2024-2025学年黑龙江省绥化二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省绥化二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知一组数据为，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
6.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，已知，则( )
A. B. C. D.
8.若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为，则此三棱柱外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则下列说法正确的是( )
A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. 的虚部为
C. D. 的共轭复数
10.在空间中，已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是
( )
A. 若，且，，则
B. 若，且，，则
C. 若与相交，且，，则与相交．
D. 若，且，，则．
11.已知圆锥的底面半径为，其母线长是，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的高是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角为
C. 圆锥的表面积是 D. 圆锥的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则______．
13.已知球的半径为，则该球的表面积等于______，则该球的体积等于______．
14.某校高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生，现要从该校全体学生中抽取人进行视力检查，应从高一年级抽取______人
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足，且．
求向量的夹角；
求．
16.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，设 ．
求；
若，的面积为，求的值．
17.本小题分
某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，将所得数据分成组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名员工所得分数的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表和中位数精确到；
现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取人，求这组中抽取的人数．
18.本小题分
如图，在正方体中
求证：平面
求证：C.
19.本小题分
在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．
求证：平面；
若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以．
因为，
所以，即．
因为，
所以，
又因为，
所以．
由知，，且，
所以，
所以．

16.解：在中，，
由正弦定理得到，化简可得，
所以，，故．
，
，又，
，
．
17.解：由题意知，
解得．
估计这名员工所得分数的平均数．
的频率为，
的频率为，
所以中位数落在区间，设中位数为，
所以，
解得，即估计这名员工所得分数的中位数为．
的人数：，
的人数：，
的人数：，
所以这组中抽取的人数为：．

18.证明：正方体，
，又平面，且平面，
平面．
【法一】连接，，，
正方体中平面，平面，
所以，
在正方形中，，又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以C.
【法二】在正方体中，平面，
则为在面内射影，
又平面，
在正方形中，，
由三垂线定理得，C.

19.解：证明：如图，连接，设，连接，
在中，，，，
又平面，平面，
平面．
由正三棱柱，可得平面，
平面，，为的中点，，
又，，平面，
平面，又，平面，
，，
二面角的平面角是，
在平面内作，连接，
平面，平面平面，
又平面平面，平面，
故CH平面，
直线和平面所成的角为，
又平面，，
，
直线和平面所成角的正弦值为．

第1页，共1页