1.3.1正方形的性质课件（35张PPT） 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

(共35张PPT)
1.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第一章 特殊的平行四边形
创设情境，导入新课
生活中的正方形
好
好
学
习
天
天
向
上
像矩形
十
年
树
木
百
年
树
人
像菱形
矩形
前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形是由什么图形怎样变化而来？
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形的性质
1
矩 形
〃
〃
正方形
一组邻边相等
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢
你有什么发现？
正方形
一个角是90°
探究新知，经历过程
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
正方形定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.它具有矩形与菱形以及平行四边形的所有性质.
总结
议一议
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
相关图形性质的关系
平行四边形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
菱形的性质
四条边相等
对角线互相垂直
四个角都是直角
对角线相等
矩形的性质
正方形的性质
正方形的性质
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
AB = BC = CD = DA
∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°
AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证一证
(2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
韦恩图：
归纳总结
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的性质
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
判一判
性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等
四边相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线相互平分
对角线相互垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
想一想
正方形是不是轴对称图形？
如果是，那么对称轴有几条？
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
对称性： ，
对称轴： .
轴对称图形
4 条
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
①∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴ BC = DC，∠BCE = 90°，
∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵ CE = CF，
A
B
D
C
F
E
∴ △BCE≌△DCF (SAS).
∴ BE = DF.
A
B
D
F
E
② 延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF.
综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF.
C
M
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形，
求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵ △BEC 是等边三角形，
∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.
∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.
∴△ABE，△DCE 是等腰三角形.
∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.
∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°.
四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．（分类讨论）
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
【变式题1】
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．
【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC =∠DCB = 90°．
∵ PB = PC，
∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，
即∠ABP =∠DCP．
又∵ AB = DC，PB = PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC =∠DAC = 45°．
∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．
又∵AP = AB = AD，
∴ DP = AP = AD，
即 △APD 是等边三角形．
∴∠DAP = 60°．
∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°，
∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°．
∴∠BAP = 2∠PAC．
（2）求证：∠BAP = 2∠PAC．
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5°
第3题图
第4题图
45
1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？它们分别是？（列出来）
【选自教材P21 随堂练习】
巩固练习，深化提高
解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，
连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC（SAS）,
△FCD与 △FCB（SAS）,
△FAD 与 △FAB（SAS）．
【选自教材P21 随堂练习】
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，
连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：
∵正方形 ABCD,
∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
【选自教材P21 随堂练习】
【选自教材P22 习题1.7 第1题】
3. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？
解：∵ABCD 是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°
△ABC是等腰直角三角形，
AB2 + BC2 = AC2 = 4，
∴AB =
【选自教材P22 习题1.7 第2题】
4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形，
求∠AEB 的度数.
证明: ∵△BEC 是等边三角形，
∴BE = EC = BC = AB，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °
∴∠AEB = = 75 °
【选自教材P22 习题1.7 第3题】
5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四
个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.
证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O．
在正方形 ABCD 中,
∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ．
又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°,
∴△ABP ≌△DAQ（SAS）．
∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB．
∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
6. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条
直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考
虑道路的宽度）.你有几种方法？画出图
【选自教材P22 习题1.7 第4题】
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
正方形的定义
正方形的性质
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.