【提升版】北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程 章节测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣3y﹣5=0 B．x2=2x
C．+4=x2 D．y2﹣﹣3=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、2x2﹣3y﹣5=0是二元二次方程，故A错误；
B、x2=2x是一元一次方程，故B正确；
C、+4=x2是分式方程，故C错误；
D、y2﹣﹣3=0是无理方程，故D错误；
故选：B．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
2．（2021九上·峄城月考）用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法求解即可。
3．（2021九上·南宁月考）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴ 且 .
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，由此并结合题意可得△≥0且k+2≠0，代入求解可得k的范围.
4．（2024九上·泗阳月考）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
5．（2016九上·岑溪期中）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17
C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
6．（2024九上·乌鲁木齐期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
7．（2018九上·青海期中）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，再将分式方程的左边利用异分母分式的加法法则化简，再整体代入即可得出关于m的方程，再根据原一元二次方程有两个不相等的实数根得出其根的判别式应该大于0，从而得出一个不等式，解混合组即可得出m的值。
8．（2024九上·合江月考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】黄金分割；一元二次方程的应用-几何问题
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2017九上·台州月考）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=
【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
10．（2024九上·进贤期末）设，是方程的两个实数根，则的值为 .
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意
，是方程的两个实数根
故答案为：2023
【分析】根据韦达定理可知两根之和，根据一元二次方程根的意义可知a2+a的和，利用等量代换和整体代换的思想可求代数式的值。
11．（2015九上·阿拉善左旗期末）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
12．（2018九上·海安月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】根据分析可列出方程： ＝28，
解得：x1＝8，x2＝－7（舍去），
故答案为：8.
【分析】抓住已知条件：参赛的每两个队之间都要比赛一场（单循环），利用一共比赛的场数=28，设未知数列方程，求解即可。
13．（2024九上·武汉期中）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
三、解答题（每题73分，共61分）
14．（2024九上·梁溪期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
15．（2024九上·黔东南期末） 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）典型的应用一元二次方程解决几何问题，设出未知量，根据给出的面积列出等量关系式，求解即可；（2）同理，根据给出的面积列出等量关系式，求解过程中发现判别式小于0即在实数范围内无解，故可得出结论“无法实现”。
16．（2023九上·永修月考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求a的取值范围；
（2）若，满足，求a的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到即可求a的取值范围；
（2）根据，， 代入， 通过配方可得，即，十字相乘因式分解得：，，由（1）得， 所以 解得．
17．（2024九上·盘州期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式的最值．
解：
（分离常数项）
（提二次项系数）
当时，代数式取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式的最值；
（2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：
当时，代数式取得最大值是5
（2）证明：
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法的计算方法分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式及配方法的计算方法分析求解即可.
18．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（ ）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
19．（2024九上·阿克苏期末）春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
（1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利 元，可售出棉衣 件（用含x的代数式表示）
（2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
（3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵要尽快清仓，
∴；
（3）解：设所获利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W有最大值，
∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 降价前每件棉衣盈利50元，现在每件棉衣降价x元，
现在每件棉衣盈利 ，
降价前可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件，
可售出棉衣 件.
故答案为：；.
【分析】（1）用原本的利润50元减去降价的钱数即可得到现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件，即可求出可售出棉衣的数量；
（2）根据每件棉衣的利润×可售出棉衣的数量=总利润，列出方程求解作答即可.
（3）设所获利润为W，根据每件棉衣的利润×可售出棉衣的数量=总利润，列出W关于x的二次函数表达式，再利用配方法求最值即可求解.
20．（2024九上·双辽期末）如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：
（1）经过多少时间，的面积是，此时，长为多少．
（2）探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设运动时间为秒，，则，
由题意得：，，
，
，即．
解得：，不符合题意，舍去，
，
当时，，，
，
经过秒，的面积是，此时，的长为；
（2）解：不存在，理由如下：
，
，
，
，
，
没有实数根，
故不存在某一时刻，使．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）设运动时间为秒，，则，由题意得：，，进而根据三角形的面积结合题意解一元二次方程即可求出t，从而结合题意运用勾股定理即可得到PQ；
（2）先根据题意得到，进而即可列出一元二次方程，从而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程 章节测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣3y﹣5=0 B．x2=2x
C．+4=x2 D．y2﹣﹣3=0
2．（2021九上·峄城月考）用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·南宁月考）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
4．（2024九上·泗阳月考）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．（2016九上·岑溪期中）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17
C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
6．（2024九上·乌鲁木齐期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
7．（2018九上·青海期中）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2024九上·合江月考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2017九上·台州月考）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=
10．（2024九上·进贤期末）设，是方程的两个实数根，则的值为 .
11．（2015九上·阿拉善左旗期末）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
12．（2018九上·海安月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛．
13．（2024九上·武汉期中）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ．
三、解答题（每题73分，共61分）
14．（2024九上·梁溪期末）解方程：
（1）
（2）
15．（2024九上·黔东南期末） 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
16．（2023九上·永修月考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求a的取值范围；
（2）若，满足，求a的值．
17．（2024九上·盘州期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式的最值．
解：
（分离常数项）
（提二次项系数）
当时，代数式取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式的最值；
（2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
18．（2024九上·湘西期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
（2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
（3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
19．（2024九上·阿克苏期末）春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
（1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利 元，可售出棉衣 件（用含x的代数式表示）
（2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
（3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
20．（2024九上·双辽期末）如图，在中，，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：
（1）经过多少时间，的面积是，此时，长为多少．
（2）探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、2x2﹣3y﹣5=0是二元二次方程，故A错误；
B、x2=2x是一元一次方程，故B正确；
C、+4=x2是分式方程，故C错误；
D、y2﹣﹣3=0是无理方程，故D错误；
故选：B．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法求解即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴ 且 .
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，由此并结合题意可得△≥0且k+2≠0，代入求解可得k的范围.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，再将分式方程的左边利用异分母分式的加法法则化简，再整体代入即可得出关于m的方程，再根据原一元二次方程有两个不相等的实数根得出其根的判别式应该大于0，从而得出一个不等式，解混合组即可得出m的值。
8．【答案】A
【知识点】黄金分割；一元二次方程的应用-几何问题
9．【答案】-1
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
10．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意
，是方程的两个实数根
故答案为：2023
【分析】根据韦达定理可知两根之和，根据一元二次方程根的意义可知a2+a的和，利用等量代换和整体代换的思想可求代数式的值。
11．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
12．【答案】8
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】根据分析可列出方程： ＝28，
解得：x1＝8，x2＝－7（舍去），
故答案为：8.
【分析】抓住已知条件：参赛的每两个队之间都要比赛一场（单循环），利用一共比赛的场数=28，设未知数列方程，求解即可。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
14．【答案】（1），
（2），
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
15．【答案】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）典型的应用一元二次方程解决几何问题，设出未知量，根据给出的面积列出等量关系式，求解即可；（2）同理，根据给出的面积列出等量关系式，求解过程中发现判别式小于0即在实数范围内无解，故可得出结论“无法实现”。
16．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到即可求a的取值范围；
（2）根据，， 代入， 通过配方可得，即，十字相乘因式分解得：，，由（1）得， 所以 解得．
17．【答案】（1）解：
当时，代数式取得最大值是5
（2）证明：
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法的计算方法分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式及配方法的计算方法分析求解即可.
18．【答案】（1）2，
（2）
（3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】（ ）解：∵一元二次方程两个根为，
∴，；
故答案为：2，.
（2）解：∵，，
∴
∴；
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得答案；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再计算即可；
（3）先求出，，再将代数式变形为，再计算即可．
19．【答案】（1）；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵要尽快清仓，
∴；
（3）解：设所获利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W有最大值，
∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解： 降价前每件棉衣盈利50元，现在每件棉衣降价x元，
现在每件棉衣盈利 ，
降价前可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件，
可售出棉衣 件.
故答案为：；.
【分析】（1）用原本的利润50元减去降价的钱数即可得到现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件，即可求出可售出棉衣的数量；
（2）根据每件棉衣的利润×可售出棉衣的数量=总利润，列出方程求解作答即可.
（3）设所获利润为W，根据每件棉衣的利润×可售出棉衣的数量=总利润，列出W关于x的二次函数表达式，再利用配方法求最值即可求解.
20．【答案】（1）解：设运动时间为秒，，则，
由题意得：，，
，
，即．
解得：，不符合题意，舍去，
，
当时，，，
，
经过秒，的面积是，此时，的长为；
（2）解：不存在，理由如下：
，
，
，
，
，
没有实数根，
故不存在某一时刻，使．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）设运动时间为秒，，则，由题意得：，，进而根据三角形的面积结合题意解一元二次方程即可求出t，从而结合题意运用勾股定理即可得到PQ；
（2）先根据题意得到，进而即可列出一元二次方程，从而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
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