【提升版】北师大版数学八年级上册4.2一次函数与正比例函数 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·六盘水期中）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·盐湖月考）某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·红古期中）已知函数是正比例函数，则常数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
4．若3y-4与2x-5成正比例，则（ ）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y是x的非一次函数 D．y与x不构成函数关系
5．（2022八上·黄浦期中）下列问题中两个变量成正比例的是（ ）
A．正方形面积和它的边长
B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长
C．圆的面积与它的半径
D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数
6．（2021八上·鼓楼期末）EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当减少时，增加，则y与x的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八上·兴平期中）一长为 ，宽为 的长方形木板，现要在长边上截去长为 的一部分（如图），则剩余木板的面积 与 的关系式为（其中 ）（ ）.
A． B． C． D．
8．如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（ ）
A．S=3n B．S=3（n﹣1） C．S=3n﹣1 D．S=3n+1
二、填空题
9．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (3)）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式（指出自变量t的取值范围） ．
10．（2024八上·安徽期中）已知是关于x的一次函数，则这个函数的表达式为 ．
11．（2022八上·太原期中）某村要硬化一条全长为1000米的道路，若工程队硬化道路的平均速度为100米／天，则道路未硬化长度y（米）与施工时间x（天）之间的关系式为
12．（2023八上·西安期中）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水.据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05mL.小雅洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小雅离开x分钟后，水龙头滴出的水，则y与x之间的关系式为 。
13．（2022八上·太原期中）今年9月30日，太忻大道忻州段正式通车，标志着太忻大道全线通车．太忻大道南起太原市阳兴大道，北至忻州市忻府区，双向六车道．小王驾车从太忻大道南起点处出发，向北终点处匀速行驶，他离终点的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的部分对应值如表所示，则y与x之间的函数表达式为 ．
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4
y 41 35 29 23 17
三、解答题
14．（2023八上·泗洪期末）已知与成正比例，且当时，.求y与x的函数表达式.
15．已知，若函数y=（m﹣1）+3是关于x的一次函数
（1）求m的值，并写出解析式．
（2）判断点（1，2）是否在此函数图象上，说明理由．
16．（2023八上·成都开学考）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．
距离地面高度（千米）
温度（）
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
（1）如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式；
（2）你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？
17．（2023八上·红古期中） 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户居民每月用水x立方米，应缴水费y元．
（1）求出y关于x的函数表达式；
（2）若该市一户居民某月用水10立方米，求应缴水费；
（3）该市一户居民某月缴水费26.6元，求该户居民本月用水量．
18．（2023八上·西安期中）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量（只） 1 2 3 4 5 …
高度（cm） 5 6.2 7.4 8.6 9.8 …
设表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量。
（1）求出h与x之间的关系式，并判断h是否为x的一次函数；
（2）若同样的若干只碗摞在一起的高度为14.6cm，求这摞碗的数量。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、∵函数是二次函数，不是一次函数，∴A不符合题意；
B、∵函数是一次函数，∴B符合题意；
C、∵函数是反比例函数，不是一次函数，∴C不符合题意；
D、∵函数是二次函数，不是一次函数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】探索图形规律；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：1节链条的长度为2.5cm；
2节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）]cm；
3节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）×2]cm；
……
n节链条的总长度为：y=[2.5+（2.5-0.8)(n-1)]=1.7n+0.8，
即 与的关系式是y=1.7n+0.8，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出1节链条的长度，2节链条的总长度和3节链条的总长度，再找出规律，计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】函数是正比例函数，
解得k=1，
【分析】根据正比例函数的定义得进而求解.
4．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵3y-4与2x-5成正比例，
∴设3y-4=k（2x-5） （k≠0），
整理得：（k≠0），
∴y是x的一次函数 。
故答案为：B.
【分析】先根据正比例函数的定义，设3y-4=k（2x-5） （k≠0），再用x表示y，最后根据一次函数的定义，即可判断出答案。
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；
长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；
圆的面积等于 与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；
弧长 ，半径确定的圆中， 是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正比例函数的定义计算即可。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；列一次函数关系式
【解析】【解答】解： EF是BC的垂直平分线，
∴AD是∠BAC的角平分线
设，即
当减少时，则，增加，则
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AB=AC，利用等腰三角形的性质得，设∠ABC=α，∠BAC=β，根据已知条件可得到 y与x的函数表达式.
7．【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
y=2×5 2x=10 2x.
故答案为：C.
【分析】根据剩余木板的面积=原长方形的面积-截去的面积，列出y与x之间的关系式。
8．【答案】B
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以S=3n﹣3，即S=3（n﹣1）．
故选B．
【分析】由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×（2﹣1）；
第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×（3﹣1）；
第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×（4﹣1）；
…
由此可知S与n的关系式为S=3（n﹣1）．
9．【答案】v=10+5t（0≤t≤16）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t（0≤t≤16）．
故答案为v=10+5t（0≤t≤16）．
【分析】根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
10．【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一次函数，
∴，
解得k=-2，
∴一次函数解析式为，
故答案为：.
【分析】利用一次函数的定义可得，求出k的值，即可得到一次函数解析式为.
11．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意可得．
∵，
∴道路未硬化长度y（米）与施工时间x（天）之间的关系式为．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据求解即可。
12．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】根据题意，得.
【分析】水龙头每分钟滴出100滴水，每一滴水0.05毫升，一共滴了分钟，所以水龙头这段时间的滴水量应该是把这些量都乘起来.
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：起点处离北终点处41千米，
小王驾车行驶的速度为千米/时，
∴y与x之间是一次函数关系为．
故答案为：.
【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可。
14．【答案】解：设（k是常数且），
将，代入得，
解得，
所以y与x的函数表达式为：.
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【分析】设y-3=k(x+2)，将x=2、y=-1代入求出k的值，据此可得y与x的关系式.
15．【答案】解：（1）由y=（m﹣1）+3是关于x的一次函数，得
，解得m=﹣1，
函数解析式为y=﹣2x+3
（2）将x=1代入解析式得y=1≠2，
故不在函数图象上．
【知识点】一次函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；
（2）根据点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上，可得答案．
16．【答案】（1）解：由表格数据可得，高度每增加千米，温度就下降，
则；
（2）解：当时，，
即距离地面千米的高空温度是．
【知识点】函数值；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据求出高度每增加千米，温度就下降， 再求函数解析式即可；
（2）将h=16代入函数解析式计算求解即可。
17．【答案】（1）解：由题意得：当时，，
当时，，
综上所述，；
（2）解：∵，∴，
∴应缴水费15.8元；
（3）解：∵，
∴该户居民本月的用水量超过了8立方米，
∴，
解得．
∴该户居民本月用水量为14立方米．
【知识点】函数自变量的取值范围；列一次函数关系式；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）分当时和当x>8时两种情况，根据所给收费标准列出函数关系式即可；
（2）根据（1）所求关系式代入x=10求解即可；
（3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后将x=20.6代入（1）所求式子即可得出结论.
18．【答案】（1）解：由表格中两个变量的变化关系可得，
，
h是x的一次函数；
（2）解：当时，即，
解得，
答：这摞碗的数量是9只。
【知识点】列一次函数关系式；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表格中数据变化规律得出答案；
（2）根据函数关系式，当时，求出相应的x的值即可．
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册4.2一次函数与正比例函数 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·六盘水期中）下列函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、∵函数是二次函数，不是一次函数，∴A不符合题意；
B、∵函数是一次函数，∴B符合题意；
C、∵函数是反比例函数，不是一次函数，∴C不符合题意；
D、∵函数是二次函数，不是一次函数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的定义逐项分析判断即可.
2．（2023八上·盐湖月考）某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索图形规律；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：1节链条的长度为2.5cm；
2节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）]cm；
3节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）×2]cm；
……
n节链条的总长度为：y=[2.5+（2.5-0.8)(n-1)]=1.7n+0.8，
即 与的关系式是y=1.7n+0.8，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出1节链条的长度，2节链条的总长度和3节链条的总长度，再找出规律，计算求解即可。
3．（2023八上·红古期中）已知函数是正比例函数，则常数k的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】函数是正比例函数，
解得k=1，
【分析】根据正比例函数的定义得进而求解.
4．若3y-4与2x-5成正比例，则（ ）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y是x的非一次函数 D．y与x不构成函数关系
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵3y-4与2x-5成正比例，
∴设3y-4=k（2x-5） （k≠0），
整理得：（k≠0），
∴y是x的一次函数 。
故答案为：B.
【分析】先根据正比例函数的定义，设3y-4=k（2x-5） （k≠0），再用x表示y，最后根据一次函数的定义，即可判断出答案。
5．（2022八上·黄浦期中）下列问题中两个变量成正比例的是（ ）
A．正方形面积和它的边长
B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长
C．圆的面积与它的半径
D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；
长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；
圆的面积等于 与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；
弧长 ，半径确定的圆中， 是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正比例函数的定义计算即可。
6．（2021八上·鼓楼期末）EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，它从点D出发沿射线DE方向运动，当减少时，增加，则y与x的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；列一次函数关系式
【解析】【解答】解： EF是BC的垂直平分线，
∴AD是∠BAC的角平分线
设，即
当减少时，则，增加，则
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AB=AC，利用等腰三角形的性质得，设∠ABC=α，∠BAC=β，根据已知条件可得到 y与x的函数表达式.
7．（2020八上·兴平期中）一长为 ，宽为 的长方形木板，现要在长边上截去长为 的一部分（如图），则剩余木板的面积 与 的关系式为（其中 ）（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
y=2×5 2x=10 2x.
故答案为：C.
【分析】根据剩余木板的面积=原长方形的面积-截去的面积，列出y与x之间的关系式。
8．如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（ ）
A．S=3n B．S=3（n﹣1） C．S=3n﹣1 D．S=3n+1
【答案】B
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以S=3n﹣3，即S=3（n﹣1）．
故选B．
【分析】由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×（2﹣1）；
第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×（3﹣1）；
第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×（4﹣1）；
…
由此可知S与n的关系式为S=3（n﹣1）．
二、填空题
9．（初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数练习题 (3)）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的关系式（指出自变量t的取值范围） ．
【答案】v=10+5t（0≤t≤16）
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得
v=10+5t，
∵水池的容积是90m3，
∴10+5t≤90，
∴t≤16，
又∵t≥0，
∴0≤t≤16，
∴v=10+5t（0≤t≤16）．
故答案为v=10+5t（0≤t≤16）．
【分析】根据总容量=蓄水量+单位时间内的注水量×注入时间就可以表示出v与x之间的关系式，再根据水池的容积是90m3求出自变量t的取值范围．
10．（2024八上·安徽期中）已知是关于x的一次函数，则这个函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一次函数，
∴，
解得k=-2，
∴一次函数解析式为，
故答案为：.
【分析】利用一次函数的定义可得，求出k的值，即可得到一次函数解析式为.
11．（2022八上·太原期中）某村要硬化一条全长为1000米的道路，若工程队硬化道路的平均速度为100米／天，则道路未硬化长度y（米）与施工时间x（天）之间的关系式为
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意可得．
∵，
∴道路未硬化长度y（米）与施工时间x（天）之间的关系式为．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再根据求解即可。
12．（2023八上·西安期中）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水.据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05mL.小雅洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小雅离开x分钟后，水龙头滴出的水，则y与x之间的关系式为 。
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】根据题意，得.
【分析】水龙头每分钟滴出100滴水，每一滴水0.05毫升，一共滴了分钟，所以水龙头这段时间的滴水量应该是把这些量都乘起来.
13．（2022八上·太原期中）今年9月30日，太忻大道忻州段正式通车，标志着太忻大道全线通车．太忻大道南起太原市阳兴大道，北至忻州市忻府区，双向六车道．小王驾车从太忻大道南起点处出发，向北终点处匀速行驶，他离终点的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的部分对应值如表所示，则y与x之间的函数表达式为 ．
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4
y 41 35 29 23 17
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：起点处离北终点处41千米，
小王驾车行驶的速度为千米/时，
∴y与x之间是一次函数关系为．
故答案为：.
【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可。
三、解答题
14．（2023八上·泗洪期末）已知与成正比例，且当时，.求y与x的函数表达式.
【答案】解：设（k是常数且），
将，代入得，
解得，
所以y与x的函数表达式为：.
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【分析】设y-3=k(x+2)，将x=2、y=-1代入求出k的值，据此可得y与x的关系式.
15．已知，若函数y=（m﹣1）+3是关于x的一次函数
（1）求m的值，并写出解析式．
（2）判断点（1，2）是否在此函数图象上，说明理由．
【答案】解：（1）由y=（m﹣1）+3是关于x的一次函数，得
，解得m=﹣1，
函数解析式为y=﹣2x+3
（2）将x=1代入解析式得y=1≠2，
故不在函数图象上．
【知识点】一次函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案；
（2）根据点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上，可得答案．
16．（2023八上·成都开学考）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格．
距离地面高度（千米）
温度（）
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答；
（1）如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式；
（2）你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？
【答案】（1）解：由表格数据可得，高度每增加千米，温度就下降，
则；
（2）解：当时，，
即距离地面千米的高空温度是．
【知识点】函数值；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据求出高度每增加千米，温度就下降， 再求函数解析式即可；
（2）将h=16代入函数解析式计算求解即可。
17．（2023八上·红古期中） 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户居民每月用水x立方米，应缴水费y元．
（1）求出y关于x的函数表达式；
（2）若该市一户居民某月用水10立方米，求应缴水费；
（3）该市一户居民某月缴水费26.6元，求该户居民本月用水量．
【答案】（1）解：由题意得：当时，，
当时，，
综上所述，；
（2）解：∵，∴，
∴应缴水费15.8元；
（3）解：∵，
∴该户居民本月的用水量超过了8立方米，
∴，
解得．
∴该户居民本月用水量为14立方米．
【知识点】函数自变量的取值范围；列一次函数关系式；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）分当时和当x>8时两种情况，根据所给收费标准列出函数关系式即可；
（2）根据（1）所求关系式代入x=10求解即可；
（3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后将x=20.6代入（1）所求式子即可得出结论.
18．（2023八上·西安期中）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量（只） 1 2 3 4 5 …
高度（cm） 5 6.2 7.4 8.6 9.8 …
设表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量。
（1）求出h与x之间的关系式，并判断h是否为x的一次函数；
（2）若同样的若干只碗摞在一起的高度为14.6cm，求这摞碗的数量。
【答案】（1）解：由表格中两个变量的变化关系可得，
，
h是x的一次函数；
（2）解：当时，即，
解得，
答：这摞碗的数量是9只。
【知识点】列一次函数关系式；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表格中数据变化规律得出答案；
（2）根据函数关系式，当时，求出相应的x的值即可．
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