《椭圆及其标准方程》教学设计
教学环节
教学程序及设计
设计意图
课
题
引
入
直接引入，同学们，今天我们来学习《椭圆及其标准方程》，实际上，椭圆我们在现实生活中经常遇到，比如说：卫星围绕地球运动轨迹（教师展示多媒体图片）.
那么，在现实生活中我们还遇到哪一些椭圆的形状呢？（请同学们思考后回答）.
三个学生列举了生活中遇到的椭圆形状。
直接引入课题，并且借多媒体形成生动的直观图象，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性.
通过同学们举例现实生活中的椭圆形状，直观认识椭圆.
创
设
情
境
给出椭圆的一些实物图片：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、桌子，橄榄球。
这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类图形：归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹问题。如何用现有的工具画出图形？（启发学生用画圆的方法试着画图）
教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同用给的工具画出图形，与上述图形相似——椭圆。
2．动画演示椭圆的形成：
问：哪些量是固定的、不变的？哪些量是变化的？
[学生讨论、作答]
问：椭圆如何定义？
[学生讨论、作答]
通过图片、实物，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。
注重概念形成过程，通过让学生亲自动手，思考问题；从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力。
通过讨论让学生都积极地参与到学习中来，体现学生主体意识，开动大脑，训练思维。
通过讨论对椭圆的定义有初步的感性认识。并作归纳。
探
究
问
题
3．归纳，形成概念
定义：到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
定点F1、F2称为椭圆的焦点。
F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距。
问：为什么常数要大于|F1F2|？
不大于会如何？
（学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结果）
4．椭圆的标准方程的推导
（1）如何选取坐标系？
方案：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴
（3）推导方程
以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系。
设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距│F1F2│为2c（c>0）、正常数为2，则F1（-c,0）、F2（c,0）
根据椭圆的定义可得：│PF1│+│PF2│=2
[化简过程由学生探索完成]
化简得
设，
(为什么要取平方？)
[学生思考，问题由老师来回答]
方程简化为：
可以证明它就是椭圆的方程，我们称它为椭圆的标准方程。
（3）若以把椭圆的焦点放在Y轴上建立坐标系，则椭圆标准方程会是什么样的？教师与学生一起探索研究
椭圆的标准方程为：
2.两种类型的椭圆方程的比较：
焦点在X轴： F1（-c,0）、F2（c,0）
焦点在Y轴： F1（0,-c）、F2（0,c）
【关系】
在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。
学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。
通过教师提问让学生体会这样建系的好处。
同时让学生参与到问题的解答中，体验方程推导的全过程，数形结合思想，用代数方法解决几何问题的思想和方法，起到真正掌握这一方法的目的。
复习无理方程的化简，老师演示化简过程来突破难点。
体现对称的思想及数学的美感
学生运用类比的方法，参照上面方法推导焦点在y轴的椭圆的标准方程。反馈学生的掌握情况，并以此训练学生的运算能力，活学活用能力。
学生此时已没有困难，能够动手完成。让学生体会成功喜悦，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用。
通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。也是对学生观察、归纳能力的训练。
范
例
教
学
平面内有两个定点(-4,0),(4,0),平面上一点P到这两个定点的距离的和是10,P点的轨迹方程.
分析判断:
1.和是常数;
2常数大于两个定点的距离,故点的轨迹是椭圆.
3.焦点在x轴上,过两个定点的直线是x轴,它的线段垂直平分线是y轴.从而保证方程是标准方程.
4.根据已知求出a、c,再推出a、b写出椭圆的标准方程.
跟踪练习：
（学生口答完成）
【例2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于，求它的标准方程.
（学生黑板板演）
巩固椭圆的定义。利用定义法来解决轨迹问题
通过此例的两个小题，让学生明白，在求椭圆标准方程时，首先要判断焦点所的位置，也是待定系数法的运用，对标准方程中a、b、c 的关系的掌握。
从基础入手，让学生掌握好基础知识。即掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法（看大小）。
教师分析：学生黑板板演。
反
馈
练
习
1. 已知椭圆的方程为：，请填空：
(1) a=_ _，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=___
2.椭圆3x2+2y2=1的焦点坐标是（ ）
A.(0,－)、(0,) B.(0,-1)、(0,1)
C.(-1,0)、(1,0) D.(-,0)、(,0)
3. 如果方程x?2+ky?2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是????????（????） ????A．(0,?+∞)????B．(0,?2)????C．(1,?+∞)?????D．(0,?1)
4. 椭圆 的焦点是 . 若CD为过左焦点F1的弦，则的周长是 .
5. 椭圆 上一点P到 焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2距
离是 .
利用练习，及时反馈，强化知识点的学习。
归
纳
小
结
1．两种类型的椭圆方程的比较（注意板书内容）
2．总结判断焦点位置的方法。（看大小）
通过小结，使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。
布
置作
业
1．教材P37
练习 1题；3题
2．思考题：已知直线经过椭圆的一个焦点，且与椭圆交于A、B两点，求的周长。
体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。
《椭圆及其标准方程》评测练习
（A组）
1．设M是椭圆上一点，是椭圆的焦点．如果点M与焦点的距离为4,那么点M与焦点的距离是
2.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹是 .
3.根据下列条件，求椭圆的标准方程：
⑴b=3,经过点（0,－4），焦点在y轴上；（2）a=5,b=，焦点在y轴上。
（3）焦点坐标为（－5,0），（5,０），椭圆上一点与两焦点的距离的和是26；
（4）焦点坐标为和，且经过点
（B组）
4.椭圆mx2+ny2=-mn(m5.若A点坐标为（1，1），F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|+|PF1|的最小值是__________.
6. 已知椭圆，作一个三角形，使它的一个顶点为焦点,另两个顶点D,E在椭圆上且边DE过焦点，试问所画的的周长是一个定值吗？如果是定值这个定值是多少？
8、已知和,过点B的直线l与过点C的直线m 相交于点A ,设直线l的斜率为，直线m的斜率为。如果，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.
课件21张PPT。高中数学选修1-1
2.1.1 椭圆及其标准方程人民教育出版社
高二年级
椭圆及其标准方程学习目标:知识与技能目标：
1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程.2.能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆标准方程.
过程与方法目标：
通过对椭圆标准方程的推导的探索，进一步掌握求曲线方程的一般方法，并理解数形结合法等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力.
情感、态度与价值观目标：
大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作与学习中，体验学习的快乐. 在我们实际生活中，同学们还见过其他椭圆吗？能举出一些实例吗？
想一想生活中的椭圆 问题2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？问题的提出： 3.若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？问题1.什么是圆？实验探究 [1]取一条细绳，
[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形?
思考探究：满足哪几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？[1]平面上----这是大前提
[2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a
[3]常数 2a 要大于焦距 2C注意:
（1）必须在平面内;
（2）两个定点——两点间距离
确定;(常记作2c)
（3）常数——轨迹上任意点到两
定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c) 1 .椭圆定义：
平面内与两个定点 的距离和等于常数（大于
）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”) 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：将方程移项后平方得：两边再平方得：椭圆标准方程的推导由椭圆定义知：两边同除以 得：这个方程叫做椭圆的标准方程，
它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，
可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。深化概念、问题探究：问题2：椭圆的标准方程中三个参数a、b、c间的关系式怎样的？问题3、由椭圆的标准方程，如何判断焦点在哪一个轴上 .问题4、求椭圆的方程需要几个条件？因此我们需要求椭圆的标准方程时,应该应用待定系数法(其步骤是:先设方程.在求参数,最后写出方程),其关键是求a、b的值.问题1、椭圆的方程形式特征有哪些：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上 .椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定. 即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程.
焦点坐标其中焦点坐标其中小结二：椭圆的标准方程焦点在
x轴上焦点在
y轴上例1.平面内有两个定点(-4,0),(4,0),平面上一点P到这两个定点的距离的和是10,P点的轨迹方程.分析判断:
1.和是常数;
2常数大于两个定点的距离,故点的轨迹是椭圆.
3.焦点在x轴上,过两个定点的直线是x轴,它的线段垂直平分线是y轴.从而保证方程是标准方程.
4.根据已知求出a、c,再推出a、b写出椭圆的标准方程.习题训练1 根据椭圆的方程填空习题训练2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 （３） 满足a=4,c= ，椭圆的标准方程为____ _______解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:由椭圆的定义知 又因为c=2,所以b2=a2-c2=6因此,所求椭圆的标准方程为:例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于 ，求它的标准方程.例题讲解焦点坐标其中焦点坐标其中小结二：椭圆的标准方程焦点在
x轴上焦点在
y轴上课堂练习14201、椭圆的的标准方程 有几个?2、根据椭圆标准方程,怎样判断焦点在哪个轴上?3、求椭圆标准方程需要多少个量?小结答:两个.焦点分别在x轴,y轴答:两个量,a,b或a,c或b,c答:在分母大的那个轴上.其中
