2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.已知某扇形的圆心角为，半径为，则该圆心角对应的弧长为( )
A. B. C. D.
2.设复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知函数是上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列说法中，正确的个数有个
圆柱的侧面展开图是一个矩形； 圆锥的侧面展开图是一个扇形；
圆台的侧面展开图是一个梯形； 棱锥的侧面为三角形．
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
8.已知四边形为矩形，，为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，为的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是( )
平面；
三棱锥的体积最大值为；
；
一定存在某个位置，使；
A. B. C. D.
9.已知向量，设函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为，则( )
A.
B. 是函数图象的对称中心
C. 函数在区间上单调递减
D. 使成立的的取值区间为
10.已知直四棱柱的侧棱长为，底面是边长为的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点含边界，则下列命题正确的是( )
A. 若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为
B. 若点到平面的距离为，则三棱锥 的体积的最大值为
C. 若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D. 经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为
11.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若锐角满足，则角的度数为______．
13.已知， ______．
14.如图，已知直四棱柱的所有棱长等于，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。
15.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，、分别为棱、的中点．
Ⅰ求证：平面
Ⅱ求证：平面平面
Ⅲ在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
16.已知函数．
当时，函数存在零点，求实数的取值范围
设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围．
17.如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的两点，且．
证明：平面平面；
若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面与平面所成二面角的大小．
平面；
三棱锥的体积．
18.在中，内角，，所对的边分别为，，已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
19.在锐角中，设角，，的对边分别为，，，且，．
若，求的面积
求的值
求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.证明：取中点，连结，，，
，分别是，的中点，
，，
底面是菱形，是的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
证明：是等边三角形，是的中点，
，
底面是菱形，，
是等边三角形，又是的中点，
，又，、平面，
平面，平面，
，又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
又，是的中点，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
设、交于点，假设棱上存在点，使得平面，
连结，，
平面，则，
底面是边长为的菱形，，为正三角形，
由余弦定理得，，，，，
侧面底面，侧面底面，侧面，
平面，平面，
，，
，
为直角三角形，，
．
16.解：，
当时，函数存在零点，
即在时有解，
设，
即，，，
，
即实数的取值范围为．
若函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一解，
只有一解，令，
得关于的方程有一正数解，
当时，方程的解为，不合题意
当时，，此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意
当时，只需
解得
综上：实数的取值范围为．
17.证明：因为四边形是菱形，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，所以，
因为，平面，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：若选条件，
记与交于点，则为的中点，连接，
由平面，平面平面，则，
所以为的中点，，
取棱的中点，连接，则，，两两垂直，
以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，
平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，则二面角为锐角，
计算，，
所以二面角的大小为．
若选条件，记点到平面的距离为，
由，
解得，
由知平面，所以，即，
取棱的中点，连接，则，，两两垂直，
以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，．
故，，．
因为，所，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，则二面角为锐角，
计算，，
所以二面角的大小为．

18.解：因为，
由正弦定理得：，即，
因为，所以，
由余弦定理得：；
由知，，因为，所以，
所以，
，
所以．
19.解：由余弦定理，
结合，得，可知，
的面积；
因为，，所以，
由正弦定理，，
所以，
由于，
代入式可知：；
解法：
设中点为，则，
，
所以，
如下图所示，
设的外接圆为圆，由于为锐角三角形，
故点的运动轨迹为劣弧不含端点，
由正弦定理知圆的半径，故，
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，，
所以；
解法：
由余弦定理，
由定义，
所以，
设，
则，
由正弦定理：
，
其中锐角满足，，
由锐角三角形可知，
注意到，
所以．
所以式变形为，故
从而
此时函数单调递减，而，，
所以．
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