《不等关系与不等式》导学案
使用说明及学法指导：
1.先精读一遍教材，用红色笔勾画；再针对导学案问题导学部分阅读并回答，时间不超过15分钟；
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范；
3.找出自己的疑惑点；
学习目标：
1．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
2．熟练掌握用比较法比较大小，提高灵活运用知识解题的能力.
3、自主学习、合作交流，探究不等式证明题的规律方法.
4、热情投入学习，养成扎实严谨的科学态度培养良好的数学思维品质.
学习重点、难点：
重点：作差法比较大小。难点：差的符号的判断（因式分解，配方法）。
一．课前预习
1.知识链接：①.实数与数轴上的点存在怎样的关系？
②. 实数a,b的大小有几种不同的关系？
2.自主学习：自学课本p60—p63思考并回答下列问题：
①不等式的概念： .
②. 或 . 或 .
思考：（1）当时，是否成立?
（2）当时，是否一定成立？
（3）当和都成立时，是否一定成立？
③对于任意的两个实数和，它们的大小关系有哪几种？
④性质：（等价性）是指 且 .
； ； ；
思考：两个实数（代数式）比较大小的方法是什么？其一般步骤是什么？变形的常用方法有哪些？
3.预习自测
（1）用不等号表示①a是非负数；
②实数a小于3，但不小于2：
③ a和b的差的绝对值大于2，且小于等于9
（2）比较与的大小.
二．课内探究
探究一.用不等式（组）表示不等关系
例题1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
练习.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，写出满足所有上述不等关系的不等式.
规律总结
探究二.实数的大小比较
例题2. 当p,q都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与(px2+qy2)的大小
练习. 比较两个实数（或代数式）的大小：
若，试比较与的大小.
已知，且，试比较和的大小.
规律总结
自主小结：
比较大小的方法
当堂检测：
1.一辆汽车原来每天行驶xkm，如果它每天多行驶19km，那么在8天内它的行程s就超过2200km；如果它每天比原来少行驶12km，那么行驶同样的路程s所学时间就超过9天。列出未知数x所满足的不等式（或不等式组）。
2.比较与（提示：根据x的不同范围，分类讨论）
三．课后拓展
1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为（ ）
A.h<4.5 B.h>4.5 C.h D.
2.下列命题正确的是
A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5
C、若x＞y，则x2＞y2 D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣
3..设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是
A、 m＞n B、 m＜n C 、m=n D 、 与x、y取值有关
4.下列不等式中，恒成立的是
A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C. D.2a>0
5.已知，求证：，并说明式中等号成立的条件.
教学设计
一、教材分析
1、教材所处地位、作用
本节课是高中新课程人教B版必修5第三章第一节第一课时的内容.
本节的内容是继学习等量关系之后，在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。不等关系在现实世界与日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用，它是学习不等式性质及解法的基础，又是构造方程、不等式与函数的基石；因此本节具有重要的奠基作用.
不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系，在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的基础地位。而本节课是不等式的起始课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.
2、教学目标
根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标：
知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。
过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法，掌握作差比较法。
情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯.
3、重点与难点
根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是：
教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，初步掌握作差比较法。
而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。
二、学情分析
教学应走在学生发展的前面，教学创造着最近发展区，对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。所以我对学生的学情作了如下分析
第一，初中已学过简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力．第四，因式分解和配方法还不够熟练。
针对学情，采取如下措施。
1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着的大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.
三、教法与学法
根据《新课标》中“坚持启发式，反对注入式”的教学要求，及基于本节课不等式的教学要着眼于与实际问题的联系. 在教学中我将建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式,在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理。
为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。
通过一系列指向性的问题，使全体学生积极思维参与学习.整个解决过程让学生体会分析问题的重要性,更深入的掌握用不等式组表示实际问题的不等关系,并为以后的线性规划问题做一定的铺垫,同时也培养学生思维的严谨性.
三、教学过程
1、创设情景，引出问题
通过一系列图片、日常用语等多种形式的不等关系，让学生观察、体验不等关系。
设计意图：这样通过图片展示，吸引学生，拉近老师与学生之间的距离，充分调动学生的学习积极性。
2、实例建构，归纳新知
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
长短 高矮
轻重 大小
雷声大，雨点小
道高一尺，魔高一丈
你能例举生活中的一些不等关系吗?
并给学生一定的时间和空间，大胆发言，说说身边的不等关系，从而进一步体验不等关系普遍存在，激发学生的学习兴趣，而正值学生情绪高涨，我将及时给出问题：
在数学中我们如何表示不等关系?
首先将引入时展示的简单不等关系用不等式表示，再是让学生尝试将自己列举的一些不等关系转化为不等式，教师及时点评。
设计意图：此过程在学生现有发展水平的基础上完成，起点低，学生基本能准确的用不等式刻画不等关系，从而使全体学生积极参与并体验到成功，也为后面的难点突破做铺垫。
通过上述实践，接下来，我以问题串的形式，让学生自己归纳总结，教师适当点评，并强调准确写出不等式的关键是找出体现不等关系的不等词，抓住重点，体现难点。
引出不等式的概念。用≠、＜、＞、≤、≥连接而成的式子叫代数式。
注意：（1）.不等号的种类？
（2）.将不等关系表示成不等式的方法？1）问题分析；2）变量的确定；3）不等关系的确定；4）建立不等式；
（3）.能准确写出不等式的关键是什么？表示变量及关系。
3、.展示学习目标与学案点评：
（1）．能用不等式（组）表示简单实际问题中的不等关系。
（2）．熟练掌握比较大小的方法----作差法.
（3）.自主学习、合作交流，热情投入，养成扎实严谨的科学态度培养良好的数学思维品质.
点评学案完成情况
小 组
优 秀 个 人
1组 ★★★★
2组 ★★★★
3组 ★★★
4组 ★★★★
5组 ★★★★
6组 ★★★
7组 ★★★★
8组 ★★★★
突出问题：
（1）.探究一用不等式表示不等关系的能力不够；
（2）.作差变形方法不够熟练；
（3）.预习部分个别题目空白；
（4）.运算能力较差；
（5）.抄课本例题.
从而引入下一环节，也就是本节课的重点、难点、探究点：用不等式（组）表示不等关系。为了突破难点，下面我将通过由浅入深的过程引导学生分析、探究。
4、典例示范，合作探究
探究一：用不等式（组）表示不等关系
例1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
设计意图：我们说教学不能只适应现有发展水平，而应适应最近发展区，从而不断冲击最近发展区，达到新的发展水平。因此在学生自主归纳新知后，我将及时通过典型例题，加以应用。通过例1让学生参与到不等关系的数学刻画，建构一元二次不等式，本题对学生的要求也比较低，可以放手让学生完成，并且为后面出现的较复杂问题做好一定准备。
练习.
某钢铁厂要把长度为4000的钢管截成500和600两种，按照生产的要求，600 钢管的数量不能超过钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
设计意图：此练习相比例1，提升了难度。因此本例的分析、引导是关键。本题出现了两个变量、多个不等式，学生可能会感到困难，所以我将采用分组讨论的方式，
通过一系列指向性的问题，使全体学生积极思维参与学习.整个解决过程让学生体会分析问题的重要性,更深入的掌握用不等式组表示实际问题的不等关系,并为以后的线性规划问题做一定的铺垫,同时也培养学生思维的严谨性. 此过程，通过将实际问题到数学问题的转化，将不等关系到不等式的刻画，不仅巩固了不等关系的表示，而且通过提出新问：我们该如何证明此不等式？很自然地引出了作差比较法。
下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易接受。
探究二：两个实数大小的比较
思考1? 任给两个实数 ,它们之间有什么关系？
两个实数 有三种关系，a>b ，a=b ，a思考2? 如何比较两个实数 的大小？
几何角度：通过数轴，实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系，那些表示实数的点在数轴上有次序地排列．数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大
代数角度：作差法
如果a-b 是正数，则a>b ；如果a>b ，则a-b 是正数；
如果 a-b是负数，则a如果a-b 等于零，则a=b ；如果a=b ，则a-b 等于零．
不等式的基本事实为我们比较大小提供了依据，通过利用差与零比较大小，得到两个数的大小关系.
在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在下一环节中，我设计了几个问题，让学生在问题探索中学习新知。
引例.比较下面两组代数式的大小：
设计意图：本例给出两组代数式比较简单的作差比较，师生合作完成，教师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。
步骤：作差→变形→判号→结论.
其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因式、通分、配方、有理化等.
例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.
设计意图：紧跟引例，一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了代数变形的数学思想，为课后的能力提高训练给予一点启示。
例2后跟两个练习，训练作差法和判断符号的能力。
6、你说我讲，共同小结
1. 如何用不等式表示不等关系？
2.作差比较法的步骤和关键？
通过问答的方式，学生自己回忆总结本节课的收获，这样可以在最后短短几分钟内使学生脑海中迅速回放本节课的学习过程，加以归纳概括，再通过及时点评，使学生对重点内容
更加深刻。
7、布置作业
1.学案课后拓展1----6题
2.自主学习3.1.2不等式的性质学案
8、板书设计：
3.1.1不等关系与不等式
情景引入
不等关系
不等式
列不等式
4.作差法比较大小
总结
作业
当堂检测
一.基础题
1.（1）用不等号表示
①a是非负数；
②实数a小于3，但不小于2：
③ a和b的差的绝对值大于2，且小于等于9
比较与的大小.
一辆汽车原来每天行驶xkm，如果它每天多行驶19km，那么在8天内它的行程s就超过2200km；如果它每天比原来少行驶12km，那么行驶同样的路程s所学时间就超过9天。列出未知数x所满足的不等式（或不等式组）。
比较与
二．拓展题
1．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为（ ）
A.h<4.5 B.h>4.5 C.h D.
2.下列命题正确的是
A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5
C、若x＞y，则x2＞y2 D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣
3..设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是
A、 m＞n B、 m＜n C 、m=n D 、 与x、y取值有关
4.下列不等式中，恒成立的是
A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C. D.2a>0
已知，求证：，并说明式中等号成立的条件.
课件25张PPT。高中数学人教版必修5第三章第一节3.1.1不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式AB横看成岭侧成峰，远近高低各不同在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系长短高矮轻重大小你能举出我们数学中的一些不等关系吗？那么在数学中我们是用什么来表示不等关系的呢？不等式? 我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式.重点理解： ≤、≥ 两个符号强调 2.自主学习思考：学习目标：
1．能用不等式（组）表示简单实际问题中的不等关系。
2．熟练掌握比较大小的方法----作差法.
3. 自主学习、合作交流，热情投入，养成扎实严谨的科学态度，培养良好的数学思维品质.3.1.1不等关系与不等式重点：用不等式表示不等关系；
作差法比较大小难点：差的符号的判断
学案预习反馈突出问题：
1.探究一用不等式表示不等关系的能力不够；
2.作差变形方法不够熟练；
3.预习部分个别题目空白；
4.运算能力较差；
5.抄课本例题.展示要求：
①展示同学展示迅速，书写规范。
②展示开始时非展示同学可继续讨论，或翻阅学案、课本，进一步思考；
③展示快结束时，迅速浏览展示内容，认真比对，准备点评、补充， 质疑、追问。合作探究，展示精彩探究一：用不等式（组）表示不等关系
例1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？思考(1 )销售量减少了多少?
(2)现在销售量是多少?(3)销售总收入为多少?（4）用不等式表示不等关系为：解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：因此，销售总收入为：用不等式表示不等关系为：(x>0)总结：将不等关系表示成不等式的方法？1）问题分析；
2）变量的确定；
3）不等关系的确定；
4）用未知数表示变量，建立不等式；
练习.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.
(2)用不等式（组）表示上述不等关系.分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？(3)截得两种钢管的数量都不能为负.(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm
的钢管数量的3倍；(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；上面三个不等关系，需要同时成立，应该用不等式组来表示：考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈Nx,y∈N思考：1.如何比较两个同学的身高？
2.如何比较两个数的大小？数轴上任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a=x2－2x+2 =(x－1)2+1因为(x－1)2≥0，所以 (x－1)2+1>0
所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.（1）作差（2）变形（3）判号（4）结论小结：作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论本例中，变形的方法是配方法.探究二：两个实数大小的比较展示要求：
①展示同学展示迅速，书写规范。
②展示开始时非展示同学可继续小声讨论，或翻阅学案、课本，进一步思考；
③展示快结束时，迅速浏览展示内容，认真比对，准备点评、补充、 质疑、追问。我展示，我精彩例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小.解：(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，因此(px+qy)2－(px2+qy2)= -pqx2-pqy2+2pqxy
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，因为p，q为正数，所以-pq<0, 又因为(x－y)2 ≥0,
所以－ pq(x－y)2 ≥0
因此(px+qy)2≤px2+qy2. 当且仅当x=y时，不等式中等号成立.1. 作差；
2. 变形：配方、因式分解；
3. 判断符号；
4. 作出结论．小结：比较大小的方法作差步骤是：自主小结：（2）比较大小的方法：（1）用不等式（组）表示不等关系：作业：1.学案课后拓展1----6题2.自主学习3.1.2不等式的性质学案
