北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题1.3勾股定理的应用【十二大题型】(含解析)

专题1.3 勾股定理的应用【十二大题型】
【北师大版】
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】 1
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】 4
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】 8
【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】 12
【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】 17
【题型6 应用勾股定理解决选址问题】 19
【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 23
【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】 26
【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】 29
【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】 33
【题型11 应用勾股定理解决地毯长度问题】 35
【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】 37
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？
【变式1-1】（23-24八年级·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？
【变式1-2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：

(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【变式1-3】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）．
(1)求此时风筝离地面的高度；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】
【例2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？
【变式2-1】（23-24八年级·江苏泰州·期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．
(1)求两地的距离；
(2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．
【变式2-2】（23-24八年级·福建漳州·期中）漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿南偏东的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？
【变式2-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】
【例3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行 速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？

【变式3-2】（23-24八年级·山西朔州·期末）限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米时，一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．
【变式3-3】（23-24八年级·河南周口·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】
【例4】（23-24八年级·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．

(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【变式4-2】（23-24八年级·云南文山·期末）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且．
(1)求两村的距离；
(2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁 请说明理由．
【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】
【例5】（23-24八年级·福建三明·期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．
(1)求的长，
(2)求门槛的长．
【变式5-1】（23-24八年级·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN.
【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）如图，有一个长方形水池，它的长是米，池中央长了一棵芦苇，露出水面米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？
【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
【题型6 应用勾股定理解决选址问题】
【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
【变式6-1】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【变式6-2】（23-24八年级·全国·单元测试）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？

【变式6-3】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】
【例7】（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
【变式7-1】（23-24八年级·广东广州·期末）学校操场边有一根垂直于地面的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子紧系于旗杆顶端处（打结处忽略不计），小杰同学通过操作、测量发现：如图，当绳子紧靠在旗杆上拉紧到底端后，还多出米，即米；如图，当离开旗杆底端处米后，绳子恰好拉直且绳子末端处恰好接触地面，即米，求旗杆的高度．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【变式7-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】
【例8】（23-24八年级·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【变式8-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米？
【变式8-2】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·期中）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题:小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵棕榈树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标.问:这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远
【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】
【例9】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
【变式9-1】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米（即AC=5）处，已知木杆原长为25米．
（1）求木杆断裂处离地面（即AB的长）多少米？
（2）求△ABC的面积．
【变式9-2】（23-24八年级·陕西渭南·期末）如图，车高AC=4m，货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面A1处，已知点A、B、C 在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C=2m，求BC的长．
【变式9-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.

（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】
【例10】（23-24八年级·甘肃武威·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
【变式10-1】（23-24八年级·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上
A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米
【变式11-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（　　）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
【变式11-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式11-3】（23-24八年级·广东梅州·阶段练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】
【例12】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
【变式12-1】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　）
A．8m B．10m C．m D．m
【变式12-3】（23-24八年级·甘肃陇南·期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　）
A． B． C． D．
专题1.3 勾股定理的应用【十二大题型】
【北师大版】
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】 1
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】 4
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】 8
【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】 12
【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】 17
【题型6 应用勾股定理解决选址问题】 19
【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 23
【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】 26
【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】 29
【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】 33
【题型11 应用勾股定理解决地毯长度问题】 35
【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】 37
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？
【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米
【分析】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题．
过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可．
【详解】过点作交于点，
由题意得，
在中，
，
设，则，
在中，
，
∴，
解得，
工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处．
【变式1-1】（23-24八年级·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？
【答案】5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人跑步x米与乐乐相遇，在中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可．
【详解】解：设机器人跑步x米与乐乐相遇，则米，米，
∵机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴机器人跑步5米与乐乐相遇．
【变式1-2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：

(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【答案】(1)4米
(2)米
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．
（1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米，
在中，，
在中，，
由题意可知，
∴，
解得：，
答：墙的高度为4米；
（2）解：米．
答：竹竿的长度为米．
【变式1-3】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）．
(1)求此时风筝离地面的高度；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题主要考查了勾股定理：
（1）在中利用勾股定理求解即可；
（2）在中利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，在中，，
∴，
∴此时风筝离地面的高度的长为米；
（2）解：在中，由勾股定理，
∴，
∴引线的长度应加长米．
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】
【例2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？
【答案】我军巡逻艇的航行速度是海里小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到，得出，在中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，由题意得，
，
，
，
，
巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，
海里，
在中，，海里，海里，
海里，
我军巡逻艇的航行速度是 海里小时．
答：我军巡逻艇的航行速度是海里小时．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏泰州·期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．
(1)求两地的距离；
(2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据等面积法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，，，
∴，
即两地的距离为；
（2）解：根据等面积法知：，
即，
∴，
即的距离为
【变式2-2】（23-24八年级·福建漳州·期中）漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿南偏东的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？
【答案】半个小时之后，两艘轮船相距10海里
【分析】设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置，分别求出的长，再求出的度数，在中利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图所示，设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置．
由题可知，，．
在中，，根据勾股定理得
∴半个小时之后，两艘轮船相距10海里．
【点睛】问题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）；（2）海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）（海里），
（海里），
又AB=13海里
所以，
所以是直角三角形，
所以
由已知得，所以，
所以甲的航向为北偏东，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】
【例3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作，交l于点D．

，
在中，，
由勾股定理得
，

新路长度是80米．
（2）该车超速
在中，，
由勾股定理得
，

该车经过区间用时
∴该车的速度为
该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
【变式3-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行 速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？

【答案】这辆小汽车没有超速
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长，直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】解：在中，
米，米，且为斜边，
米，
（米/秒）
，
，
这辆小汽车没有超速．
【变式3-2】（23-24八年级·山西朔州·期末）限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米时，一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此车是否超速．
【答案】此车没有超速
【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．
【详解】解：在中，，，
米，
在中，，，
米，
米，
汽车从A到B的平均速度为米秒，
米秒千米时千米时，
此车没有超速．
【点睛】本题考核知识点：勾股定理的应用. 解题关键点：把问题转化为在直角三角形中的问题.
【变式3-3】（23-24八年级·河南周口·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
【答案】此车超速，理由见解析.
【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解．
【详解】此车超速．
理由：，，
是等腰直角三角形．
米．
在中，，
．
米．
由勾股定理得米，
米．
汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时．
答：此车超速．
【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】
【例4】（23-24八年级·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)8小时
(2)5小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度．
（1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算；
（2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）在中，根据勾股定理，
得，
∴（小时），
则台风中心经过8小时从B移动到D点；
（2）如图，设
∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵，
∴（小时），
答：游人在5小时内撤离才可脱离危险．
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．

(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【答案】(1)村庄A能听到宣传，理由见解析；
(2)村庄A总共能听到15分钟的宣传．
【分析】（1）直接比较村庄A到公路的距离和广播宣传距离即可；
（2）过点A作于点，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路的距离为800米1700米，
∴村庄A能听到宣传；
（2）解：如图：过点A作于点，

假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，
则米，米，
∴（米），
∴米，
∴影响村庄的时间为：（分钟），
∴村庄A总共能听到15分钟的宣传．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．
【变式4-2】（23-24八年级·云南文山·期末）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且．
(1)求两村的距离；
(2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁 请说明理由．
【答案】(1)米
(2)没有危险不需要封锁，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键．
（1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案；
（2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案．
【详解】（1）解： 处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且，
，
答：两村的距离为米；
（2）解：没有危险不需要封锁，
理由如下：
过点作，如图所示：
利用面积相等得到，即，解得，
爆破点 周围半径750米范围内不得进入，，
在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁．
【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论；
（2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下：
如图，过点作于，
，，，
．
是直角三角形，．
，
，
即，
，
环卫车周围以内为受噪声影响区域，
学校会受噪声影响．
（2）解：如图，当，时，正好影响学校，
，
，
环卫车噪声影响该学校持续的时间有，
环卫车的行驶速度为：，
答：环卫车的行驶速度为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】
【例5】（23-24八年级·福建三明·期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．
(1)求的长，
(2)求门槛的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵O是的中点
∴
∵
∴；
（2）设，则．
∵， 尺寸
∴
解得：
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN.
【答案】12尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键．
根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，点是AB的中点，
.
，，
.
在中，根据勾股定理可得：.
，解得.
答：水的深度PN为12尺．
【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）如图，有一个长方形水池，它的长是米，池中央长了一棵芦苇，露出水面米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？
【答案】水深米，芦苇的长度是米
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设水深米，则芦苇有米，
由勾股定理得：，
解得：，
则：（米），
答：水深米，芦苇的长度是米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
【答案】筷子GE的长度是10cm．
【分析】根据题意可得DE=GE，EF=GE-2，在Rt△DFE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径DF为6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的长度是10cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
【题型6 应用勾股定理解决选址问题】
【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
【答案】千米
【分析】根据题意利用勾股定理易得BD长，设AC=CD=x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：由题意可得：AB=3，AD=5
∴在Rt△ABD中，
设AC=CD=x，则BC=4-x
在Rt△ABC中，，解得：x=
∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的难点是构造已知长度的线段所在的直角三角形，利用勾股定理求解．
【变式6-1】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴，
∴ ，
∴，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·全国·单元测试）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】
【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，
则千米；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解决本题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB CH＝AC BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】
【例7】（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设米，则 （用含的代数式表示）
(2)请帮小明求出的值．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考查勾股定理的应用，
（1）用表示处，在中，根据勾股定理即可用含的代数式表示；
（2）在中，用的代数式表示处，根据，列方程即可解出；
能灵活运用勾股定理列代数式、列方程是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：，，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题知：，，，，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴旗杆的高度为米．
【变式7-1】（23-24八年级·广东广州·期末）学校操场边有一根垂直于地面的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子紧系于旗杆顶端处（打结处忽略不计），小杰同学通过操作、测量发现：如图，当绳子紧靠在旗杆上拉紧到底端后，还多出米，即米；如图，当离开旗杆底端处米后，绳子恰好拉直且绳子末端处恰好接触地面，即米，求旗杆的高度．
【答案】8米
【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设旗杆米，则米，
根据勾股定理可得，，
∴，
解得，
答：旗杆的高度为米．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【答案】(1)风筝的高度为21.7米
(2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在中由勾股定理即可求得BH的长．
【详解】（1）在中，由勾股定理，得：
（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
（2）由等积法知：，
解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
【变式7-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
【答案】大树的高为12米
【分析】设BD=x米，则CD=BC-BD=（21-x）米，利用勾股定理得到，，即可得到，由此求解即可．
【详解】解：设BD=x米，则CD=BC-BD=（21-x）米，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴，
∴，
解得，
∴BD=5米，
∴米，
答：大树的高为12米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】
【例8】（23-24八年级·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)米
(2)小鸟下降的距离为米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
【变式8-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米？
【答案】150m/s
【分析】先由勾股定理求得BC的长，即可根据路程、速度、时间的关系求得结果.
【详解】如图，
由题意得，AC=4000米，∠C=90°，AB=5000米，由勾股定理得BC= (米)，
所以飞机飞行的速度为 (千米/小时)
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用.
【变式8-2】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【答案】13
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=14米，CD=9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，
在直角三角形AEC中，
．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·期中）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题:小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵棕榈树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标.问:这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远
【答案】20．
【详解】解：如图，由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，设EC为x肘尺，BE为(50﹣x)肘尺，
在Rt△ABE中，，
在Rt△DEC中，，
又∵AE=DE，∴，
解得：，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．
【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】
【例9】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得．
（2）在中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在中，

∴，
∴（m）．
即树的高度为6m．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
【变式9-1】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米（即AC=5）处，已知木杆原长为25米．
（1）求木杆断裂处离地面（即AB的长）多少米？
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）木杆断裂处离地面12米；（2）30平方米．
【分析】（1）设木杆断裂处离地面米，由题意根据勾股定理得，求出的值即可．
（2）由三角形面积公式直接计算即可．
【详解】（1）设木杆断裂处离地面米，由题意得：
，解得：．
答：木杆断裂处离地面12米．
（2）△ABC的面积（平方米）．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【变式9-2】（23-24八年级·陕西渭南·期末）如图，车高AC=4m，货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面A1处，已知点A、B、C 在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C=2m，求BC的长．
【答案】的长为
【分析】设，则，在中，利用勾股定理可列出方程：，，继而即可求解．
【详解】由题意得，，，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，即，
解得：．
答：的长为．
【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.

（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．
【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴AC=3米，BC=5米，
∴旗杆距地面3m处折断；
（2）如图，

∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米，
∴BD=8-1.75=6.25米，
∴AB==6米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】
【例10】（23-24八年级·甘肃武威·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
【答案】该河的宽度BC为120米
【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，
设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，
即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．
答：该河的宽度BC为120米．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键.
【变式10-1】（23-24八年级·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．
【详解】解：如图，中，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度．
【答案】150米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，米，米，
∴米，
又米，
∴米，
∴这段公路的总长度为150米．
【变式10-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）爱思考的明明同学用下面的方法测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的：选定一个点P，连接，在上取一点C，恰好有，，，，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为．明明同学测量的结果正确吗？为什么？

【答案】明明同学测量的结果正确，理由见解析．
【分析】由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，得出，再由勾股定理求出即可．
【详解】明明同学测量的结果正确．
理由如下：
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
故明明同学测量的结果正确.
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
【题型11 应用勾股定理解决地毯长度问题】
【例11】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）

A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，熟练掌握勾股定理是解题关键．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度米，
地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是米．
故选B．
【变式11-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（　　）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=，
∴长方形地毯的长为：10×10＝100≈141.4cm，
故选C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式11-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
【变式11-3】（23-24八年级·广东梅州·阶段练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】平方米
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b，
则，
棚的长d为，
∴．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．
【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】
【例12】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：D．
【变式12-1】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开，即为所求，
则（米，米，
最短路径为：（米．
故选：A．
【变式12-3】（23-24八年级·甘肃陇南·期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开 最短路径问题，要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，找到最短的路径，然后利用勾股定理计算即可求解，把圆柱的侧面展开，找到蚂蚁所走过的最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，则，
根据两点之间，线段最短，可知，蚂蚁所走过的最短路径即为线段的长，
∵圆柱的底面半径为，
∴，
在中，由勾股定理得，
故选：A．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)