人教高中数学 第三章 函数概念与性质 单元测试（含答案）

人教高中数学函数概念与性质
一、单选题
1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．若幂函数的图象经过点，则的值为（　　）
A．2 B．-2 C． D．
3．若f[g(x)]=6x+3且g(x)=2x+1，则f(x)的解析式为 （　　）
A．3 B．3x C． D．
4．已知函数y=f（x+2）的定义域为（0，2），则函数y=f（log2x）的定义域为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，4） C．（4，16） D．（ ，1）
5．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A．f（x）=x和g（x）=
B．f（x）=|x|和g（x）=
C．f（x）=x|x|和g（x）=
D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）
6．已知函数 ,则方程 的实数根的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．连续函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调函数的有（　　）
A． B． C． D．
10．给出定义：若（），则称为离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（　　）
A．函数的定义域为，值域为
B．函数的图象关于直线（）对称
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
11．设函数，则（　　）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在单调递增
D．在单调递减
12．定义：若对于定义域内任意x，总存在正常数a，使得恒成立，则称函数为“a距”增函数，以下判断正确的有（　　）
A．函数是“a距”增函数
B．函数是“1距”增函数
C．若函数是“a距”增函数，则a的取值范围是
D．若函数是“2距”增函数，则k的取值范围是
三、填空题
13．幂函数f（x）图象过（2，4），则幂函数f（x）=　 　．
14．已知函数f（x）= 的图象关于点P中心对称，则点P的坐标是　 　．
15．设函数 满足 ，则 的解析式为　 　.
16．设函数f（x）= ，g（x）= f（x﹣1），则函数g（x）的递增区间是　 　．
四、解答题
17．已知 为二次函数，且 的两个零点为1和3， 为幂函数，且 和 都经过点 ．
（1）求函数 的定义域；
（2）当 时，求函数 的值域．
18．已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）当，时，求函数在区间上的最小值．
19．已知f（x）=x|x﹣a|+2x﹣3，其中a∈R
（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x的值．
（2）若f（x）在R上恒为增函数，求实数a的取值范围．
20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，（a＞0）， 若f（﹣1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立
（1）求F（x）的表达式；
（2）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求k的取值范围．
21．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润 （单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率 ，例如： ．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．
22．已知定义域为 的函数 是奇函数， 为指数函数且 的图象过点 .
（1）求 的表达式；
（2）若对任意的 .不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 恰有2个互异的实数根，求实数 的取值集合.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,C
11．【答案】B,D
12．【答案】A,B,D
13．【答案】x2
14．【答案】（﹣1，2）
15．【答案】
16．【答案】（﹣∞，0]，[1，2]
17．【答案】（1）解：设 ，（ ）
又 过点 ，∴ ，∴ ，
∴ ，
设 ，由 都经过点 知， ，∴ ，
∴ ，
，
∴ ，∴ 或 ，
∴函数的定义域为 ．
（2）令 ，∵ ，∴ ，
所以 ，
当 时， ； 时， ，
所以函数的值域为 ．
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
若函数为奇函数，则成立，即，
即恒成立，因为，所以；
（2）解：当，时，函数，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
则函数取得最小值为4.
19．【答案】（1）解：∵f（x）=x|x﹣a|+2x﹣3，
∴当a=4时， ；
作图如下：
由图知，当x=5时，f（x）max=f（5）=52﹣2×5﹣3=12；
当x=2或4时，f（x）min=f（2）=f（4）=﹣22+6×2﹣3=5，
（2）解： ，
∵f（x）在R上恒为增函数，
∴ ，解得﹣2≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[﹣2，2]．
20．【答案】（1）解：∵f（x）=ax2+bx+1（a＞0），
f（﹣1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；
∴x=﹣ =﹣1，且a﹣b+1=0；
即 ，
解得 ；
∴f（x）=x2+2x+1，
∴F（x）=
（2）解：∵f（x）=x2+2x+1，
∴g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，
∵g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，
∴x= 应满足：
≥2，或 ≤﹣2，
即k≥6，或k≤﹣2；
∴k的取值范围是{k|k≤﹣2，或k≥6}
21．【答案】（1）解：由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1
g（x）= = =
（2）解：当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1
∴g（x）= = = = ．
当21≤x≤60时，
g（x）=
=
=
=
=
∴当第x个月的当月利润率
（3）解：当1≤x≤20时， 是减函数，
此时g（x）的最大值为
当21≤x≤60时，
当且仅当 时，即x=40时，
，又∵ ，
∴当x=40时，
所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为
22．【答案】（1）由题意，设 ，
因为 过点 ，可得 ，
解得 ，即 ，所以 ，
又因为 为奇函数，可得 ，即 ，
解答 ，
经检验，符合 ，所以 .
（2）由函数 ，可得 在 上单调递减，
又因为 为奇函数，
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为对任意的 ，不等式 恒成立，
令 ，即 对任意的 恒成立，
可得 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）由于 为奇函数，所以由 ，
可得 ，
又因为 在 上递减，即 ，
显然 ，所以 ，
令 ，则 ，
又由当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成立；
当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
方程有2个互异实数根，画出 的图象，如图所示，
由图可得，实数 的取值集合为 或
1 / 1