江苏省无锡市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1．（2024·无锡）4的倒数是（ ）
A． B．﹣4 C．2 D．±2
2．（2024·无锡）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≥3
3．（2024·无锡）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C． D．x＝2
4．（2024·无锡）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，34
5．（2024·无锡）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正五边形
6．（2024·无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．12π C．15π D．24π
7．（2024·无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1
8．（2024·无锡）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
9．（2024·无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论：
①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·无锡）分解因式：x2﹣9= .
12．（2024·无锡）在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km．数据45000用科学记数法表示为 ．
13．（2024·无锡）正十二边形的内角和等于 度．
14．（2024·无锡）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 命题．（填“真”或“假”）
15．（2024·无锡）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
16．（2024·无锡）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 ．
17．（2024·无锡）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 ．
18．（2024·无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（2024·无锡）计算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
20．（2024·无锡）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
21．（2024·无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
22．（2024·无锡）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（2024·无锡）五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
（1）【确定调查方式】
小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
（2）【整理分析数据】
小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度x/cm 频率
4.0≤x＜4.7 0.04
4.7≤x＜5.4 m
5.4≤x＜6.1 0.45
6.1≤x＜6.8 0.30
6.8≤x＜7.5 0.09
合计 1
根据图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝ ▲ ；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）【作出合理估计】
请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
24．（2024·无锡）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
25．（2024·无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
26．（2024·无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
27．（2024·无锡）
【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，CD分别交于点M，N．
【解决问题】
（1）当点C'与点A重合时，求B'M的长；
（2）设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AFC'＝∠ADC时，求AC'的长．
28．（2024·无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：4的倒数是.
故答案为：A.
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数 ，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在函数中， 有x-3≥0，
∴自变量x的取值范围是x≥3，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，得关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围即可.
3．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴方程两边同时乘x（x+1），得x+1=2x，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x（x+1）≠0，
∴分式方程的解是x=1，
故答案为：A.
【分析】根据解分式方程的解法进行求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据按从小到大进行排列为：31，32，35，35，37，
∴这组数据的平均数为：，中位数为：35，
故答案为：C.
【分析】根据平均数、中位数的定义进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、直角三角形不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故C符合题意；
D、正五边形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
6．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，
∴圆锥的侧面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的侧面积计算公式：（r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线长）进行求解.
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设经过x天相遇，
根据题意，得，
故答案为：A.
【分析】根据题意得野鸭和大雁的速度分别为， 设经过x天相遇，由总路程=野鸭的路程+大雁的路程列出方程.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=80°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-65°=35°，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴∠B'AC'=∠BAC=35°，
∴∠BAC'=2∠BAC=2×35°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，根据旋转的性质得∠B'AC'=∠BAC，从而求出∠BAC'=2∠BAC.
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于F，
∴∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
设BC=CD=a，
∵点E是CD中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC，交BC延长线于F，得∠BFE=90°，根据菱形的性质得BC=CD，AB∥CD，从而有∠ECF=∠ABC=60°，设BC=CD=a，得，接下来在中，解直角三角形得，从而得BF的值，进而利用勾股定理求出BE的值，最后根据正弦的定义得.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=-1+4=3，当x=3时，y=-3+4=1，
∵函数y=-x+4，
∴y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围是1≤y≤3，
∴根据题意，得t=1，
∴1≤x≤3是函数y=-x+4的“1级关联范围”，结论①正确；
②当x=0时，y=0，当x=2时，y=4，
∵函数y=x2的对称轴为直线x=0，函数抛物线开口向上，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4，
∴根据题意，得t=2，
∴0≤x≤2是函数y=x2的“2级关联范围”，结论②不正确；
③∵函数，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，
设0假设函数存在”3级关联范围“，
∴，
∴k=3mn，
∵k>0，0∴总存在k=3mn，
∴函数总存在”3级关联范围“，结论③正确；
④∵函数y=-x2+2x+1对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，
设m≤x≤n<1，则-m2+2m+1≤y≤-n2+2n+1，
假设函数y=-x2+2x+1存在”4级关联范围“，
∴，
∴，
∴是函数y=-x2+2x+1的”4级关联范围“，结论④错误；
故答案为：A.
【分析】①先求出当1≤x≤3时，y的取值范围是1≤y≤3，再根据新定义得t=1，从而判断结论①；
②先求出当0≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4，再根据新定义得t=2，从而判断结论②；
③先设0④设m≤x≤n<1，则-m2+2m+1≤y≤-n2+2n+1，假设函数y=-x2+2x+1存在”4级关联范围“，得，求出m、n的值，从而判断结论④.
11．【答案】（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
12．【答案】4.5×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：45000=4.5×104
故答案为：4.5×104.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为原数的整数位数.
13．【答案】1800
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知：180°×（12-2）=1800°，
故答案为：1800．
【分析】利用多边形的内角和公式：当多边形的边数为n（n正整数，n≥3）时，则n边形的内角和为，即可求解.
14．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴a-3>b-3，
∴命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是假命题，
故答案为：假.
【分析】根据题意得：a＞b，则a﹣3>b﹣3，即可求解.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 某个函数的图象关于原点对称，且当x>0时，y随x的增大而增大 ，
∴这个函数表达式为：，
故答案为：.
【分析】根据函数的性质写出一个适合的函数表达式即可.
16．【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE，EF，DF是的中位线，
∵AB=4，BC=6，AC=8，
∴，
∴的周长为DE+EF+DF=4+2+3=9，
故答案为：9.
【分析】根据题意得DE，EF，DF是的中位线，然后根据三角形中位线定理求出DE，EF，DF，接下来即可求出的周长.
17．【答案】2或3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：设平移后点A，B对应的点为C，D，
根据题意，得OA=OB=5，
∴A（-5，0），B（0，5），
∴C（-5+a，-a），D（a，5-a），
∵C，D在函数的图象上，
∴-a（-5+a）=6
解得：a1=2，a2=3，
故答案为：2或3.
【分析】设平移后点A，B对应的点为C，D，根据题意得A，B的坐标，然后利用坐标的平移规律得点C，D的坐标，接下来根据反比例函数上点的坐标特征得关于a的方程，解方程求出a的值即可.
18．【答案】2；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AQ=x，PQ=y，
∴当x=y时，AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CM∥PQ，
∴∠CDA=∠QPA，
∴∠CDA=∠QAP，
∴CD=AC，
∵AC=2，
∴CD=2；
设ED=a，
∵AP=2ED，
∴AP=2a，
∵CM∥PQ，
∴，
∴，即，
∴，
又∵CM∥AB，
∴∠CDE=∠EAB，
∵∠CED=∠AEB，
∴，
∴，
∵AB=3，DE=a，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；.
【分析】根据题意，得AQ=PQ，从而根据”等边对等角“得∠QAP=∠QPA，利用平行线的传递性得CM∥PQ，从而有∠CDA=∠QPA，进而证出∠CDA=∠QAP，根据”等角对等边“得CD=AC=2；
设ED=a，得AP=2a，由”CM∥PQ“证得，根据相似三角形对应边成比例的性质得，从而求出，由”8字相似模型“易证，从而根据相似三角形的性质得，有，进而求出，最后计算即可求解.
19．【答案】（1）解：原式＝4﹣4+2
＝2；
（2）解：原式＝a2-2ab+a2+2ab+b2
＝2a2+b2．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义、算术平方根、负整数指数幂进行化简，然后进行加减计算；
（2）先用单项式乘多项式，同时用完全平方公式进行计算，然后去括号进行合并同类项即可.
20．【答案】（1）解：∵（x-2）2-4＝0，
∴（x-2）2＝4，
∴x-2＝2或x-2＝-2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）解：，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞-1，
∴原不等式组的解集为：-1＜x≤3．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用“直接开平方”法解一元二次方程；
（2）利用解不等式组的方法进行求解即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）证明：由（1）得△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得AB=DC，∠B=∠C=90°，然后用中点的定义得BE=CE，接下来根据全等三角形判定定理“SAS”即可得证△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形对应边相等得AE=DE，从而根据等腰三角形“等边对等角”得证∠EAD＝∠EDA．
22．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
白 红 绿
白 （白，白） （白，红） （白，绿）
红 （红，白） （红，红） （红，绿）
绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿）
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果数为1，
∴摸到白球的概率为：，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得所有的等可能结果数，得摸到白球的结果数，然后利用概率公式进行求解；
（2）根据列表法得出所有的等可能结果数，从而得其中2次摸到的球颜色不同的结果数，然后利用概率公式进行求解即可.
23．【答案】（1）③
（2）解：①0.12，
②麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数有：100×0.3＝30，
∴频数分布直方图补全如下：
（3）解：（0.45+0.3+0.09）×100%＝84%，
∴长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为84%．
【知识点】抽样调查的可靠性；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）根据题意，调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③；
（2）① m=1-（0.04+0.45+0.30+0.09）=0.12，
故答案为：0.12.
【分析】（1）根据抽样调查的特点进行解答即可；
（2）①用1减去其它频率的和即可求出m的值；
②先求出麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数，再补全频数分布直方图；
（3）先求出长度不小于5.4cm的麦穗的频率和，再乘以100%即可求解.
24．【答案】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
设AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB2＝DC2，
∴x2+（7﹣x）2＝x2+（5﹣x）2，
解得：x＝6，
∴AF=DF=6，
∴
【分析】（1）作∠BAC的平分线和BC的垂直平分线交于点D，即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，得∠AED＝∠AFD＝90°，从而证出四边形AEDF为矩形，根据角平分线的性质得DE=DF，从而得四边形AEDF为正方形，进而设AE＝AF＝ED＝DF＝x，得BE=7-x，FC=5-x，在Rt△BED和Rt△CFD中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，最后再用勾股定理求出AD的值即可.
25．【答案】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元；
（2）解：设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40-a）＝-10a+1200，
∵一次项系数k=-10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝-10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据“A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25”得a的取值范围，设购买这40件劳动用品需要W元，根据题意得W关于a的一次函数表达式，接下来利用一次函数的性质进行求解即可.
26．【答案】（1）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CEA，
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°，
∴∠ADC＝2×22.5°＝45°.
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论：等弧所对的圆周角相等，得∠CAD＝∠DAB，然后根据“等边对等角”得∠DAB＝∠E，从而有∠CAD＝∠E，接下来由两组对应角分别相等的两个三角形相似证出△CAD∽△CEA；
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，设∠CAD＝∠DAB＝α，得∠CAE＝2α，由相似三角形的性质得∠ADC＝∠CAE＝2α，然后根据圆内接四边形的性质得∠CAB+∠CDB＝180°，从而有关于α的方程，解方程求出α的值，最后求∠ADC=2α即可.
27．【答案】（1）解：如图1，过点C作CH⊥AD于H，
∴∠AHC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
又∵AB=12，BC=8，
∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，
∵AD=13，
∴HD＝AD﹣AH＝13﹣8＝5，
∴，
当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，
∴AM＝MC，
设B'M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△MBC中，MB2+BC2=MC2，即x2+82＝（12﹣x）2，
解得：，
∴；
（2）解：①当点F在AB上时，如图2，
∵∠AFC'＝∠ADC，∠B'FM=∠AFC'，
∴∠AFC'＝∠ADC=∠B'FM，
由（1）可知CH=12，HD=5，
∴，
设AF＝5x，AC'＝12x，则C'F＝13x，
根据折叠的性质可得出：B'C'＝BC＝8，
∴B'F＝B'C'-C'F=8﹣13x，
∵∠ABC＝90°，
∴在Rt△B'FM中，，，
∵AB=AF+FM+MB=12，
∴，
解得：，
；
②当点F在BA的延长线上时，如图3，
同上，
在Rt△AFC'中，设AF＝5x，AC'＝12x，FC'＝13x，
∴FB'＝13x﹣8，
在Rt△MFB'中，，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，AC'的值为：或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AD于H，先证四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质得CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，从而得HD=5，进而根据勾股定理求出CD=13，当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，从而根据垂直平分线的性质得AM=CM，设B'M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x，在Rt△MBC中，根据勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得B'M的值；
（2）根据题意，可知要分情况讨论：①当点F在AB上时，先求出∠AFC'＝∠ADC=∠B'FM，然后根据正切的定义求出，设AF＝5x，AC'＝12x，则C'F＝13x，再根据折叠的性质得B'C'＝BC＝8，B'F＝B'C'-C'F=8﹣13x，接下来解直角三角形求出，，从而根据线段的和差关系得关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AC'=12x的值；
②当点F在BA的延长线上时，同理求出，设AF＝5x，AC'＝12x，FC'＝13x，得FB'＝13x﹣8，然后解直角三角形求出，，从而根据线段的和差关系得关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AC'=12x的值.
28．【答案】（1）解：把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，y1＞y2；
当时，即时，y1＝y2；
当时，即时，y1＜y2；
（3）解：存在，点N的坐标为或N（0，﹣5）或或或N（0，5）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
当点M在直线AB下方，x轴左侧，如图1：
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，
∵PQ∥MN，MG∥x轴，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，则MG＝2NG，
设NG＝t，则MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），
∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN，
∴△PHM≌△MGN（AAS），
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t2+1），
把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②当点M在直线AB下方，x轴右侧，如图2：
构造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1），
把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，﹣5）；
③当点M在直线AB上方，x轴左侧，如图3：
构造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1），
把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④当点M在直线AB上方，x轴右侧，如图4：
构造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1），
把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当PQ为正方形对角线时，
⑤当点M在直线AB下方，如图5：
构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，
∴PK∥x轴，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
设QK＝x，则PK＝2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四边形HGJI为正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，则，
∴，
设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥当点M在直线AB上方，如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或N（0，﹣5）或或或N（0，5）或.
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）将点C、D的坐标代入二次函数解析式中，得y1，y2的值，再将y1，y2作差，得，接下来进行分类讨论：，，，即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为，然后分情况讨论：当PQ为正方形的边时，
①当点M在直线AB下方，x轴左侧，过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，得，从而求出MG=2NG，设NG＝t，则MG＝2t，得点M的坐标，从而有点N的坐标，根据正方形的性质，由“一线三垂直”全等模型得△PHM≌△MGN（AAS），从而根据全等三角形的性质得PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，进而得点P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；②当点M在直线AB下方，x轴右侧，构造Rt△MQG，Rt△NMH，由①同理可证△MQG≌△NMH，，设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，从而求出点M、N、Q的坐标，将点Q的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；③当点M在直线AB上方，x轴左侧，构造Rt△GMN，Rt△HPM，由①同理可证△GMN≌△HPM，，设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，从而求出点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；④当点M在直线AB上方，x轴右侧，构造Rt△GMN，Rt△HNP，由①同理可证△GMN≌△HNP，，设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，从而求出点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；
当PQ为正方形对角线时，当点M在直线AB下方，构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，得PK∥x轴，从而根据平行线的性质、正切的定义得，设QK＝x，则PK＝2x，由①同理可证△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，根据全等三角形的性质得HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，然后证出四边形HGJI为正方形，进而得PK＝IJ＝2x，接下来求出IQ=PG=JK，PH=GM=QJ=NI的值，从而根据正切的定义得，设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，从而得点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；⑥当点M在直线AB上方，构造Rt△PMH，Rt△NPG，同理求出，设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，从而得点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标.
1 / 1江苏省无锡市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1．（2024·无锡）4的倒数是（ ）
A． B．﹣4 C．2 D．±2
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：4的倒数是.
故答案为：A.
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数 ，即可求解.
2．（2024·无锡）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≥3
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵在函数中， 有x-3≥0，
∴自变量x的取值范围是x≥3，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，得关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围即可.
3．（2024·无锡）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C． D．x＝2
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴方程两边同时乘x（x+1），得x+1=2x，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x（x+1）≠0，
∴分式方程的解是x=1，
故答案为：A.
【分析】根据解分式方程的解法进行求解即可.
4．（2024·无锡）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，34
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵这组数据按从小到大进行排列为：31，32，35，35，37，
∴这组数据的平均数为：，中位数为：35，
故答案为：C.
【分析】根据平均数、中位数的定义进行求解即可.
5．（2024·无锡）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正五边形
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、直角三角形不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故C符合题意；
D、正五边形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断.
6．（2024·无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．12π C．15π D．24π
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，
∴圆锥的侧面积为：，
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的侧面积计算公式：（r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线长）进行求解.
7．（2024·无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C．9x+7x＝1 D．9x﹣7x＝1
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设经过x天相遇，
根据题意，得，
故答案为：A.
【分析】根据题意得野鸭和大雁的速度分别为， 设经过x天相遇，由总路程=野鸭的路程+大雁的路程列出方程.
8．（2024·无锡）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为（ ）
A．65° B．70° C．80° D．85°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=80°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-65°=35°，
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴∠B'AC'=∠BAC=35°，
∴∠BAC'=2∠BAC=2×35°=70°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC的度数，根据旋转的性质得∠B'AC'=∠BAC，从而求出∠BAC'=2∠BAC.
9．（2024·无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于F，
∴∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
设BC=CD=a，
∵点E是CD中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC，交BC延长线于F，得∠BFE=90°，根据菱形的性质得BC=CD，AB∥CD，从而有∠ECF=∠ABC=60°，设BC=CD=a，得，接下来在中，解直角三角形得，从而得BF的值，进而利用勾股定理求出BE的值，最后根据正弦的定义得.
10．（2024·无锡）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论：
①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；
②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”；
③函数总存在“3级关联范围”；
④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”．
其中正确的为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=-1+4=3，当x=3时，y=-3+4=1，
∵函数y=-x+4，
∴y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围是1≤y≤3，
∴根据题意，得t=1，
∴1≤x≤3是函数y=-x+4的“1级关联范围”，结论①正确；
②当x=0时，y=0，当x=2时，y=4，
∵函数y=x2的对称轴为直线x=0，函数抛物线开口向上，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4，
∴根据题意，得t=2，
∴0≤x≤2是函数y=x2的“2级关联范围”，结论②不正确；
③∵函数，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，
设0假设函数存在”3级关联范围“，
∴，
∴k=3mn，
∵k>0，0∴总存在k=3mn，
∴函数总存在”3级关联范围“，结论③正确；
④∵函数y=-x2+2x+1对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，
设m≤x≤n<1，则-m2+2m+1≤y≤-n2+2n+1，
假设函数y=-x2+2x+1存在”4级关联范围“，
∴，
∴，
∴是函数y=-x2+2x+1的”4级关联范围“，结论④错误；
故答案为：A.
【分析】①先求出当1≤x≤3时，y的取值范围是1≤y≤3，再根据新定义得t=1，从而判断结论①；
②先求出当0≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4，再根据新定义得t=2，从而判断结论②；
③先设0④设m≤x≤n<1，则-m2+2m+1≤y≤-n2+2n+1，假设函数y=-x2+2x+1存在”4级关联范围“，得，求出m、n的值，从而判断结论④.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·无锡）分解因式：x2﹣9= .
【答案】（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
12．（2024·无锡）在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km．数据45000用科学记数法表示为 ．
【答案】4.5×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：45000=4.5×104
故答案为：4.5×104.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为原数的整数位数.
13．（2024·无锡）正十二边形的内角和等于 度．
【答案】1800
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知：180°×（12-2）=1800°，
故答案为：1800．
【分析】利用多边形的内角和公式：当多边形的边数为n（n正整数，n≥3）时，则n边形的内角和为，即可求解.
14．（2024·无锡）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴a-3>b-3，
∴命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是假命题，
故答案为：假.
【分析】根据题意得：a＞b，则a﹣3>b﹣3，即可求解.
15．（2024·无锡）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 某个函数的图象关于原点对称，且当x>0时，y随x的增大而增大 ，
∴这个函数表达式为：，
故答案为：.
【分析】根据函数的性质写出一个适合的函数表达式即可.
16．（2024·无锡）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE，EF，DF是的中位线，
∵AB=4，BC=6，AC=8，
∴，
∴的周长为DE+EF+DF=4+2+3=9，
故答案为：9.
【分析】根据题意得DE，EF，DF是的中位线，然后根据三角形中位线定理求出DE，EF，DF，接下来即可求出的周长.
17．（2024·无锡）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 ．
【答案】2或3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：设平移后点A，B对应的点为C，D，
根据题意，得OA=OB=5，
∴A（-5，0），B（0，5），
∴C（-5+a，-a），D（a，5-a），
∵C，D在函数的图象上，
∴-a（-5+a）=6
解得：a1=2，a2=3，
故答案为：2或3.
【分析】设平移后点A，B对应的点为C，D，根据题意得A，B的坐标，然后利用坐标的平移规律得点C，D的坐标，接下来根据反比例函数上点的坐标特征得关于a的方程，解方程求出a的值即可.
18．（2024·无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ．
【答案】2；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AQ=x，PQ=y，
∴当x=y时，AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CM∥PQ，
∴∠CDA=∠QPA，
∴∠CDA=∠QAP，
∴CD=AC，
∵AC=2，
∴CD=2；
设ED=a，
∵AP=2ED，
∴AP=2a，
∵CM∥PQ，
∴，
∴，即，
∴，
又∵CM∥AB，
∴∠CDE=∠EAB，
∵∠CED=∠AEB，
∴，
∴，
∵AB=3，DE=a，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；.
【分析】根据题意，得AQ=PQ，从而根据”等边对等角“得∠QAP=∠QPA，利用平行线的传递性得CM∥PQ，从而有∠CDA=∠QPA，进而证出∠CDA=∠QAP，根据”等角对等边“得CD=AC=2；
设ED=a，得AP=2a，由”CM∥PQ“证得，根据相似三角形对应边成比例的性质得，从而求出，由”8字相似模型“易证，从而根据相似三角形的性质得，有，进而求出，最后计算即可求解.
三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（2024·无锡）计算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
【答案】（1）解：原式＝4﹣4+2
＝2；
（2）解：原式＝a2-2ab+a2+2ab+b2
＝2a2+b2．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义、算术平方根、负整数指数幂进行化简，然后进行加减计算；
（2）先用单项式乘多项式，同时用完全平方公式进行计算，然后去括号进行合并同类项即可.
20．（2024·无锡）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：∵（x-2）2-4＝0，
∴（x-2）2＝4，
∴x-2＝2或x-2＝-2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）解：，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞-1，
∴原不等式组的解集为：-1＜x≤3．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用“直接开平方”法解一元二次方程；
（2）利用解不等式组的方法进行求解即可.
21．（2024·无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）证明：由（1）得△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得AB=DC，∠B=∠C=90°，然后用中点的定义得BE=CE，接下来根据全等三角形判定定理“SAS”即可得证△ABE≌△DCE；
（2）根据全等三角形对应边相等得AE=DE，从而根据等腰三角形“等边对等角”得证∠EAD＝∠EDA．
22．（2024·无锡）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
白 红 绿
白 （白，白） （白，红） （白，绿）
红 （红，白） （红，红） （红，绿）
绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿）
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果数为1，
∴摸到白球的概率为：，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得所有的等可能结果数，得摸到白球的结果数，然后利用概率公式进行求解；
（2）根据列表法得出所有的等可能结果数，从而得其中2次摸到的球颜色不同的结果数，然后利用概率公式进行求解即可.
23．（2024·无锡）五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
（1）【确定调查方式】
小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
（2）【整理分析数据】
小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度x/cm 频率
4.0≤x＜4.7 0.04
4.7≤x＜5.4 m
5.4≤x＜6.1 0.45
6.1≤x＜6.8 0.30
6.8≤x＜7.5 0.09
合计 1
根据图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝ ▲ ；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
（3）【作出合理估计】
请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【答案】（1）③
（2）解：①0.12，
②麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数有：100×0.3＝30，
∴频数分布直方图补全如下：
（3）解：（0.45+0.3+0.09）×100%＝84%，
∴长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为84%．
【知识点】抽样调查的可靠性；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）根据题意，调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③；
（2）① m=1-（0.04+0.45+0.30+0.09）=0.12，
故答案为：0.12.
【分析】（1）根据抽样调查的特点进行解答即可；
（2）①用1减去其它频率的和即可求出m的值；
②先求出麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数，再补全频数分布直方图；
（3）先求出长度不小于5.4cm的麦穗的频率和，再乘以100%即可求解.
24．（2024·无锡）如图，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
【答案】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴四边形AEDF为矩形，
∵AD是∠BAC的平分线，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF为正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
设AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB2＝DC2，
∴x2+（7﹣x）2＝x2+（5﹣x）2，
解得：x＝6，
∴AF=DF=6，
∴
【分析】（1）作∠BAC的平分线和BC的垂直平分线交于点D，即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，得∠AED＝∠AFD＝90°，从而证出四边形AEDF为矩形，根据角平分线的性质得DE=DF，从而得四边形AEDF为正方形，进而设AE＝AF＝ED＝DF＝x，得BE=7-x，FC=5-x，在Rt△BED和Rt△CFD中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，最后再用勾股定理求出AD的值即可.
25．（2024·无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【答案】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元；
（2）解：设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40-a）＝-10a+1200，
∵一次项系数k=-10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝-10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购买A种型号劳动用品a件，则购买B种型号劳动用品（40﹣a）件，根据“A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25”得a的取值范围，设购买这40件劳动用品需要W元，根据题意得W关于a的一次函数表达式，接下来利用一次函数的性质进行求解即可.
26．（2024·无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CEA，
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°，
∴∠ADC＝2×22.5°＝45°.
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论：等弧所对的圆周角相等，得∠CAD＝∠DAB，然后根据“等边对等角”得∠DAB＝∠E，从而有∠CAD＝∠E，接下来由两组对应角分别相等的两个三角形相似证出△CAD∽△CEA；
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，设∠CAD＝∠DAB＝α，得∠CAE＝2α，由相似三角形的性质得∠ADC＝∠CAE＝2α，然后根据圆内接四边形的性质得∠CAB+∠CDB＝180°，从而有关于α的方程，解方程求出α的值，最后求∠ADC=2α即可.
27．（2024·无锡）
【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，CD分别交于点M，N．
【解决问题】
（1）当点C'与点A重合时，求B'M的长；
（2）设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AFC'＝∠ADC时，求AC'的长．
【答案】（1）解：如图1，过点C作CH⊥AD于H，
∴∠AHC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
又∵AB=12，BC=8，
∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，
∵AD=13，
∴HD＝AD﹣AH＝13﹣8＝5，
∴，
当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，
∴AM＝MC，
设B'M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△MBC中，MB2+BC2=MC2，即x2+82＝（12﹣x）2，
解得：，
∴；
（2）解：①当点F在AB上时，如图2，
∵∠AFC'＝∠ADC，∠B'FM=∠AFC'，
∴∠AFC'＝∠ADC=∠B'FM，
由（1）可知CH=12，HD=5，
∴，
设AF＝5x，AC'＝12x，则C'F＝13x，
根据折叠的性质可得出：B'C'＝BC＝8，
∴B'F＝B'C'-C'F=8﹣13x，
∵∠ABC＝90°，
∴在Rt△B'FM中，，，
∵AB=AF+FM+MB=12，
∴，
解得：，
；
②当点F在BA的延长线上时，如图3，
同上，
在Rt△AFC'中，设AF＝5x，AC'＝12x，FC'＝13x，
∴FB'＝13x﹣8，
在Rt△MFB'中，，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，AC'的值为：或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AD于H，先证四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质得CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，从而得HD=5，进而根据勾股定理求出CD=13，当点C'与点A重合时，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，N与D重合，从而根据垂直平分线的性质得AM=CM，设B'M＝MB＝x，则AM＝MC＝12﹣x，在Rt△MBC中，根据勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得B'M的值；
（2）根据题意，可知要分情况讨论：①当点F在AB上时，先求出∠AFC'＝∠ADC=∠B'FM，然后根据正切的定义求出，设AF＝5x，AC'＝12x，则C'F＝13x，再根据折叠的性质得B'C'＝BC＝8，B'F＝B'C'-C'F=8﹣13x，接下来解直角三角形求出，，从而根据线段的和差关系得关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AC'=12x的值；
②当点F在BA的延长线上时，同理求出，设AF＝5x，AC'＝12x，FC'＝13x，得FB'＝13x﹣8，然后解直角三角形求出，，从而根据线段的和差关系得关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AC'=12x的值.
28．（2024·无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，y1＞y2；
当时，即时，y1＝y2；
当时，即时，y1＜y2；
（3）解：存在，点N的坐标为或N（0，﹣5）或或或N（0，5）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
当点M在直线AB下方，x轴左侧，如图1：
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，
∵PQ∥MN，MG∥x轴，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，则MG＝2NG，
设NG＝t，则MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），
∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN，
∴△PHM≌△MGN（AAS），
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t2+1），
把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②当点M在直线AB下方，x轴右侧，如图2：
构造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1），
把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，﹣5）；
③当点M在直线AB上方，x轴左侧，如图3：
构造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1），
把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④当点M在直线AB上方，x轴右侧，如图4：
构造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1），
把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当PQ为正方形对角线时，
⑤当点M在直线AB下方，如图5：
构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，
∴PK∥x轴，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
设QK＝x，则PK＝2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四边形HGJI为正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，则，
∴，
设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥当点M在直线AB上方，如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或N（0，﹣5）或或或N（0，5）或.
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）将点C、D的坐标代入二次函数解析式中，得y1，y2的值，再将y1，y2作差，得，接下来进行分类讨论：，，，即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式为，然后分情况讨论：当PQ为正方形的边时，
①当点M在直线AB下方，x轴左侧，过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，得，从而求出MG=2NG，设NG＝t，则MG＝2t，得点M的坐标，从而有点N的坐标，根据正方形的性质，由“一线三垂直”全等模型得△PHM≌△MGN（AAS），从而根据全等三角形的性质得PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，进而得点P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；②当点M在直线AB下方，x轴右侧，构造Rt△MQG，Rt△NMH，由①同理可证△MQG≌△NMH，，设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，从而求出点M、N、Q的坐标，将点Q的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；③当点M在直线AB上方，x轴左侧，构造Rt△GMN，Rt△HPM，由①同理可证△GMN≌△HPM，，设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，从而求出点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；④当点M在直线AB上方，x轴右侧，构造Rt△GMN，Rt△HNP，由①同理可证△GMN≌△HNP，，设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，从而求出点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；
当PQ为正方形对角线时，当点M在直线AB下方，构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，得PK∥x轴，从而根据平行线的性质、正切的定义得，设QK＝x，则PK＝2x，由①同理可证△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，根据全等三角形的性质得HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，然后证出四边形HGJI为正方形，进而得PK＝IJ＝2x，接下来求出IQ=PG=JK，PH=GM=QJ=NI的值，从而根据正切的定义得，设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，从而得点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标；⑥当点M在直线AB上方，构造Rt△PMH，Rt△NPG，同理求出，设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，从而得点M、N、P的坐标，将点P的坐标代入，得关于t的方程，解方程求出t的值，从而得点N的坐标.
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