容竞赛）设m是整数，关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）。
A． B．x=-1
C． D．有无数个根
3．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2015九上·句容竞赛）已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（ ）。
A．有两相等实根 B．有两相异实根
C．无实根 D．不能确定
5．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．3或7
6．（2019九上·弥勒期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
7．（2024九上·威宁期末）一个三角形的两边长是2和6，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．11 C．11或15 D．无法确定
8．（2020九上·兰州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2021九上·黄石月考）一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程 的一个根，则这个三角形的周长是 .
10．（2016九上·自贡期中）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为 ．
11．（2021九上·包头月考）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
12．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
13．（2019九上·成都月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， = ．
三、解答题（共7题，共53分）
14．（2024九上·金昌期末）解方程．
（1）；
（2）．
15．（2023九上·泸州月考） 已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 ， 且满足 ， 求 的值.
16．（2023九上·恩阳期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值．
17．（2024九上·乐山期末）阅读下列材料，解答问题：
材料：若为一元二次方程的两个实数根，则．
（1）已知实数满足，且，求的值．
解：根据题意，可将看作方程的两个实数根．
∴ ， ．
∴ ．
（2）已知实数满足，且，求的值．
（3）已知实数满足，求实数的最大整数值．
18．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
19．（2023九上·遵义月考）“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖.2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩．
（1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；
（2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？
20．（2023九上·上杭开学考） 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”：
①②.
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程(a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ＝3，
∴ +4＝3+4，
∴(x-2)2=7；
答案为：A。
【分析】利用配方法，二次项系数化为1后，移项，两边同时加上一次项系数一半的平方.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x1=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x1= ，x2= ，
综上所述方程的根为x1=-1，x2= ，x3=
故答案为：C．
【分析】可分为m=0与m0两类，当方程为一元二次方程时，有理根可从判别式为完全平方数入手，进而求出m的值，再求出根.
3．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2 b2，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
答案为：C．
【分析】算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=①，
5m=4a2﹣1 ②，
把①代入②得：5m=×4﹣1，
整理得：m2﹣10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故选：D．
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故答案为：C．
【分析】设人行道的宽度为x米，利用平移，把两块相同的矩形绿地移在一起（不重合）可得平移后，两块相同的矩形绿地的长为（18-3x）米，宽为（6-2x）米，根据它们的面积之和为60平方米 可列出方程（18﹣3x）（6﹣2x）=60，整理后即可得到答案。
7．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】∵方程为，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长是2和6，
∴三角形的第三边长长范围为4<第三边<8，
∴第三边长只能是7，
∴三角形的周长=2+6+7=15，
故答案为：A.
【分析】先求出一元二次方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝ 或x0＝
∴2ax0+b＝ 或2ax0+b＝
∴
故④正确.
故答案为：B.
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.
9．【答案】22
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-11x+30=0得：x=5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5=10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10=22，
故答案为：22.
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的根，然后分5为腰；6为腰，利用三角形的三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
10．【答案】x=3或x=﹣7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5=（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21=0，
∴（x﹣3）（x+7）=0，
∴x=3或x=﹣7．
故答案为：x=3或x=﹣7
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式方程的解及检验
【解析】【解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜ 且a≠﹣1．
把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得
∵x≠﹣1，
∴ ，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【分析】由关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，可得a+1≠0且△＞0，据此求出a的范围，然后求出分式方程的解，根据此解为整数，再结合a的范围即可确定a值.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则
=
=
=
故答案为：
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则 ，然后代入即可求解．
14．【答案】（1）解：，，
x＋1＝0或x－2＝0，，；
（2）解：，，，
，，，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，方程的左边提公因式（x+1）分解因式；
（2）利用配方法解一元二次方程，它的一般步骤是：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。
15．【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
$且
解得 且 ，
的取值范围是 且 ：
（2）解： 原方程的两个实数根为 ，
而 且 .
，
，
， 即 .
，
整理得 ，
解得： .又 且 ，
不合题意， 舍去.
经检验， 是方程 .
的值为 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及应用、根与系数的关系。（1）方程有两个不相等的实数根，则，代入计算，注意方程二次项系数不为0，综合考虑k值；（2）根据根与系数的关系，代入所给等式，可求出k值。
16．【答案】（1）证明：原方程总有两个不相等的实数根，中，，，
∴，
∴，
∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：中，，，且是原方程的两根，，
∴，，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
整理得，，
解方程得，，，
∴的值或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，方程有两个不相等的实数根，说明判别式是大于0的，此时判别式是关于m的二次函数，整理成顶点式发现最小值是4，故无论m取何值，总有判别式大于0，即原方程总有两个实数根；
（2）根据韦达定理，可以找到两根之和与系数的关系式，两根之积与系数的关系式，已知 ，即 即 ，故代入系数到这个等式即可求出m值。
17．【答案】（1）；；
（2）解：∵，
∴
∵
∴是一元二次方程的不相等的两个实数根
整理方程得：，
∴
∴
（3）解：∵，
∴可得：，
即：
可得：，
即：
∴可以看作是一元二次方程的两个实数根
∴
化简得：，
解得：，
∴实数的最大整数值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴
故答案为：，，
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解；
（2）先根据可得，进而即可得到是一元二次方程的不相等的两个实数根，从而即可求解；
（3）由题意可得、，进而得到可以看作是一元二次方程的两个实数根，从而根据一元二次方根的判别式得到，再结合题意即可求解。
18．【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可.
19．【答案】（1）解：设平均增长率为x，
100（1+x）2＝196，
1+x＝±1.4，
x1＝-2.4（舍），x2＝0.4，
答：平均增长率为40%．
（2）解：设售价降低m元，
（20-12-m）（200+50m）＝1750，
m2-4m+3＝0，
m1＝1，m2＝3，
∵减少存量，
∴m＝3．
答：降3元可获利1750元，同时减少了存量．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决增长率问题，通用公式为中x是增长率，n是增长周期数，；
（2）根据每千克获利每天销售数量=每天总获利这一等量关系列方程求解；为达到推广同时减少库存的目的，解得的x要取大值。
20．【答案】（1）解：①得 ， ，
∴此方程不是差根方程
②得 ， ，
∴此方程是差根方程
（2）解： ，得 .
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴-2a=±1，即
（3）解：设 是一元二次方程 (a，b是常数，a＞0)的两个实数根，
∴
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴ ，即
∴ .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)分别求出方程的解，根据“差根方程”定义，计算后作判断；
（2）根据“差根方程”定义，转化为关于a的方程求解；
（3）根据“差根方程”定义，结合根与系数的关系求解.
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程 章节测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2017九上·上蔡期末）用配方法解方程 ，下列配方结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ＝3，
∴ +4＝3+4，
∴(x-2)2=7；
答案为：A。
【分析】利用配方法，二次项系数化为1后，移项，两边同时加上一次项系数一半的平方.
2．（2015九上·句容竞赛）设m是整数，关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）。
A． B．x=-1
C． D．有无数个根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x1=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x1= ，x2= ，
综上所述方程的根为x1=-1，x2= ，x3=
故答案为：C．
【分析】可分为m=0与m0两类，当方程为一元二次方程时，有理根可从判别式为完全平方数入手，进而求出m的值，再求出根.
3．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
4．（2015九上·句容竞赛）已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（ ）。
A．有两相等实根 B．有两相异实根
C．无实根 D．不能确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2 b2，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
答案为：C．
【分析】算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．
5．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．3或7
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=①，
5m=4a2﹣1 ②，
把①代入②得：5m=×4﹣1，
整理得：m2﹣10m+21=0，
解得：m=3或m=7，
故选：D．
【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值．
6．（2019九上·弥勒期末）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故答案为：C．
【分析】设人行道的宽度为x米，利用平移，把两块相同的矩形绿地移在一起（不重合）可得平移后，两块相同的矩形绿地的长为（18-3x）米，宽为（6-2x）米，根据它们的面积之和为60平方米 可列出方程（18﹣3x）（6﹣2x）=60，整理后即可得到答案。
7．（2024九上·威宁期末）一个三角形的两边长是2和6，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．11 C．11或15 D．无法确定
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】∵方程为，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长是2和6，
∴三角形的第三边长长范围为4<第三边<8，
∴第三边长只能是7，
∴三角形的周长=2+6+7=15，
故答案为：A.
【分析】先求出一元二次方程的解，再利用三角形三边的关系求出第三边的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
8．（2020九上·兰州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ；其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝ 或x0＝
∴2ax0+b＝ 或2ax0+b＝
∴
故④正确.
故答案为：B.
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2021九上·黄石月考）一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程 的一个根，则这个三角形的周长是 .
【答案】22
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-11x+30=0得：x=5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5=10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10=22，
故答案为：22.
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的根，然后分5为腰；6为腰，利用三角形的三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
10．（2016九上·自贡期中）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为 ．
【答案】x=3或x=﹣7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5=（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21=0，
∴（x﹣3）（x+7）=0，
∴x=3或x=﹣7．
故答案为：x=3或x=﹣7
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2=a，5=b，代入所给公式得：（x+2）*5=（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
11．（2021九上·包头月考）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式方程的解及检验
【解析】【解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜ 且a≠﹣1．
把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得
∵x≠﹣1，
∴ ，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【分析】由关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，可得a+1≠0且△＞0，据此求出a的范围，然后求出分式方程的解，根据此解为整数，再结合a的范围即可确定a值.
12．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
13．（2019九上·成都月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， = ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则
=
=
=
故答案为：
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则 ，然后代入即可求解．
三、解答题（共7题，共53分）
14．（2024九上·金昌期末）解方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
x＋1＝0或x－2＝0，，；
（2）解：，，，
，，，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，方程的左边提公因式（x+1）分解因式；
（2）利用配方法解一元二次方程，它的一般步骤是：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。
15．（2023九上·泸州月考） 已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为 ， 且满足 ， 求 的值.
【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
$且
解得 且 ，
的取值范围是 且 ：
（2）解： 原方程的两个实数根为 ，
而 且 .
，
，
， 即 .
，
整理得 ，
解得： .又 且 ，
不合题意， 舍去.
经检验， 是方程 .
的值为 .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及应用、根与系数的关系。（1）方程有两个不相等的实数根，则，代入计算，注意方程二次项系数不为0，综合考虑k值；（2）根据根与系数的关系，代入所给等式，可求出k值。
16．（2023九上·恩阳期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值．
【答案】（1）证明：原方程总有两个不相等的实数根，中，，，
∴，
∴，
∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：中，，，且是原方程的两根，，
∴，，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
整理得，，
解方程得，，，
∴的值或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，方程有两个不相等的实数根，说明判别式是大于0的，此时判别式是关于m的二次函数，整理成顶点式发现最小值是4，故无论m取何值，总有判别式大于0，即原方程总有两个实数根；
（2）根据韦达定理，可以找到两根之和与系数的关系式，两根之积与系数的关系式，已知 ，即 即 ，故代入系数到这个等式即可求出m值。
17．（2024九上·乐山期末）阅读下列材料，解答问题：
材料：若为一元二次方程的两个实数根，则．
（1）已知实数满足，且，求的值．
解：根据题意，可将看作方程的两个实数根．
∴ ， ．
∴ ．
（2）已知实数满足，且，求的值．
（3）已知实数满足，求实数的最大整数值．
【答案】（1）；；
（2）解：∵，
∴
∵
∴是一元二次方程的不相等的两个实数根
整理方程得：，
∴
∴
（3）解：∵，
∴可得：，
即：
可得：，
即：
∴可以看作是一元二次方程的两个实数根
∴
化简得：，
解得：，
∴实数的最大整数值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴
故答案为：，，
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解；
（2）先根据可得，进而即可得到是一元二次方程的不相等的两个实数根，从而即可求解；
（3）由题意可得、，进而得到可以看作是一元二次方程的两个实数根，从而根据一元二次方根的判别式得到，再结合题意即可求解。
18．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：．
解：分两种情况：
①当时，原方程化为，解得，（舍去）；
②当时，原方程化为，解得，（舍去）．
综上所述，原方程的解是，．
请参照上述方法解方程．
【答案】解：①当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 ， ．
②当 ，即 时，
原方程可化为 ，即 ，
分解因式得 ，
可得 或 ，解得 （舍去）， （舍去），
则原方程的解为 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 ，②当 ，据此分别解方程即可.
19．（2023九上·遵义月考）“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖.2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩．
（1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；
（2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，
100（1+x）2＝196，
1+x＝±1.4，
x1＝-2.4（舍），x2＝0.4，
答：平均增长率为40%．
（2）解：设售价降低m元，
（20-12-m）（200+50m）＝1750，
m2-4m+3＝0，
m1＝1，m2＝3，
∵减少存量，
∴m＝3．
答：降3元可获利1750元，同时减少了存量．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决增长率问题，通用公式为中x是增长率，n是增长周期数，；
（2）根据每千克获利每天销售数量=每天总获利这一等量关系列方程求解；为达到推广同时减少库存的目的，解得的x要取大值。
20．（2023九上·上杭开学考） 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”：
①②.
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程(a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系．
【答案】（1）解：①得 ， ，
∴此方程不是差根方程
②得 ， ，
∴此方程是差根方程
（2）解： ，得 .
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴-2a=±1，即
（3）解：设 是一元二次方程 (a，b是常数，a＞0)的两个实数根，
∴
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴ ，即
∴ .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)分别求出方程的解，根据“差根方程”定义，计算后作判断；
（2）根据“差根方程”定义，转化为关于a的方程求解；
（3）根据“差根方程”定义，结合根与系数的关系求解.
1 / 1
